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三 直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系1平行关系：线线平行 线面平行 面面平行2平行关系的判定定理（1）线线平行的判定定理判定1： 判定2： 判定3: 判定4: (2)线面平行的判定定理：判定1： 判定2：（3）面面平行的判定定理：判定1：，判定2：（ii）平行关系的性质定理(1)线面平行的性质定理: (2)面面平行的性质定理:性质定理1: 性质定理2: 题例1如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（A）BD平面CB1D1 （B）AC1BD（C）AC1平面CB1D1 （D）异面直线AD与CB1角为602对于任意的直线l与平面,在平面内必有直线m,使m与l(A)平行（B）相交 (C)垂直 (D)互为异面直线3. 如图，在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点，那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于A. B. C. D. 4过平行六面体任意两条棱的中点作直线, 其中与平面平行的直线共有 A4条 B6条 C8条 D12条5已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A BC D6设为两两不重合的平面，l、m、n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：若则；若则；若则；若则mn.其中真命题的个数是（A）1 （B）2 （C）3 （D）47如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，是PC的中点。（1）证明平面EDB；（2）求EB与底面ABCD所成的角的正切值。解：本题考查直线与平面平行、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力。方法一：（1）证明：连结AC、AC交BD于O。连结EO 底面ABCD是正方形 点O是AC的中点。在中，EO是中位线 而平面EDB且平面，所以，平面EDB。（2）解：作交CD于F。连结BF，设正方形ABCD的边长为。 底面ABCD F为DC的中点 底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故为直线EB与底面ABCD所成的角。在中， 在中 所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点。设（1）证明：连结AC，AC交BD于G。连结EG。依题意得， 底面ABCD是正方形 G是此正方形的中心，故点G的坐标为 这表明而平面且平面EDB 平面EDB（2）解：依题意得，取DC的中点 连结EF，BF ， ， ， 底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故为直线EB与底面ABCD所成的角。在中， 所以，EB与底面ABCD所成的角的正切值为。DEPBAC8如图，在底面是菱形的四棱锥PABC中，ABC=600，PA=AC=a,PB=PD=,点E是PD的中点.（I）证明PA平面ABCD，PB平面EAC；（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的正切值.解：（）证法一 因为底面ABCD是菱形，ABC=60，所以AB=AD=AC=a， 在PAB中，由PA2+AB2=2a2=PB2 知PAAB.同理，PAAD，所以PA平面ABCD.因为 所以 、共面.又PB平面EAC，所以PB/平面EAC.证法二 同证法一得PA平面ABCD.连结BD，设BDAC=O，则O为BD的中点.连结OE，因为E是PD的中点，所以PB/OE.又PB平面EAC，OE平面EAC，故PB/平面EAC.（）解 作EG/PA交AD于G，由PA平面ABCD.知EG平面ABCD.作GHAC于H，连结EH，则EHAC，EHG即为二面角的平面角.又E是PD的中点，从而G是AD的中点，所以 9如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直， AB=，AF=1，M是线段EF的中点.（）求证AM平面BDE；（）求证AM平面BDF；（）求二面角ADFB的大小；解：方法一解: ()设ACBD=0，连结OE， O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，四边形AOEM是平行四边形，AMOE.平面BDE， 平面BDE，AM平面BDE.()BDAC，BDAF，且AC交AF于A，BD平面AE，又因为AM平面AE，BDAM.AD=,AF=1,OA=1,AOMF是正方形，AMOF，又AMBD，且OFBD=0AM平面BDF.（）设AMOF=H，过H作HGDF于G，连结AG，由三垂线定理得AGDF，AGH是二面角ADFB的平面角.方法二 （）建立如图所示的空间直角坐标系.设，连接NE， 则点N、E的坐标分别是（、（0,0,1）, NE=(, 又点A、M的坐标分别是）、（. AM=（NE=AM且NE与AM不共线，NEAM.又平面BDE， 平面BDE，AM平面BDF.（） （）AFAB，ABAD，AFAD=A，AB平面ADF.10如图，在斜三棱柱中，侧面与底面ABC所成的二面角为，E、F分别是棱的中点（）求与底面ABC所成的角（）证明平面（）求经过四点的球的体积解：（）过作平面，垂足为连结，并延长交于，于是为与底面所成的角，为的平分线又，且为的中点因此，由三垂线定理，且，于是为二面角的平面角，即由于四边形为平行四边形，得（）证明：设与的交点为，则点为的中点连结在平行四边形中，因为的中点，故而平面，平面，所以平面（）连结在和中，由于，则，故由已知得又平面，为的外心设所求球的球心为，则，且球心与中点的连线在中，故所求球的半径，球的体积11已知正方形分别是边的中点，将沿折起，如图所示，记二面角的大小为。（1）证明：平面（2）若为正三角形，试判断点在平面内的射影是否在直线上，证明你的结论，并求角的余弦值。【解析】(I)证明:EF分别为正方形ABCD得边AB、CD的中点,EB/FD,且EB=FD, 四边形EBFD为平行四边形. BF/ED 平面.(II)解法1: 如右图,点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,过点A作AG垂直于平面BCDE,垂足为G,连结GC,GD.ACD为正三角形, AC=AD CG=GDG在CD的垂直平分线上, 点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则,所以为二面角A-DE-C的平面角.即设原正方体的边长为2a,连结AF在折后图的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,即AEF为直角三角形, 在RtADE中, .解法2:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上连结AF,在平面AEF内过点作,垂足为.ACD为正三角形,F为CD的中点, 又因, 所以 又且 为A在平面BCDE内的射影G.即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则,所以为二面角A-DE-C的平面角.即设原正方体的边长为2a,连结AF 在折后图的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,即AEF为直角三角形, 在RtADE中, .解法3: 点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上连结AF,在平面AEF内过点作,垂足为.ACD为正三角形,F为CD的中点, 又因,所以 又 为A在平面BCDE内的射影G. 即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则,所以为二面角A-DE-C的平面角.即设原正方体的边长为2a,连结AF在折后图的AEF中,AF=,EF=2AE=2a, 即AEF为直角三角形, 在RtADE中, , .【点评】本小题考查空间中的线面关系,解三角形等基础知识考查空间想象能力和思维能力.12右图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为已知，（1）设点是的中点，证明：平面；（2）求二面角的大小；（3）求此几何体的体积解：解法一：（1）证明：作交于，连则因为是的中点，所以则是平行四边形，因此有平面且平面，则面（2）如图，过作截面面，分别交，于，作于，连因为面，所以，则平面又因为，所以，根据三垂线定理知，所以就是所