抛物线及其标准方程.ppt

复习回顾 我们知道 椭圆 双曲线的有共同的几何特征 都可以看作是 在平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹 2 当e 1时 是双曲线 1 当0 e 1时 是椭圆 其中定点不在定直线上 e 1 那么 当e 1时 它又是什么曲线 l 问题探究 当e 1时 即 MF MH 点M的轨迹是什么 探究 可以发现 点M随着H运动的过程中 始终有 MF MH 即点M与点F和定直线l的距离相等 点M生成的轨迹是曲线C的形状 如图 我们把这样的一条曲线叫做抛物线 几何画板观察 2 4 1抛物线及其标准方程 在平面内 与一个定点F和一条定直线l 不在直线上 的距离相等的点的轨迹叫抛物线 点F叫抛物线的焦点 直线l叫抛物线的准线 MF d d为M到l的距离 准线 焦点 d 一 抛物线的定义 二 标准方程的推导 思考 抛物线是轴对称图形吗 怎样建立坐标系 才能使焦点坐标和准线方程更简捷 1 建系 2 设点 3 列式 4 化简 l 解 以过F且垂直于l的直线为x轴 垂足为K 以F K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xoy 两边平方 整理得 M x y F 依题意得 5 检验 这就是所求的轨迹方程 如图 若以准线所在直线为y轴 则焦点F P 0 准线L x 0 由抛物线的定义 可导出抛物线方程为y2 2p x p 0 三 标准方程 把方程y2 2px p 0 叫做抛物线的标准方程 其中p为正常数 表示焦点在x轴正半轴上 且p的几何意义是 右焦点是 左准线方程为 一条抛物线 由于它在坐标平面内的位置不同 方程也不同 所以抛物线的标准方程有四种形式 l M x y F 焦点到准线的距离 第一 一次项的变量为x 或y 则x轴 或y轴 为抛物线的对称轴 焦点就在对称轴上 第二 一次项的系数的正负决定了开口方向 不容易错的最好方法是看看x 或y 的取值范围 即 焦点与一次项变量相同 正负决定开口方向 例11 抛物线的标准方程是y2 6x 求焦点和准线方程 2 抛物线的方程是y 6x2 求焦点坐标和准线方程 3 抛物线的焦点坐标是F 0 2 求它的标准方程 解 方程可化为 故焦点坐标为 准线方程为 5 0 x 5 0 2 y 2 练习1求下列抛物线的焦点和准线方程 1 y2 20 x 2 y 2x2 3 2y2 5x 0 4 x2 8y 0 注意 求抛物线的焦点一定要先把抛物线化为标准形式 练习2抛物线的顶点是坐标原点 根据下列条件 分别写出抛物线的标准方程 1 焦点是F 3 0 2 准线方程是x 3 焦点到准线的距离是2 y2 12x y2 x y2 4x y2 4x x2 4y或x2 4y 反思 已知抛物线的标准方程求其焦点和准线方程 先定位 后定量 O y x 解 1 当焦点在y轴正半轴上时 把A 3 2 代入x2 2py 得p 2 当焦点在x轴负半轴上时 把A 3 2 代入y2 2px 得p 抛物线标准方程为x2 y或y2 x 练习3抛物线经过点P 4 2 求抛物线的标准方程 提示 注意到P为第四象限的点 所以可以设抛物线的标准方程为y2 2px或x2 2py 例2 求顶点是坐标原点 且过A 3 2 的抛物线的标准方程 例3已知抛物线方程为x ay2 a 0 讨论抛物线的开口方向 焦点坐标和准线方程 思考 M是抛物线y2 2px p 0 上一点 若点M的横坐标为x0 则 O y x F M 这就是抛物线的焦半径公式 例4抛物线的焦点在x轴上 抛物线上的横坐标为3的点M到焦点的距离等于6 求抛物线的标准方程 y2 2px p 0 由抛物线的定义知3 6 即p 6 数形结合 用定义转化条件 解 因为是焦点在x轴上且过M点的抛物线 所以设标准方程为 所求抛物线标准方程为y2 12x 变式 抛物线的焦点在x轴上 抛物线上的点M 3 m 到焦点的距离等于6 求抛物线的标准方程 过抛物线的焦点F作x轴的垂线交抛物线与 两点 且 34页作业9 变式3点M与点F 2 0 的距离比它到直线l x 4 0的距离小2 求点M的轨迹方程 35页作业11 第2课时 准线方程 焦点坐标 标准方程 焦点位置 图形 不同位置的抛物线 x轴的正方向 x轴的负方向 y轴的正方向 y轴的负方向 y2 2px y2 2px x2 2py x2 2py F O y x F M 抛物线的焦半径公式 例1抛物线的焦点在x轴上 抛物线上的横坐标为 3的点M到焦点的距离等于5 求抛物线的标准方程 y2 8x 变式 抛物线的焦点在x轴上 抛物线上的点M 3 m 到焦点的距离等于5 求抛物线的标准方程 并求m的值 O y x F M 变式 在抛物线y2 8x上 到焦点的距离等于5的点的坐标 35页作业10 36页作业8 改 35页作业5 改 37页作业7 改 练习 后备练习 已知抛物线x2 4y的焦点F和点A 1 8 P为抛物线上一点 则 PA PF 的最小值是 A 16 B 6 C 12 D 9 D 第3课时 直线与抛物线位置关系种类 1 相离 2 相切 3 相交 一个交点 两个交点 一个交点 没有交点 0 1 判断直线是否与抛物线的对称轴平行 不平行 直线与抛物线相交 一个交点 平行 计算判别式 0 1 K 1 2 K 0 K 1 若直线l与抛物线有公共点 l在y轴上截距的最小值 变式1 已知实数x y满足方程y2 4x 求函数的最值 变式3 点 x y 在抛物线y2 4x上运动 求函数z x y的最值 本题转化为过定点 2 1 的直线与抛物线有公共点时斜率的最值问题 本题转化为直线y x z与抛物线有公共点时z的最值问题 无最大值 变式2 点 x y 在椭圆x2 4 y2 1上运动 求点 0 2 与椭圆上任一点连线的斜率k的范围 第4课时 AB 8 方法 1 解 如图 由抛物线的标准方程可知 抛物线的焦点坐标为F 1 0 所以直线AB的方程为 即A B的坐标分别为 解得 得 代入方程 问题 1 试问还有其他方法或更简捷一点的解法么 方法 2 弦长公式 AB 方法 3 由抛物线定义 AB AF BF 问题 1 试问还有其他方法或更简捷一点的解法么 AA BB 8 A B 方法 焦半径公式 例 斜率为1的直线经过抛物线的焦点 与抛物线相交于A B 求线段AB的长 PF x0 p 2 F P 抛物线的焦半径公式 F P F P F P PF x0 p 2 PF y0 p 2 PF y0 p 2 方法 焦半径公式 例 斜率为1的直线经过抛物线的焦点 与抛物线相交于A B 求线段AB的长 抛物线的焦点弦 问题 2 从方法 4 中你能得到什么结论 过抛物线y 2px p 0 的焦点的直线交抛物线于A B两点则 AB 问题 3 能否把例 2 推广到一般性的命题呢 斜率为k的直线经过抛物线 p 0 的焦点 与抛物线相交于A B 求线段AB的长 用k p表示 解 设直线AB的方程为 x1 x2 p AB 即 斜率为k的直线经过抛物线 p 0 的焦点 与抛物线相交于A B 求线段AB的长 用k p表示 AB 由此可得 即通径 问题 4 把上题中的斜率k换成直线的倾斜角呢 0 通径是抛物线的焦点弦中最短的弦 分类讨论合并 即分斜率存在或不存在 练习 过抛物线y2 4x的焦点 作直线L交抛物线于A B两点 若线段AB中点的横坐标为3 则 AB 8 焦点弦的长度公式 焦半径公式 例 斜率为1的直线经过抛物线的焦点 与抛物线相交于A B 求线段AB的长 斜率为k的直线经过抛物线 p 0 的焦点 与抛物线相交于A B 求线段AB的长 用k p表示 第5课时 问题 6 过抛物线 p 0 焦点的一条直线与它相交于A B两点 经过A和抛物线顶点的直线交准线于点C 2001高考题 作业本 页第 题 设抛物线 p 0 的焦点F 经过F的直线交抛物线A B两点 点C在抛物线的准线上 且BC x轴 证明 AC经过原点O 那么BC与抛物线的对称轴有什么关系呢 证KOC KOA BC平行于对称轴 的结论略证 当时 x2 y2 x1 y1 则直线OA的方程 问题 6 有什么几何意义呢 结论 2 以Q为圆心 以A B 为直径的圆切AB于F点 问题 6 有什么几何意义呢 结论 Q 2 以Q为圆心 以为直径的圆切AB于F点 QP 1 2 AA BB AA BB AF BF AB M N 问题 6 有什么几何意义呢 结论 Q 2 以Q为圆心 以为直径的圆切AB于F点 3 AQ BQ P 4 以P为圆心以AB为直径的圆切于Q点 问题 7 C y2 8x 练习 1 已知抛物线的顶点在原点 对称轴为x轴 焦点在直线3x 4y 12 0上