光学——第3章题解.doc

第3章光的衍射3.8解：（张三慧大学物理学题解P416）（1）透镜焦平面处屏上干涉条纹的间距（2）单缝衍射中央亮纹的宽度 （3）由，知为缺级。刚好在单缝第1级暗纹处，第5级主极大缺级。故单缝衍射的中央包线内干涉的主极大的数目是 3.9解：（钟锡华光学题解P173）（1）第1级的线色散 由光栅方程得第1级衍射角 结果：（2）由 ，则第1级光谱中能分辨的最小波长差 （3）由正入射的光栅方程 令 该光栅看到的光谱的最高级次是 3.10解：（钟锡华光学题解P173）（1）由 说明书中1级闪耀波长（1级），理论分辨率R=72000（1级）则 （2）该摄谱仪的角色散本领以为单位。说明书中给出 ，透镜焦距1050mm 由 得 实际应用中习惯上用来说明，所以角色散本领的倒数3.11解：（张三慧大学物理学题解P414）由 得 港口海面上衍射波的中央波束的角宽度为 3.12解：（张三慧大学物理学题解P415）（1）星体在视网膜上的像的角宽度为 （2）视网膜上星体像的直径是 （3）星体像的覆盖面积为 星体的像照亮细胞的个数是 个3.13解：（张三慧大学物理学题解P415）月亮发的光经微小的水滴衍射形成衍射光盘。月亮中心是白色（月亮的本色），周围形成彩色光圈，内侧为紫色，外侧为红色。传到地面时，基本上看到的是红光。故是一圈红晕。由 得水珠直径3.14解：（张三慧大学物理学第2版P196）单缝衍射暗纹 则 两个第10级在屏幕上的间距为 3.15解：（张三慧大学物理学题解P416）（1）角分辨率 （2）此照相机的孔径 3.16 解：（张三慧大学物理学题解P416）这台望远镜的角分辨率是 3.17解：（钟锡华光学题解P172）由光栅的分辨本领 得第3级光谱刚好能分辨的波长差3.18解：（母国光光学习题P361）一架油浸显微镜恰可分辨每毫米4000条线的明暗相间的线组，已知照明光的波长为4358埃并假定任意相邻线条都是非相干的，试求物镜的数值孔径（N.A）。若所用的油液折射率为1.52，求入射光的孔径角。物镜的数值孔径（N.A）3.19解：（母国光光学习题P362）已知岩盐晶体的格子，用波长的X射线射到光滑的岩盐晶体面上，按教材图3.6.1所示的装置，求第1级和第2级最大的入射位置。由 得第1级掠入射角第2级掠入射角3.20解：（高教社题库）这是一道空间滤波的题目.通过此题可以清楚阿贝成像的基本图像，从而根据滤波要求选择合适的透镜.傅氏面上相邻衍射斑的角间隔为 像平面上的线距离为 所以透镜焦距应为 6级衍射斑的衍射角为 由于物平面在前焦面附近，要使6倍频信息进入透镜，其直径应满足 3.21解：（高教社题库） 计算斜入射时暗纹条件与计算正入射时的思路相同，仍然从光程差算起.但此时边缘光线的光程差已发生了改变.所以暗纹的衍射角也将发生改变. 平行光斜入射时边缘光线的光程差为 暗纹条件 从而解得 讨论 (1) 斜入射时第1级暗纹的衍射角是： (2) 当时，即平行光正入射,则暗纹条件为第1级暗纹的衍射角为 3.22解：（高教社题库）将雷达天线的输出口看成是单缝，则单缝衍射的能量主要集中在中央明纹的范围之内，由此可计算出雷达在公路上的监视范围.考虑到雷达距离公路较远，故可按夫琅禾费衍射近似处理.单缝衍射能量集中在中央明纹中间 由单缝衍射暗纹条件 得第1级暗纹衍射角为 雷达监视公路的范围长度是 3.23解：（高教社题库）单色平行光垂直入射时， 单缝衍射的暗纹条件是 明纹条件可近似地满足 此时0级条纹在透镜的主焦点处，即(中央条纹) 处.各级条纹对中央条纹中心位置对称. 求出相应级次条纹的衍射角，就可解决(1)和(2)题目要求的问题。 当单色平行光斜入射时单缝衍射的暗纹和明纹的条件应是此时0级条纹已不在透镜的主焦点处，移至处,即移至图示的点，各级条纹对点不再对称. 利用上式可以解决(3)的问题.(1) 题目所设情况下，由于 近似认为 由单缝衍射的暗纹条件 得第1级暗纹的衍射角 则距中心的距离 (2)由单缝衍射的明纹条件 得第2级明纹的衍射角为 则距中心的距离为 (3) 单色平行光斜入射时解题思路与(1)(2)相同，但光程差公式发生了变化.利用 斜入射时的光程差公式 0级条纹的角位置为 ，所以距中心的位置(即位置) 在上下分布着正负各级条纹.正负级次不再对称.最高的正级次不再等于最大的负级次.由斜入射的光程差公式 得的暗纹衍射角为则距中心的距离 得的暗纹衍射角为 则距中心的距离 得的明纹衍射角为 则距中心的距离 得的明纹纹衍射角为 则距中心的距离 3.24解：（高教社题库）用含有两种不同波长的混合光照射单缝或光栅，每种波长可在屏上独立地产生自己的一组衍射条纹，屏上最终显示出两组衍射条纹的混合图样.本题分别使用单缝衍射的明纹条件公式和光栅衍射方程，计算出第一级明纹的位置.通过计算会发现，使用光栅后，条纹将远离屏中心，条纹间距也变大.单色平行光垂直入射时，明纹条件可近似地满足 单色平行光垂直入射时光栅方程是 (1) 题目所设情况下，由于 近似认为 由单缝衍射的明纹条件 得波长第1级明纹的衍射角为 则距中心的距离为 而波长第1级明纹的衍射角为 则距中心的距离为 两者间距为 (2) 由光栅方程 得波长第1级的衍射角为 则距中心的距离为 而波长第1级的衍射角为 则距中心的距离为 两者间距为 3.25解：（高教社题库）钠和双线的平均波长按光栅的分辨本领 令 则 这就是说，该光栅在第1级上就可分辨波长差为的两谱线，远远小于钠和双线的，而其他高级次的分辨本领还大.故该光栅能分辨钠和双线.3.26解：（高教社题库）光栅的角色散本领、线色散本领及色分辨本领是光谱仪三个独立的性能指标.彼此不能替代，而应当互相匹配得当. 分光元件的角色散本领定义为 线色散本领定义为 如果分光元件后面的物镜焦距是，则 线色散本领和角色散本领的关系是 从光栅方程可得出光栅的色散本领表达式，其一定与衍射级次及光栅常数有关.关系式是 在透镜后的线色散本领为 色散本领只反映谱线(主极大)中心分离的程度，它不能说明两条谱线是否重叠.要分辨波长很接近的谱线，必须要求两条谱线的宽度都很窄，所以需引进色分辨本领这个物理量.色分辨本领的定义是 光栅的色分辨本领与衍射级次和光栅总条数有关，.(1)该光栅的光栅常数 总条数条在第1级的色分辨本领为 由色分辨本领的定义 得在第1级可分辨附近的最小波长间隔为 (2)按光谱仪的要求，光栅的线色散本领应能将波长差为的两条谱线分开到(1/200)毫米的线距离，即要求 这就是说，光谱仪要求该光栅的第1级的线色散本领必须将的波长差分开到的距离.设光谱仪的焦距为，则线色散本领 该光栅1级衍射角为则 3.27解：（高教社题库）本题是计算光栅色散本领的题目，可以对光栅的色散有一个数量级的概念.该光栅的光栅常数 根据光栅方程得1级谱线衍射角光栅的角色散本领为 所以波长差的钠双线的角间隔光栅的总宽度 所以钠双线中每条谱线的半角宽度为 3.28解：（高教社题库）由光栅方程知： 得光栅常数为由缺级条件知： 则得狭缝宽度为 欲求屏幕上全部级次， 则令 得屏幕上可能出现的级次为 考虑到级次缺级，所以在屏幕上出现的全部级次是： 3.29解：（高教社题库） 所谓设计光栅，就是要给出满足实验条件的光栅常数,光栅的总条数及光栅单缝的宽度.在实际中就是给出光栅的线数(单位长度上多少刻痕)，从而确定选用多大尺度的光栅.在计算中利用光栅方程确定光栅常数；用光栅的分辨本领来确定总条数；用缺级关系来确定单缝的宽度. 要实现在衍射方向上观察到波长为的第二级主极大，由光栅方程 得 结果1要能分辨的两条谱线，由光栅分辨本领 得 条 结果2所以光栅宽度至少是 结果3 要实现在处不出现其他谱线的主极大，即要求在该处的其他波长的主极大在此处缺级.首先计算在 处可能出现主极大的波长.由光栅方程 若 该波长已超出白光范围.若若 该波长也不在可见光范围所以只有波长是400nm的光在第3级次上会出现主极大.按要求得令其缺级.若要求第3级次缺级则要求 得 结果4最后设计的光栅是：光栅常数 缝宽为 总条数 至少要选1.44cm大小的光栅.3.30解：（高教社题库）光栅是一个很好的色散元件.题目要求将入射光的第一级光谱展开一定的角范围,就是要求入射光的最短波长的第一级的衍射角与最长波长的第一级衍射角的差值为.设光栅常数为 由光栅方程有 设计要求 由有 将代入上式得 由式得 3.31解：（高教社题库）由光栅方程知： 得 同理，由光栅方程有 得 故用此波长和此光栅不可能出现第二级明纹.用另外一种波长照射此光栅，仍由光栅方程进行计算.由光栅方程知： 得 欲求屏上出现的最高级次， 令则由光栅方程有 得 即用波长的光照射光栅常数为的光栅最多能看到级明纹.3.32解：（高教社题库） (1) 当干涉条纹被单缝衍射条纹调制后，如果缝数为N，则在两主极大之间有个极小和个次极大.按上述规则可判断: 图(a)是双缝；图(b)是四缝；图(c)是单缝；图(d)是三缝.(2) 由单缝衍射的第1级极小满足可以判断，单缝的宽度愈小,第1级衍射极小对应的愈大(包线宽)；单缝的宽度愈大, 第1级衍射极小对应的愈小(包线窄).根据上述原则可判断：图(c)对应的单缝缝宽最大. 也可看出图(b)对应的单缝缝宽最小.(3) 图(a)中 缺级 图(b)中 缺级 图(d)中 缺级3.33解：（高教社题库）白光的光栅光谱以零级条纹(白色)为中心两侧分列系列彩色光谱，级次愈高离中心愈远.同一级光谱中波长愈短愈靠近中心.即第k级光谱中紫光光谱靠近第k-1级光谱的红光.如果光谱重叠首先看第k级光谱中紫光光谱与第k-1级红光光谱的衍射角位置.明确了谱线排列规律后,就用正入射的光栅方程进行计算.由光栅方程计算得第二级光谱衍射角范围：第二级满足的方程是 衍射角 第二级满足的方程是 衍射角 对第三级光谱， 最短波长的衍射角 可见，第三级谱线已进入第二级光谱区，发生了重叠. 3.34解：（高教社题库）该题应考虑单缝衍射对多光束干涉的影响.实际的光栅衍射图样是在单缝衍射的包线内观察多光束干涉的主极大.即多光束干涉的主极大受到了单缝衍射的调制. 解法一 利用单缝中央条纹的宽度和双缝相邻条纹的宽度求解. 单缝衍射的中央条纹的宽度应是两级暗纹在屏幕上对应的距离 而双缝干涉主极大应满足光栅方程 相邻明纹的角间距是 所以在屏幕上对应的线距离是 由于在内共有13条明纹，所以和应有关系为 将和的值代入得 有 解法二 利用主极大分布和缺级概念直接求出.单缝衍射中央条纹的包线内多光束干涉的明纹分布是：在中央主极大(0级)两侧分立 高级次的极大，所以在中央包线内一定是奇数个主极大.按题目给出的条件，包线内有13条明纹，则除了中央主极大外，左右各有6个主极大.在令第7级缺级的情况下，一定可以保证在中央包线内有13个明纹.故两缝中心的间隔和缝宽应有的关系.3.35解：（高教社题库）从光栅方程出发求解是解决光栅光谱问题的基本出发点.相邻光线的光程差在光线斜入射和垂直入射时不同，从而透镜焦平面上的衍射谱级次就不同. 光线斜入射可以取得比垂直入射时更高的级次，而高级次又是提高光栅分辨本领的必要条件.斜入射时的光栅方程为 谱线级次 当 时 这表明，光线斜入射时，零级光谱已不在屏的中心，而移到了的角位置. 当 时，光程差最大，所以级次最高 .将，代入得 即最高级次是5级.垂直入射时， ， 最高级次对应于 结果是 垂直入射时，由于零级条纹在透镜主焦点处，所以上下级次对0级主极大对称.最高级次是3级.在屏幕上最多可观察到7条谱线.而斜入射时，由于零级谱线的偏移，使得上下级次对透镜主焦点不再对称.但斜入射比垂直入射可以观察到更高级次的谱线.(注意,在屏幕上仍然共有7条谱线)(2) 由光栅分辨本领 得 这个要求并不高.3.36解：（高教社题库）L 习题3.36图Dh实验装置示意如图.天线发射的微波的中央波束相当于圆孔衍射的中央亮斑.计算圆孔夫琅禾费衍射的艾里斑直径.圆孔夫琅禾费衍射的艾里斑角半径为 天线发射的中央波束的角宽度为： rad 如图所示,微波在地面覆盖的圆面积的直径为： m3.37解：（高教社题库）圆端面发出的的激光束可以看成是圆孔的夫琅禾费衍射波，其能量主要集中在艾里斑的范围内，故激光束的角宽度就是艾里斑的角宽度.激光束衍射的艾里斑角半径为 (1) 投射到月球球面上的艾里斑线半径 (2) 由(1)和(2)解得 这种光斑曾用大型望远镜观察到.3.38解：（高教社题库）雷达波由圆形天线发射，发出的波可以看成是圆孔的夫琅禾费衍射波，其能量主要集中在艾里斑的范围内，故雷达波的角宽度就是艾里斑的角宽度.(1) 频率为的毫米雷达波的波长是 艾里斑的角宽度 (2)同理可算出船用雷达波束的角宽度为 讨论 对比毫米波雷达和船用雷达的角宽度的数值，可以知道，尽管毫米波雷达天线直径小，但其发射的波束角宽度仍然小于船用的厘米波雷达波束的角宽度，其原因就在于毫米波的波长小于厘米波的波长.3.39解：（高教社题库）由于激光光束被出射窗限制，它必然会有一定的衍射发散角，用圆孔衍射估算. 在处艾里斑的直径为 此结果说明，截面有限而又绝对平行的光束是不可能存在的.3.40解：（高教社题库）望远镜的角分辨率为 rad瞳孔的角分辨率为 rad 得 rad由于，所以用此望远镜时，角分辨率实际为人眼所限制，实际起分辨作用的还是眼睛.3.41解：（高教社题库）熟悉显微镜分辨本领的计算，对放大率和分辨本领的关系有一个较实际的认识.显微镜是助视光学仪器,应该针对人眼进行设计.人眼的最小分辨角是，一般人眼能分辨远处相隔的两条刻线，或者说，在明视距离(相隔人眼)处相隔 的两条刻线.人眼敏感的波长是. 合理的设计方案是把显微镜的最小分辨距离放大到明视距离的 ,这样才能充分利用镜头的分辨本领. 本题条件下的光学显微镜的最小分辨距离为 按合理设计将其放大到明视距离可分辨的 所以 倍实际放大率还可设计得比这数值更高些，譬如500倍，以使人眼看得更舒服些.3.42解：（高教社题库）通过本题可以熟悉望远镜的分辨本领的计算，同时对物镜的放大率与分辨率的关系有一个切实的概念认识.一方面我们应该认识到，衍射效应给光学仪器的分辨本领的限制是不能用提高放大率的办法来克服的；但另一方面如果放大率不足，也可能使原来仪器已分辨的东西由于成像太小，使眼镜和照片不能分辨.所以设计一个光学仪器应使它的放大率和分辨本领相适应.对于助视光学仪器，最好如此选择其放大率，使其等于仪器最小分辨角的角度放大到人眼所能分辨的最小角度.（1） 由 对 的物镜： 对 的物镜： （2）对 的物镜，视角放大率 倍对的物镜， 视角放大率倍实际上，为了让眼睛看的更舒服些,还可提高些放大率.3.43解：（高教社题库）波带片是验证半波带法的极好元件，通过本题可以加深对半波带法的理解.自由传播，轴上场点的振幅是第一个半波带振幅的一半，即自由传播时，轴上场点的振幅为.根据半波带法可知，相邻半波带的光程差是，即相邻半波带相应光线的相位差为，所以在场点相消.而相邻的奇数带(或偶数带)的相应光线相位差为，符合相长干涉，故在场点加强.设各半波带在场点产生的振幅相同，则题目中波带片在轴上场点产生的振幅为 根据自由传播时整个波前在轴上场点产生的振幅是的第一个半波带的效果之半的结论，有 由上述两式得 则强度之比为 本题中的波带片使轴线上光强增大400倍.3.44解：（高教社题库）（1）细丝的第一级衍射极小对应的衍射角为 细丝的夫琅禾费衍射亮纹的宽度 则 对于小角度，有有关系式 所以细丝的直径为 (2)代入数据得 3.45 解：（高教社题库）由 得普通望远镜的物镜最小分辨角是 天文望远镜的物镜最小分辨角是 则 即天文望远镜的分辨本领是普通望远镜的120倍.3.46解：（高教社题库）测量时，以波长为的单色光照射血球板，中心孔作为点光源，将待测直径的血球抹在显微镜的盖波片