【备战】高考数学专题讲座 第27讲 高频考点分析之概率与统计探讨.doc

【备战2013高考数学专题讲座】第27讲：高频考点分析之概率与统计探讨12讲，我们对客观性试题解法进行了探讨，38讲，对数学思想方法进行了探讨，912讲对数学解题方法进行了探讨，第13讲第28讲我们对高频考点进行探讨。概率与统计试题是高考的必考内容。它是以实际应用问题为载体，以排列组合和概率统计等知识为工具，以考查对概率事件的判断识别及其概率的计算和随机变量概率分布列性质及其应用为目标的中档题，概率应用题侧重于分布列与期望，应用题近几年的高考有以概率应用题替代传统应用题的趋势。结合2012年全国各地高考的实例，我们从以下五方面探讨概率与统计问题的求解：1. 传统概率的计算；4. 独立事件概率的计算；5. 离散型随机变量概率列和数学期望计算；6. 样本抽样方法；7. 统计量的分析和计算。一、传统概率的计算：典型例题：例1. （2012年北京市理5分）设不等式组表示的平面区域为d，在区域d内随机取一个点。则此点到坐标原点的距离大于2的概率是【 】a. b. c. d. 【答案】 d。【考点】几何概率。【解析】不等式组表示的平面区域d是一个边长为2的正方形，如画图可知，区域内到坐标原点的距离大于2的点为红色区域，它的面积为正方形的面积减四分之一圆的面积：。 此点到坐标原点的距离大于2的概率是。故选d。例2. （2012年安徽省文5分）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于【 】 【答案】。【考点】概率。【解析】1个红球，2个白球和3个黑球记为红1，白1，白2，黑1，黑2，黑3。 画树状图如下：从袋中任取两球，共有15种等可能结果，满足两球颜色为一白一黑有种，概率等于。故选。例3. （2012年广东省理5分）从概率位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是【】a. b. c. d. 【答案】d。【考点】分类讨论的思想，概率。【解析】由题意知，个位数与十位数应该一奇一偶。个位数为奇数，十位数为偶数共有55=25个两位数；个位数为偶数，十位数为奇数共有54=20个两位数。两类共有25+20=45个数，其中个位数为0，十位数为奇数的有10,30,50,70,90共5个数。概率位数为0的概率是=。故选d。例4. （2012年湖北省理5分）如图，在圆心角为直角的扇形oab中，分别以oa，ob为直径作两个半圆。在扇形oab内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是【 】a. b. c. d.【答案】a。【考点】概率，扇形面积，特殊元素法。【解析】取大圆的半径为2，则小圆半径为1， 如图，两个半圆相交的阴影部分是两个弓形，连接oc，取oa的中点d，连接cd。 两个半圆相交的阴影部分面积为。又扇形oab的面积为，阴影部分的面积为。在扇形oab内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率。故选a。例5. （2012年福建省理5分）如图所示，在边长为1的正方形oabc中任取一点p，则点p恰好取自阴影部分的概率为【 】a. b. c. d.【答案】c。【考点】定积分的计算，几何概型的计算。【解析】， 利用几何概型公式得：。故选c。例6. （2012年辽宁省理5分）在长为12cm的线段ab上任取一点c.现作一矩形，领边长分别等于线段ac，cb的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为【 】(a) (b) (c) (d) 【答案】c。【考点】函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算。【解析】设线段ac的长为cm，则线段cb的长为()cm。那么矩形的面积为cm2。由，解得。又，所以该矩形面积小于32cm2的概率为。故选c。例7. （2012年辽宁省文5分）在长为12cm的线段ab上任取一点c. 现作一矩形，邻边长分别等于线段ac,cb的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为【 】:(a) (b) (c) (d) 【答案】c。【考点】函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算【解析】设线段ac的长为cm，则线段cb的长为()cm,那么矩形的面积为cm2，由，解得。又，所以该矩形面积大于20cm2的概率为。故选c。例8. （2012年上海市文4分）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）.【答案】。【考点】排列组合概率问题（古典概型）。【解析】设概率，则。求k，分三步：选二人，让他们选择的项目相同，有种；确定上述二人所选择的相同的项目，有种；确定另一人所选的项目，有种. 所以，故。例9. （2012年湖南省理5分）函数的导函数的部分图像如图所示，其中，p为图像与y轴的交点，a,c为图像与轴的两个交点，b为图像的最低点.（1）若，点p的坐标为，则 ;（2）若在曲线段与轴所围成的区域内随机取一点，则该点在abc内的概率为 .【答案】（1）3；（2）。【考点】三角函数的图像与性质，定积分，几何概率。【解析】（1），当，点p的坐标为时， 。（2）由图知，。，曲线段与轴所围成的区域面积为。由几何概率知该点在abc内的概率为。例10. （2012年浙江省文5分）从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为的概率是 。【答案】。【考点】随机事件的概率。【解析】从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点共有=10种，若使两点间的距离为，则为对角线一半，选择点必含中心，共有4种可能。故该两点间的距离为的概率是。例11. （2012年重庆市文5分）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）。【答案】。【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率，古典概型及其概率计算公式。【分析】语文、数学、外语三门文化课两两不相邻的排法可分为两步，先把其它三门艺术课排列有种排法，第二步把语文、数学、外语三门文化课插入由那三个隔开的四个空中，有 种排法，所有的排法种数为 =144。在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为。 例12. （2012年重庆市理5分）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）.【答案】。【考点】排列数公式及概率。【分析】随意安排6节课的方法数为，而“相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课”的对立事件为“相邻两节文化课之间排3节艺术课或排2节艺术课”，共有。其概率为。例13. （2012年江苏省5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 【答案】。【考点】等比数列，概率。【解析】以1为首项，为公比的等比数列的10个数为1，3，9，-27，其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8， 从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是。例14. （2012年山东省文12分）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.()从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；()现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.【答案】解：()画树状图： 图中可见，从五张卡片中任取两张的所有等可能情况有10种，其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况， 这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率为。() 画树状图： 图中可见，从六张卡片中任取两张的所有等可能情况有15种，其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有8种情况， 这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率为。【考点】概率。【解析】()画树状图，找出从五张卡片中任取两张的所有等可能情况和其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的情况，即可求出概率。()画树状图，找出从六张卡片中任取两张的所有等可能情况和其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的情况，即可求出概率。例15. （2012年江西省文12分）如图，从，这个点中随机选取个点。（1） 求这3点与原点恰好是正三棱锥的四个顶点的概率；（2） 求这3点与原点共面的概率。【答案】解：（1）总的结果数为20种，满足条件的种数为2种：，所求概率为。（2）满足条件的情况为,，所求概率为。【考点】概率。【解析】根据概率的求法，找准两点：全部等可能情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率。例16. （2012年福建省文12分）在等差数列an和等比数列bn中，a1b11，b48，an的前10项和s1055.（i）求an和bn；（ii）现分别从an和bn的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率【答案】解：（i）设an的公差为d，bn的公比为q.依题意得s1010d55，b4q38，解得d1，q2，所以ann，bn2n1。（ii）分别从an，bn的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)符合题意的基本事件有2个：(1,1)，(2,2)，故所求的概率p。【考点】等差、等比数列、古典概型。【解析】（i）根据已知求出公差和公比，即可求得an和bn、（ii）根据概率的求法，找准两点：全部等可能情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率。例17. （2012年陕西省文12分）假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：（）估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；（）这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率【答案】解：（）甲品牌产品寿命小于200小时的频率为：，用频率估计概率，得甲品牌产品寿命小于200小时的概率为：。（）根据抽样结果寿命大于200小时的产品有75+70=145个，其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是，用频率估计概率，得已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为：。【考点】用样本的频率分布估计总体分布，频率分布直方图。【解析】（）先从频数分布图中得到甲品牌产品寿命小于200小时的个数，与总数相比求出频率，即可得到概率。（）先求出已使用了200小时的产品总数，再找到是甲品牌的个数，二者相比即可得到结论。二、独立事件概率的计算：典型例题：例1. （2012年全国课标卷理5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 【答案】。【考点】正态分布，概率。【解析】三个电子元件的使用寿命均服从正态分布，三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为。超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率。 该部件的使用寿命超过1000小时的概率为。例2. （2012年全国大纲卷文12分）乒乓球比赛规则规定，一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立甲、乙的一局比赛中，甲先发球（1）求开球第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（2）求开始第5次发球时，甲得分领先的概率【答案】解：记为事件“第i次发球，甲胜”，i=1,2,3，则。（1）事件“开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2”为，由互斥事件有一个发生的概率加法公式得。即开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为0.352。（2）开始第5次发球时，甲得分领先的情况是4比0，3比1。 甲得分是4比0的概率是； 甲得分是3比1的概率是。开始第5次发球时，甲得分领先的概率是0.0576+0.2496=0.3072。【考点】独立事件的概率。【解析】首先要理解发球的具体情况，然后对于事件的情况分析、讨论，并结合独立事件的概率求解结论。例3.（2012年四川省文12分） 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和。（）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求的值；（）求系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率。【答案】解：（）设 “至少有一个系统不发生故障”为事件c，那么 ，解得。 （）设“系统a在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件d,那么 =。答：检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为。【考点】相互独立事件，独立重复试验、互斥事件、概率等概念。【解析】（）求出“至少有一个系统不发生故障”的对立事件的概率，利用至少有一个系统不发生故障的概率为 ，可求的值。（）根据相互独立的事件的概率的求法求解即可。例4. （2012年重庆市文13分）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响。（）求乙获胜的概率（7分）； （）求投篮结束时乙只投了2个球的概率（6分）。【答案】解：（）记“乙获胜”为事件，甲3次投篮投中为，乙3次投篮投中为。 ，。由互斥事件由一个发生的概率公式与相互独立事件同时发生的概率公式得（）记“乙只投了2个球”为事件。由于投篮结束时乙只投了2个球，说明第一次投球甲乙都没有投中，第二次投球甲没有投中、乙投中，或第三次投球甲投中了。 【考点】相互独立事件的概率乘法公式，概率的基本性质。【分析】（）分别求出乙第一次投球获胜的概率、乙第二次投球获胜的概率、乙第三次投球获胜的概率，相加即得所求。（）由于投篮结束时乙只投了2个球，说明第一次投球甲乙都没有投中，第二次投球甲没有投中、乙投中，或第三次投球甲投中了，把这两种情况的概率相加，即得所求。三、离散型随机变量概率列和数学期望计算：典型例题：例1. （2012年上海市理5分）设，随机变量取值的概率均为，随机变量取值的概率也均为，若记分别为的方差，则【 】a b c d与的大小关系与的取值有关【答案】a。【考点】离散型随机变量的期望和方差公式。【解析】由随机变量的取值情况，它们的平均数分别为： 设，则。 + ； 记，同理得， 。 只要比较与有大小： ，。故选a。例2. （2012年全国大纲卷理12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分。设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为，各次发球的胜负结果相互独立，。甲、乙的一局比赛中，甲先发球。（1）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（2）表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望。【答案】解：记为事件“第i次发球，甲胜”，i=1,2,3，则。（1）事件“开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2”为，由互斥事件有一个发生的概率加法公式得。即开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为0.352。（2）由题意。；=0.408；。分布列为：01230.1440.1080.3520.096的期望。【考点】独立事件的概率，分布列和期望值。【解析】首先要理解发球的具体情况，然后对于事件的情况分析、讨论，并结合独立事件的概率求解结论。例3. （2012年全国课标卷理12分）某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。（1）若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式。 （2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量14151617181920频 数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。（i）若花店一天购进枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），求的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由。【答案】解：（1）当时，； 当时，。 。 （2）（i）可取，。 的分布列为： 。 。 （ii）购进17枝时，当天的利润为 ，应购进17枝。【考点】列函数关系式，概率，离散型随机变量及其分布列。【解析】（1）根据题意，分和分别列式。 （2）取，求得概率，得到的分布列，根据数学期望及方差公式求解；求出购进17枝时，当天的利润与购进16枝时，当天的利润比较即可。例4. （2012年四川省理12分）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）和，系统和在任意时刻发生故障的概率分别为和。（）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求的值；（）设系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望。【答案】解：（）设 “至少有一个系统不发生故障”为事件c，那么 ，解得。 （）由题意， ， ，随机变量的概率分布列为：0123故随机变量x的数学期望为：=0 。【考点】相互独立事件，独立重复试验、互斥事件、二项分布，随机变量的分布列、数学期望。【解析】（）求出“至少有一个系统不发生故障”的对立事件的概率，利用至少有一个系统不发生故障的概率为 ，可求的值。（）的所有可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率，可得的分布列与数学期望。例5. （2012年天津市理13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.（）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率： （）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率： （）用分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.【答案】解：（）依题意， 4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为 。设“这4个人中恰有2人去参加甲游戏”为事件，则。这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为。（）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件，则。 与互相排斥， （）的所有可能取值为0，2，4，与互相排斥，与互相排斥，随机变量的分布列是024随机变量的分布列与数学期望。【考点】离散型随机变量的期望与方差，相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量及其分布列。【分析】（）依题意，求出这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率和去参加乙游戏的人数的概率，即可求得这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率。（）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件，则包括这4个人中去参加甲游戏的人数有3人和4人两种情况，利用互斥事件的概率公式可求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率。（）的所有可能取值为0，2，4，由于与互相排斥，与互相排斥，求出相应的概率，可得的分布列与数学期望。例6. （2012年安徽省理12分）某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道类试题和一道类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束。试题库中现共有道试题，其中有道类型试题和道类型试题，以表示两次调题工作完成后，试题库中类试题的数量。（）求的概率；（）设，求的分布列和均值（数学期望）。【答案】解：（i）根据题意，表示两次调题均为类型试题，概率为。（）时，每次调用的是类型试题的概率为 随机变量可取则，。的分布列如下：。【考点】概率，离散型随机变量及其分布列。【解析】（i）根据题意，表示两次调题均为类型试题，第一次调题为类型试题的概率为；第二次调题时试题总量为，类型试题为，概率为。所以两次调题均为类型试题的概率为。 （）随机变量可取，求出的分布列和均值（数学期望）。例7. （2012年山东省理12分） 现有甲、乙两个靶。某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为,每命中一次得2分，没有命中得0分。该射手每次射击的结果相互独立。假设该射手完成以上三次射击。（）求该射手恰好命中一次的概率；（）求该射手的总得分x的分布列及数学期望ex【答案】解：（）该射手恰好命中一次的情况包括向甲靶射击命中向乙靶射击没中，向甲靶射击没中向乙靶射击命中一次两种情况，p该射手恰好命中一次的概率为。（）取,。该射手的总得分x的分布列如下：x012345p求该射手的总得分x的数学期望ex=0+1+2+3+4+5=。【考点】概率，分布列及数学期望。【解析】（）找出该射手恰好命中一次的所有情况，求出概率即可。 （）直接根据分布列及数学期望的计算方法解题即可。例8.（2012年广东省理13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：（1）求图中的值；（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数学期望。【答案】解：（1）图中学生期中考试数学成绩在 80,90)的频率f5=1-10（0.054+0.01+0.0063）=1-0.82=0.18 ，=0.1810=0.018。（2）学生成绩不低于80分的频率f=10（0.018+0.006）=0.24，成绩不低于80分的学生人数为50f=500.24=12。成绩不低于90分的学生人数为50100.006=3。随机变量的取值为0,1,2，期中考试数学成绩在 80,90)的学生数为12-3=9。，。随机变量的分布列为012p随机变量的数学期望。【考点】频率分布直方图，离散型随机变量的期望。【解析】（1）根据频率分布直方图，由频率和为1可求。 （2）求出分布列即可求得随机变量的数学期望。例9. （2012年江西省理12分）如图，从，这个点中随机选取个点，将这个点及原点两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量（如果选取的个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积）。（1）求的概率；（2）求的分布列及数学期望。【答案】解：（1）从6个点中随机取3个点总共有c20种取法，选取的3个点与原点在同一个平面内的取法有cc12种，因此v0的概率为p(v0)。（2）v的所有可能取值为0，因此v的分布列为v0p由v的分布列可得ev0。【考点】组合数，随机变量的概率，离散型随机变量的分布列、期望。【解析】（1）应用组合知识求出从6个点中随机取3个点的总数和选取的3个点与原点在同一个平面内的取法，根据概率的求法即可。 （2）求出v的所有可能取值和概率，即可得到分布列和期望。例10. （2012年浙江省理14分）已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分现从箱中任取（无放回，且每球取道的机会均等）3个球，记随机变量为取出此3球所得分数之和（）求的分布列；（）求的数学期望【答案】解：() x的可能取值有：3，4，5，6。 ； ;； 所求x的分布列为x3456p () 所求x的数学期望e(x)为：e(x)。【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望。【解析】（1）的可能取值有：3，4，5，6，求出相应的概率可得所求的分布列。（2）利用的数学期望公式，即可得到结论。例11. （2012年湖北省理12分）根据以往的经验，某工程施工期间的将数量x（单位：mm）对工期的影响如下表：降水量xx300300x700700x900x900工期延误天数y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量x小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：（i）工期延误天数y的均值与方差；（）在降水量x至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率。【答案】解：（）由已知条件和概率的加法公式有：，.的分布列为：026100.30.40.20.1；. 工期延误天数的均值为3，方差为。 （）由概率的加法公式，又. 由条件概率，得。在降水量x至少是mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是。 【考点】离散型条件概率分布列的期望与方差，条件概率。【解析】（i）应用概率的加法公式，求出的分布列即可求得工期延误天数y的均值与方差。（）应用概率的加法公式，求出p（x300）和p（300x900），由条件概率即可求得在降水量x至少是mm的条件下，工期延误不超过6天的概率。例12. （2012年湖南省理12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次性购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数（人）x3025y10结算时间（分钟/人）11.522.53一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数（人）302510结算时间（分钟/人）11.522.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55.（）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间x的分布列与数学期望；（）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.（注：将频率视为概率）【答案】解：（）由已知，得解得。该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得 。的分布为 x11.522.53px的数学期望为 。（）记a为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，为该顾客前面第位顾客的结算时间，则 。由于顾客的结算相互独立，且的分布列都与x的分布列相同，所以， 。故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为。【考点】分布列及数学期望的计算，概率。【解析】（）根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55知从而解得，计算每一个变量对应的概率，从而求得分布列和期望。 （）通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率。例13. （2012年福建省理13分）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0x11x2x20x2x2轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)1231.82.9将频率视为概率，解答下列问题：（i）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；（ii）若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为x1，生产一辆乙品牌轿车的利润为x2，分别求x1，x2的分布列；（iii）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由【答案】解：（i）设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件a.则p(a).（ii）依题意得，x1的分布列为 x1123px2的分布列为x21.82.9p（iii）由(2)得，e(x1)1232.86(万元)，e(x2)1.82.92.79(万元)因为e(x1)e(x2)，所以应生产甲品牌轿车。【考点】等可能事件的概率，离散型随机变量的期望与方差，离散型随机变量及其分布列。【解析】（i）根据保修期为2年，可知甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内的轿车数量为2+3，由此可求其功率。（ii）求出概率，可得x1，x2的分布列。（iii）由（ii），计算二者期望，比较期望可得结论。例14. （2012年辽宁省理12分） 电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查。下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”。 ()根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女1055合计 ()将上述调查所得到的频率视为概率。现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为x。若每次抽取的结果是相互独立的，求x的分布列，期望和方差。0.050.013.8416.635附：【答案】解：（i）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而22列联表如下：非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100将22列联表中的数据代入公式计算，得。3.033.841，没有理由认为“体育迷”与性别有关，（ii）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率是0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取到一名“体育迷”的概率是。由题意xb（3，），从而分布列为x0123p所以，。【考点】统计中的频率分布直方图、独立性检验、离散型随机变量的分布列，期望和方差。【解析】（i）根据所给的频率分布直方图得出数据列出列联表，再代入公式计算得出，与3.841比较即可得出结论。（ii）由题意，用频率代替概率可得出从观众中抽取到一名“体育迷”的概率是，由于xb（3， ），从而给出分布列，再由公式计算出期望与方差即可。例15. （2012年重庆市理13分）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响.（） 求甲获胜的概率；（5分）（）求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望（8分）【答案】解：（）记“甲获胜”为事件，甲3次投篮投中为，乙3次投篮投中为。 ，。由互斥事件由一个发生的概率公式与相互独立事件同时发生的概率公式得。（）的可能取值为1，2，3，则篮结束时甲的投篮次数的分布列如下：123篮结束时甲的投篮次数的期望。【考点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列和期望。【分析】记“甲获胜”为事件，甲3次投篮投中为，乙3次投篮投中为。则（），利用互斥事件的概率公式求解即可。（） 投篮结束时甲的投篮次数的可能值为1，2，3，求出相应的概率，即可得到的分布列与期望。例16. （2012年陕西省理13分）某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：办理业务所需的时间（分）12345频率0.10.40.30.10.1从第一个顾客开始办理业务时计时（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；（2）表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求的分布列及数学期望.【答案】解：设表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得的分布列如下：123450.10.40.30.10.1（1）表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件对应三种情形：第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟。（2）所有可能的取值为。对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，。对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，。对应两个顾客办理业务所需时间均为1分钟，的分布列为：0120.50.490.01。【考点】用频率估计概率，离散型随机变量的概率分布与期望。【解析】（1）用频率估计概率的方法估计出第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率。（2根据所有可能的取值为，求出的分布列即可求得的的数学期望。例17. （2012年江苏省10分）设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时， （1）求概率； （2）求的分布列，并求其数学期望【答案】解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱， 共有对相交棱。 。 （2）若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对， ，。 随机变量的分布列是：01 其数学期望。 【考点】概率分布、数学期望等基础知识。【解析】（1）求出两条棱相交时相交棱的对数，即可由概率公式求得概率。 （2）求出两条棱平行且距离为的共有6对，即可求出，从而求出（两条棱平行且距离为1和两条棱异面），因此得到随机变量的分布列，求出其数学期望。四、样本抽样方法：典型例题：例1. （2012年四川省文5分）交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。假设四个社区驾驶员的总人数为，其中甲社区有驾驶员96人。若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数为【 】a、101 b、808 c、1212 d、2012【答案】b。【考点】分层抽样问题。【解析】=。故选b。例2. （2012年山东省理5分）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9。抽到的32人中，编号落入区间1，450的人做问卷a，编号落入区间451，750的人做问卷b，其余的人做问卷c。则抽到的人中，做问卷b的人数为【 】a 7 b 9 c 10 d 15【答案】c。【考点】系统抽样方法。【解析】采用系统抽样方法从960人中抽取32人，将整体分成32组，每组30人。第k组的号码为，令，且，解得。满足的整数k有10个，编号落入区间451，750的人的10人。故选c。例3. （2012年天津市理5分）某地区有小学150所，中学75所，大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调査，应从小学中抽取 所学校，中学中抽取 所学校.【答案】18，9。【考点】分层抽样的概念以及样本获取的方法与计算。【分析】分层抽样也叫按比例抽样，由题知学校总数为250所，应从小学中抽取，中学中抽取。例4. （2012年浙江省文4分）某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为 .【答案】160。【考点】分层抽样。【解析】根据男生和女生的人数做出年纪大总人数，用要抽取得人数除以总人数得到每个个体被抽到的概率，用男生人数乘以概率，得到结果：有男生560人，女生420人，年级共有560+420=980。用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，每个个体被抽到的概率是。要从男生中抽取560=160。例5. （2012年湖北省文5分）一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人。现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有人。【答案】6。【考点】分层抽样的性质。【解析】设抽取的女运动员的人数为，则根据分层抽样的特性，有，解得。故抽取的女运动员为6人。例6. （2012年福建省文4分） 一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人，按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是 【答案】12。【考点】分层抽样。【解析】根据分层抽样中最基本的比例关系，抽取女运动员的人数是：282812。例7. （2012年江苏省5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 名学