江苏省宿迁市青华中学高三数学上学期第二次月考试卷（含解析）.doc

2014-2015学年江苏省宿迁市青华中学高三（上）第二次月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上1已知集合a=1，3，2m1，b=3，m2，且ab=b，那么实数m=2设命题p：=，命题q：sin=cos，则p是q的条件3已知复数z=，其中i是虚数单位，则|z|=4函数y=2sin（x+）+cos（x）的最大值为5设函数f （x）=，若f （a）=a，则实数a的值是6阅读如图所示程序，输出的结果是7从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是8有4个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为9设ar，函数f （x）=ex+是偶函数，若曲线y=f （x）的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为10已知=（m，n1），=（1，1）（m、n为正数），若，则+的最小值是11设abc的三边长分别为a、b、c，abc的面积为s，内切圆半径为r，则类比这个结论可知：四面体abcd的四个面分别为s1、s2、s3、s4，内切球半径为r，四面体abcd的体积为v，则r=12半圆的直径ab=4，o为圆心，c是半圆上不同于a，b的任意一点，若p为半径oc上的动点，则的最小值是13已知圆c过点（1，0），且圆心在x轴的负半轴上，直线l：y=x+1被该圆所截得的弦长为2，则圆c的标准方程为14已知函数f（x）=ax2+bx+与直线y=x相切于点a（1，1），若对任意x1，9，不等式f（xt）x恒成立，则所有满足条件的实数t组成的集合为二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15设向量，（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值16如图，空间几何体abcdef中，四边形abcd是菱形，直角梯形adfe所在平面与面abcd垂直，且aead，efad，其中p，q分别为棱be，df的中点（1）求证：bdce；（2）求证：pq平面abcd17已知美国苹果公司生产某款iphone手机的年固定成本为40万美元，每生产1只还需另投入16美元设苹果公司一年内共生产该款iphone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为r（x）万美元，且r（x）=（1）写出年利润w（万元）关于年产量x（万只）的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润18在数列an中，已知a1=（）求数列an的通项公式；（）求证：数列bn是等差数列；（）设数列cn满足cn=（1）n+1bnbn+1，且cn的前n项和sn，若sntn2对nn*恒成立，求实数t取值范围19已知椭圆c方程为，过右焦点斜率为1的直线到原点的距离为（1）求椭圆方程（2）已知a，b方程为椭圆的左右两个顶点，t为椭圆在第一象限内的一点，l为点b且垂直x轴的直线，点s为直线at与直线l的交点，点m为以sb为直径的圆与直线tb的另一个交点，求证：o，m，s三点共线20已知函数，其中a0（）求函数f（x）的单调区间；（）若直线xy1=0是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值；（）设g（x）=xlnxx2f（x），求g（x）在区间1，e上的最小值（其中e为自然对数的底数）三、附加题（共4小题，满分10分）21（选修42：矩阵与变换）已知矩阵a的逆矩阵a1=，求矩阵a22在极坐标系中，求圆=4sinb上的点到直线的距离的最大值23在底面边长为2，高为1的正四梭柱abcd=a1b1c1d1中，e，f分别为bc，c1d1的中点（1）求异面直线a1e，cf所成的角；（2）求平面a1ef与平面add1a1所成锐二面角的余弦值24将编号为1，2，3，4的四个小球，分别放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子中有且仅有一个小球若小球的编号与盒子的编号相同，得1分，否则得0分记为四个小球得分总和（1）求=2时的概率；（2）求的概率分布及数学期望2014-2015学年江苏省宿迁市青华中学高三（上）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上1（5分）（2013秋姜堰市校级期中）已知集合a=1，3，2m1，b=3，m2，且ab=b，那么实数m=1考点： 交集及其运算专题： 计算题分析： 根据题目给出的集合a与b，结合两个集合的关系得到m2=2m1，求解后验证a满足集合中元素的互异性，则m可求解答： 解：由ab=b，得ba又a=1，3，2m1，b=3，m2，m2=2m1，解得m=1此时集合a有意义故答案为1点评： 本题考查了交集及其运算，考查了集合之间的关系，考查了集合中元素的特性，是基础题2设命题p：=，命题q：sin=cos，则p是q的充分不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断专题： 计算题；三角函数的求值分析： 根据特殊角三角函数的值，当p成立即=时，得sin=cos=，可得q成立；反之当q：sin=cos成立时，不一定得出=，由此即得p是q的充分不必要条件解答： 解：充分性当“=”成立时，sin=且cos=，结论“sin=cos”成立，因此，充分性成立；必要性当“sin=cos”成立时，即tan=1，得=+k，kz不一定有“=”成立，故必要性不成立综上所述，得p是q的充分不必要条件故选：充分不必要点评： 本题给出p、q两个条件，求它们之间的充要关系，着重考查了三角函数求值和充分必要条件的判断等知识，属于基础题3已知复数z=，其中i是虚数单位，则|z|=考点： 复数代数形式的乘除运算；复数求模专题： 数系的扩充和复数分析： 利用复数代数形式的除法运算化简，然后利用模的计算公式求模解答： 解：z=|z|=故答案为：点评： 本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数模的求法，是基础题4函数y=2sin（x+）+cos（x）的最大值为考点： 两角和与差的正弦函数；运用诱导公式化简求值专题： 三角函数的求值分析： 利用诱导公式与两角和的正弦即可求得y=sin（x+）（tan=2），利用正弦函数的性质即可求得其最大值解答： 解：y=2sin（x+）+cos（x）=2cosx+sinx=（cosx+sinx）=sin（x+）（tan=2），又1sin（x+）1，当sin（x+）=1时，y=2sin（x+）+cos（x）取得最大值，故答案为：点评： 本题考查诱导公式与两角和的正弦，考查辅助角公式的应用，求得y=sin（x+）（tan=2）是关键，属于中档题5设函数f （x）=，若f （a）=a，则实数a的值是1考点： 函数的值专题： 函数的性质及应用分析： 当a0时，由 =a，解得a的值，当a0时，由 =a，解得a的值，综合可得结论解答： 解：当a0时，由 =a，解得a=3 （舍去）当a0时，由 =a，解得a=1，故答案为1点评： 本题主要考查利用分段函数求函数的值，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题6阅读如图所示程序，输出的结果是10考点： 循环结构专题： 概率与统计分析： 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s=1+1+3+5的值解答： 解：由循环变量i的初值为1，终值为5，步长为2，累加变量s的初值为1，故该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s=1+1+3+5=10的值，故输出的结果为：10，故答案为：10点评： 本题考查的知识点是程序框图，分析出程序的功能是解答的关键7从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是考点： 计数原理的应用专题： 计算题；概率与统计；排列组合分析： 求出从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议的基本事件，甲被选中的基本事件，即可求出甲被选中的概率解答： 解：从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，共有=6种方法，甲被选中，共有3种方法，甲被选中的概率是=故答案为：点评： 本题考查甲被选中的概率，考查学生的计算能力，比较基础8有4个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为考点： 古典概型及其概率计算公式专题： 概率与统计分析： 本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是44种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有4种结果，根据古典概型概率公式得到结果解答： 解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是44=16种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有四个小组，则有4种结果，根据古典概型概率公式得到p=，故答案为：点评： 本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键9设ar，函数f （x）=ex+是偶函数，若曲线y=f （x）的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为ln2考点： 函数奇偶性的判断；导数的几何意义专题： 计算题分析： 先由f（x）为偶函数求出a值，然后求出导数f（x），令f（x）=，解出x即为所求解答： 解：因为f（x）=ex+是偶函数，所以总有f（x）=f（x），即=ex+，整理得（a1）（）=0，所以有a1=0，即a=1则f（x）=，f（x）=ex，令f（x）=ex=，整理即为2e2x3ex2=0，解得ex=2，所以x=ln2故答案为：ln2点评： 本题考查函数的奇偶性及导数的几何意义，若f（x）为偶函数，则f（x）=f（x）恒成立10已知=（m，n1），=（1，1）（m、n为正数），若，则+的最小值是3+2考点： 基本不等式；平面向量数量积的运算专题： 不等式的解法及应用分析： 利用向量垂直的充要条件列出方程得到m，n满足的条件；将待求的式子+乘以m+n后展开；利用基本不等式求出最值解答： 解：=（m，n1），=（1，1），=m+n1=0m+n=1又m、n为正数+=（+）（m+n）=3+（+）3+2当且仅当2m2=n2时取等号故答案为：3+2点评： 本题考查向量共线的充要条件、考查利用基本不等式求函数的最值需注意满足的条件是：一正、二定、三相等11设abc的三边长分别为a、b、c，abc的面积为s，内切圆半径为r，则类比这个结论可知：四面体abcd的四个面分别为s1、s2、s3、s4，内切球半径为r，四面体abcd的体积为v，则r=考点： 类比推理专题： 计算题分析： 根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可求得r解答： 解：设四面体的内切球的球心为o，则球心o到四个面的距离都是r，所以四面体的体积等于以o为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和则四面体的体积为 则r=；故答案为：点评： 本题主要考查类比推理类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去一般步骤：找出两类事物之间的相似性或者一致性用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）12半圆的直径ab=4，o为圆心，c是半圆上不同于a，b的任意一点，若p为半径oc上的动点，则的最小值是2考点： 平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用专题： 平面向量及应用分析： 由题意可得+=2，要求的式子即 2=2|再根据|+|=|=2为定值，利用基本不等式求得2|的最小值解答： 解：因为o为ab的中点，所以+=2，从而 =2=2|又|+|=|=2为定值，再根据|=1，可得2|2，所以当且仅当|=|=1时，即p为oc的中点时，等号成立， 取得最小值是2，故答案为2点评： 本题主要考查向量在几何中的应用，两个向量的数量积公式的应用，属于中档题13已知圆c过点（1，0），且圆心在x轴的负半轴上，直线l：y=x+1被该圆所截得的弦长为2，则圆c的标准方程为（x+3）2+y2=4考点： 圆的标准方程专题： 综合题；直线与圆分析： 根据题意设圆心c坐标为（x，0），根据圆c过（1，0），利用两点间的距离公式表示出圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线l的距离d，根据已知的弦长，利用垂径定理及勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到圆心坐标及半径，写出圆c的标准方程即可解答： 解：设圆心c（x，0），则圆的半径r=|bc|=|x+1|，圆心c到直线l的距离|cd|=，弦长|ab|=2，则r=|x+1|，整理得：x=2（不合题意，舍去）或x=3，圆心c（3，0），半径为2，则圆c方程为（x+3）2+y2=4故答案为：（x+3）2+y2=4点评： 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：两点间的距离公式，垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，以及圆的标准方程，熟练掌握公式及定理是解本题的关键14已知函数f（x）=ax2+bx+与直线y=x相切于点a（1，1），若对任意x1，9，不等式f（xt）x恒成立，则所有满足条件的实数t组成的集合为4考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程专题： 计算题；导数的概念及应用；不等式的解法及应用分析： 求出函数的导数，求出切线的斜率，由切线方程得到a，b的方程，即可得到f（x）的表达式，则不等式f（xt）x即为（xt+1）2x，由于任意的x1，9，则有|xt+1|2，即有2x1t2x，分别求出两边的最值，令1t不大于最小值且不小于最大值，解出即可得到解答： 解：函数f（x）=ax2+bx+的导数为f（x）=2ax+b，由于函数f（x）=ax2+bx+与直线y=x相切于点a（1，1），则2a+b=1，且a+b+=1，解得a=，b=，即有f（x）=x2+x+即为f（x）=（x+1）2，不等式f（xt）x即为（xt+1）2x，由于任意的x1，9，则有|xt+1|2，即有2x1t2x，令=m1，3，则2x=2mm2=（m1）2+13，1，2x=2mm2=（m+1）2+115，3，则有31t3，即有1t=3，即t=4故答案为：4点评： 本题考查导数的运用：求切线方程，考查不等式的恒成立问题转化为求函数最值问题，注意运用参数分离，属于中档题二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15设向量，（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值考点： 平面向量数量积的运算；向量的模；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性专题： 平面向量及应用分析： （1）由条件求得，的值，再根据以及x的范围，可的sinx的值，从而求得x的值（2）利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x）+结合x的范围，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值解答： 解：（1）由题意可得 =+sin2x=4sin2x，=cos2x+sin2x=1，由，可得 4sin2x=1，即sin2x=x0，sinx=，即x=（2）函数=（sinx，sinx）（cosx，sinx）=sinxcosx+sin2x=sin2x+=sin（2x）+ x0，2x，当2x=，sin（2x）+取得最大值为1+=点评： 本题主要考查两个向量的数量积的运算，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题16如图，空间几何体abcdef中，四边形abcd是菱形，直角梯形adfe所在平面与面abcd垂直，且aead，efad，其中p，q分别为棱be，df的中点（1）求证：bdce；（2）求证：pq平面abcd考点： 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质专题： 计算题；空间位置关系与距离分析： （1）连接ac，在菱形abcd中，acbd，由平面adef平面abcd，aead，ae平面adef，知ae平面abcd，由此能够证明bdce（2）取ae的中点g，连接pg，qg，在abe中，bp=pe，ag=ge，故pgba，由pg平面abcd，ba平面abcd，知pg平面abcd，由此能够证明pq平面abcd解答： 证明：（1）连接ac，在菱形abcd中，acbd，平面adef平面abcd，交线为ad，aead，ae平面adef，ae平面abcd，bd平面abcd，aebd，acae=a，bd平面aec，bdce（2）取ae的中点g，连接pg，qg，在abe中，bp=pe，ag=ge，pgba，pg平面abcd，ba平面abcd，pg平面abcd，在梯形adef中，dq=qf，ag=ge，gqad，同理，gq平面abcd，pggq=g，pg平面pgq，gqpqg，平面pqg平面abcd，pq平面pqg，pq平面abcd点评： 本题考查直线与直线垂直的证明，考查直线与平面平行的证明解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题17已知美国苹果公司生产某款iphone手机的年固定成本为40万美元，每生产1只还需另投入16美元设苹果公司一年内共生产该款iphone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为r（x）万美元，且r（x）=（1）写出年利润w（万元）关于年产量x（万只）的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润考点： 函数与方程的综合运用专题： 应用题；函数的性质及应用分析： （1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式；（2）分段求出函数的最大值，比较可得结论解答： 解：（1）利用利润等于收入减去成本，可得当0x40时，w=xr（x）（16x+40）=6x2+384x40；当x40时， w=xr（x）（16x+40）=w=；（2）当0x40时，w=6x2+384x40=6（x32）2+6104，x=32时，wmax=w（32）=6104；当x40时，w=2+7360，当且仅当，即x=50时，wmax=w（50）=576061045760x=32时，w的最大值为6104万美元点评： 本题考查分段函数模型的构建，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题18在数列an中，已知a1=（）求数列an的通项公式；（）求证：数列bn是等差数列；（）设数列cn满足cn=（1）n+1bnbn+1，且cn的前n项和sn，若sntn2对nn*恒成立，求实数t取值范围考点： 数列的求和；数列与不等式的综合专题： 等差数列与等比数列分析： （i）利用等比数列的通项公式即可得出；（ii）利用对数的运算性质、等差数列的定义即可证明；（iii）对n分奇数与偶数讨论，利用等差数列的前n项和公式、分离参数、基本不等式的性质即可得出解答： 解：（i），数列an是首项为，公比为的等比数列，（ii）b1=1，公差d=3数列bn是首项b1=1，公差d=3的等差数列（iii）由（1）知，当n为偶数时，sn=b1b2b2b3+b3b4+bn1bnbnbn+1=b2（b1b3）+b4（b3b5）+bn（bn1bn+1）=，即对n取任意正偶数都成立t6当n为奇数时，偶数时，sn=b1b2b2b3+b3b4+bn1bnbnbn+1=对t6时恒成立，综上：t6点评： 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论方法，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题19已知椭圆c方程为，过右焦点斜率为1的直线到原点的距离为（1）求椭圆方程（2）已知a，b方程为椭圆的左右两个顶点，t为椭圆在第一象限内的一点，l为点b且垂直x轴的直线，点s为直线at与直线l的交点，点m为以sb为直径的圆与直线tb的另一个交点，求证：o，m，s三点共线考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （1）写出过右焦点斜率为1的直线方程，由点到直线的距离公式求出原点到该直线的距离由距离等于求出c的值，则a可求，所以椭圆方程可求；（2）设出直线at的方程及点t的坐标，把直线方程和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到t点坐标，求出向量的坐标，由at方程和直线x=得到s的坐标，因为，而btsm，所以得到o，m，s三点共线解答： 解：（1）设右焦点为（c，0），则过右焦点斜率为1的直线方程为：y=xc则原点到直线的距离=c=1，a=方程为；（2）设直线at方程为：y=k（x+）（k0），设点t（x1，y1），联立，得，又a（），又b（），由圆的性质得：btsm，所以，要证明o，m，s三点共线，只要证明btso即可又s点的横坐标为，s点的坐标为即btso，又btsm，o，m，s三点共线点评： 本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了利用平面向量解决有关问题，考查了学生的运算能力，是难题20已知函数，其中a0（）求函数f（x）的单调区间；（）若直线xy1=0是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值；（）设g（x）=xlnxx2f（x），求g（x）在区间1，e上的最小值（其中e为自然对数的底数）考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值专题： 导数的综合应用分析： （）先求导函数，直接让导函数大于0求出增区间，导函数小于0求出减区间即可；（）直接利用切线的斜率即为切点处的导数值以及切点是直线与曲线的共同点联立方程即可求实数a的值；（）先求出g（x）的导函数，分情况讨论出函数在区间1，e上的单调性，进而求得其在区间1，e上的最小值解答： 解：（）因为函数f（x）=，f（x）=，f（x）00x2，f（x）0x0，或x2，故函数f（x）的单调增区间为（0，2），单调减区间为（，0）和（2，+），（）设切点为（x，y），由切线斜率k=1=，x3=ax+2a，由xy1=x1=0（x2a）（x1）=0x=1，x=把x=1代入得a=1，把x=代入得a=1，把x=代入得a=1（舍去），故所求实数a的值为1（）g（x）=xlnxx2f（x）=xlnxa（x1），g（x）=lnx+1a，解lnx+1a=0得x=ea1，故g（x）在区间（ea1，+）上递增，在区间（0，ea1）上递减，当ea11时，即0a1时，g（x）在区间1，e上递增，其最小值为g（1）=0；当1ea1e时，即0a2时，g（x）的最小值为g（ea1）=aea1；当ea1e，即a2时，g（x）在区间1，e上递减，其最小值为g（e）=e+aae点评： 本题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值以及利用导数研究函数的单调性，是高考的常考题型三、附加题（共4小题，满分10分）21（选修42：矩阵与变换）已知矩阵a的逆矩阵a1=，求矩阵a考点： 逆变换与逆矩阵专题： 计算题分析： 根据所给的矩阵求这个矩阵的逆矩阵，可以首先求出adbc的值，再代入逆矩阵的公式，求出结果解答： 解：设，则由aa1=e得，解得所以（10分）点评： 本题考查逆变换与逆矩阵，本题是一个基础题，解题的关键是记住求逆矩阵的公式，代入数据时，不要出错22在极坐标系中，求圆=4sinb上的点到直线的距离的最大值考点： 简单曲线的极坐标方程专题： 直线与圆分析： 把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，把此距离加上半径就等于所求的结果解答： 解：圆方程化为：x2+（y2）2=4，直线方程为：xy6=0，圆心到直线的距离为：d=4所以，所求最大距离为d+r=2+4点评： 本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，当