中考二次函数问题例析.doc

中考二次函数问题例析河北省卢龙县燕河营镇中学（066407）王晓东笔者对2009年一些省市的数学中考题进行了仔细的分析，发现二次函数类型的问题与代数、几何、三角函数等知识都有密切的联系，二次函数型的问题是中考题的一个重点，它可以充分的考察学生分析问题和解决问题的能力，是一类十分重要的中考问题类型。现通过对2009中考真题的分析，揭示中考对二次函数知识的检测重点。一 以选择题、填空题出现的二次函数型试题11Oxy（1题图）例1 (2009宁夏回族自治区)二次函数的图像如图所示，对称轴是直线，则下列四个结论错误的是（ ）A BC D解析：此题目是一个关于二次函数的数形结合的问题，主要考察二次函数系数之间关系，是一个难度不大基础性的问题。观察题目给出的二次函数图形，二次函数与y轴的交点在y轴的正半轴，使x=0,y=c0,答案A正确。观察二次函数图像，二次函数的对称轴x=1，b=2a, 2a+b=0, 答案B正确。二次函数图像与x轴由两个交点，即方程ax2+bx+c=0由两个不相等的实数根，答案C正确。当x=1时，结合图像发现 y= ax2+bx+c=a-b+c 0, y=a-b+c0,抛物线的开口方向向上写出使该抛物线开口向下的t的一个值，我们熟知当a0时，抛物线开口向下,说明t与a之间具有某种关系时可保证抛物线开口向下。分别将（t，0）和（3，3）代入，可得一个关于t的一个一元二次方程at2+(3a+1)t=0, 解得t=0, t=3,因为要保证抛物线开口向下，所以a0。当a-3。只要保证t-3且t0或其中任意一个数都是正确的，答案不惟一。图 12例5 (2009辽宁大连市)如图12，直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线的顶点为A，且经过点B求该抛物线的解析式；若点C(m，)在抛物线上，求m的值解析：此题目考察了在x轴y轴上坐标点的特征，x轴上坐标点的纵坐标时0，y轴上坐标点的横坐标时0；用待定系数法求函数解析式的技能以及解一元二次方程的基本技能。直线交x轴于点A，交y轴于点B，当y=0时，x=-2,所以A(-2,0)；当x=0时，y=-2 所以B(0,-2)抛物线的顶点为A，因此抛物线的对称轴是x=-2,已知的点只有两个，所以设抛物线解析式要设为顶点式y=k(x+2)2+m。分别将A（2，0）和B（0，2）代入y=k(x+2)2+m,m=04k+m=2解得 m=0 k=所以该抛物线的解析式y=(x+2)2=x2-2x-2把(m,)代入y=x2-2x-2得, m2-2m-2= 解得m=1,m=-5例6（2009宁夏回族自治区）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点yxBOAC（1）求三点的坐标；（2）证明为直角三角形；（3）在抛物线上除点外，是否还存在另外一个点，使是直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由解析：此题目考察了在x轴、y轴上坐标点的特征、勾股定理的逆定理以及以二次函数为载体的三角形“存在性”问题。解答这类问题关键要运用数形结合的思想方法解题。解：（1）抛物线与轴交于两点，解得：点的坐标为将代入，得点的坐标为（0，2）（2），则，是直角三角形（3）将代入点坐标为三 以综合题出现的二次函数型试题例7 (2009辽宁大连市)如图18，抛物线F：的顶点为P，抛物线：与y轴交于点A，与直线OP交于点B过点P作PDx轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F：，抛物线F与x轴的另一个交点为C当a = 1，b=2，c = 3时，求点C的坐标(直接写出答案)；图 18若a、b、c满足了求b：b的值；探究四边形OABC的形状，并说明理由解析：此题是一道有难度的二次函数的题目，考察到的知识点较多且较难，其中解题的一个关键知识点是二次函数的平移变换的透彻理解，以及函数解析式表示方法的确定。特别应注意的是题目中没有具体的数据，要以符合要求的数据代入，可以简化计算。 只要求直接写出点C的坐标，实际上是为考生创设解决问题的的情境，为考生解决第二个问题做一个铺垫，为正确解决第二个问题是提供解题思路。为了大家对这个问题有一个整体的认识，书写具体的解题步骤如下：解：把a = 1，b=2，c = 3代入抛物线F：，则抛物线F：，所以顶点坐标，又因为PDx轴于点D，可知当时，所以 直线经过原点和是正比例函数，易得直线OP的解析式由方程组 得到点平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F：,根据抛物线平移变换的规律，可设抛物线F为：（）把点A（0，3）、D（1，0）分别代入，得 所以抛物线F为：当时，解得或，易得点C的坐标是（3，0）。通过第一题提供的解题，可对第二问题分析如下：已知抛物线开口向上，与x轴没有交点，所以a0且b2-4ac0,n0) 因为抛物线经过点A、D，把点A、D的坐标代入y=(x-1-m)2+1-n，解得m=,n=。抛物线F的解析式y=(x-)2-=x2-3x+2。所以b：b=(-2):(-3)=。当y=0时，由y=(x-)2-=x2-3x+2易得C点坐标（2，0），根据四边形OABC顶点的坐标可以证明四边形OABC为正方形。总上所述，在求解二次函数型问题时，一定要抓住基础知识的运用，借助图形去思考和探索，及时抓住变化中的“不变”，以“不变”为“向导”，同时要善于利用坐标轴上点的特征、三角函数、待定系数法、勾股定理、二次函数顶点坐标方程有关概念与性质，并利