2019届高考数学复习函数概念与基本初等函数Ⅰ2.4二次函数的再研究与幂函数学案文北师大版.docx

2.4二次函数与幂函数最新考纲考情考向分析1.理解并掌握二次函数的定义，图象及性质2.能用二次函数，方程，不等式之间的关系解决简单问题3.了解幂函数的概念4.结合函数yx，yx2，yx3，y，y的图象，了解它们的变化情况.以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程，转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择、填空题，中档难度.1二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)ax2bxc(a0)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)，顶点坐标为(m，n)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为f(x)的零点(2)二次函数的图像和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0，当时，恒有f(x)0.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是.()(2)二次函数yax2bxc，xR不可能是偶函数()(3)在yax2bxc(a0)中，a决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小()(4)函数y是幂函数()(5)如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点()(6)当n0时，幂函数yxn是定义域上的减函数()题组二教材改编2已知幂函数f(x)kx的图像过点，则k等于()A. B1 C. D2答案C解析由幂函数的定义，知k1，.k.3已知函数f(x)x24ax在区间(，6)内是减少的，则a的取值范围是()Aa3 Ba3Ca3 Da3答案D解析函数f(x)x24ax的图像是开口向上的抛物线，其对称轴是x2a，由函数在区间(，6)内是减少的可知，区间(，6)应在直线x2a的左侧，2a6，解得a3，故选D.题组三易错自纠4幂函数f(x)(aZ)为偶函数，且f(x)在区间(0，)上是减函数，则a等于()A3 B4 C5 D6答案C解析因为a210a23(a5)22，f(x)(aZ)为偶函数，且在区间(0，)上是减函数，所以(a5)22bc且abc0，则它的图像可能是()答案D解析由abc0和abc知，a0，c0，由c0，排除C.6已知函数y2x26x3，x1,1，则y的最小值是_答案1解析函数y2x26x3的图像的对称轴为x1，函数y2x26x3在1,1上是减少的，ymin2631.题型一求二次函数的解析式典例 (1)已知二次函数的图像过点(0,1)，对称轴为x2，最小值为1，则它的解析式为_答案f(x)x22x1解析依题意可设f(x)a(x2)21，又其图像过点(0,1)，4a11，a，f(x)(x2)21x22x1.(2)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(2,0)且有最小值1，则f(x)_.答案x22x解析设函数的解析式为f(x)ax(x2)，所以f(x)ax22ax，由1，得a1，所以f(x)x22x.思维升华 求二次函数解析式的方法跟踪训练 (1)已知二次函数f(x)ax2bx1(a，bR且a0)，xR，若函数f(x)的最小值为f(1)0，则f(x)_.(2)若函数f(x)(xa)(bx2a)(a，bR)是偶函数，且它的值域为(，4，则该函数的解析式f(x)_.答案(1)x22x1(2)2x24解析(1)设函数f(x)的解析式为f(x)a(x1)2ax22axa，由已知f(x)ax2bx1，a1，故f(x)x22x1.(2)由f(x)是偶函数知f(x)图像关于y轴对称，a，即b2，f(x)2x22a2，又f(x)的值域为(，4，2a24，故f(x)2x24.题型二二次函数的图像和性质命题点1二次函数的图像典例 两个二次函数f(x)ax2bxc与g(x)bx2axc的图像可能是()答案D解析函数f(x)图像的对称轴为x，函数g(x)图像的对称轴为x，显然与同号，故两个函数图像的对称轴应该在y轴的同侧只有D满足命题点2二次函数的单调性典例 函数f(x)ax2(a3)x1在区间1，)上是减少的，则实数a的取值范围是()A3,0) B(，3C2,0 D3,0答案D解析当a0时，f(x)3x1在1，)上递减，满足题意当a0时，f(x)的对称轴为x，由f(x)在1，)上是减少的知解得3a0.综上，a的取值范围为3,0引申探究若函数f(x)ax2(a3)x1的递减区间是1，)，则a_.答案3解析由题意知f(x)必为二次函数且a2xm恒成立，则实数m的取值范围是_答案(，1)解析f(x)2xm等价于x2x12xm，即x23x1m0，令g(x)x23x1m，要使g(x)x23x1m0在1,1上恒成立，只需使函数g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可g(x)x23x1m在1,1上是减少的，g(x)ming(1)m1.由m10，得m1.因此满足条件的实数m的取值范围是(，1)(2)已知a是实数，函数f(x)2ax22x3在x1,1上恒小于零，则实数a的取值范围为_答案解析2ax22x30在1,1上恒成立当x0时，30，成立；当x0时，a2，因为(，11，)，当x1时，右边取最小值，a.综上，实数a的取值范围是 .思维升华 解决二次函数图像与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路：一是分离参数；二是不分离参数两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域跟踪训练 (1)设abc0，二次函数f(x)ax2bxc的图像可能是()答案D解析由A，C，D知，f(0)c0，从而由abc0，所以ab0，所以对称轴x0，知A，C错误，D满足要求；由B知f(0)c0，所以ab0，所以x0，B错误(2)已知函数f(x)x22ax2a4的定义域为R，值域为1，)，则a的值为_答案1或3解析由于函数f(x)的值域为1，)，所以f(x)min1.又f(x)(xa)2a22a4，当xR时，f(x)minf(a)a22a41，即a22a30，解得a3或a1.(3)设函数f(x)ax22x2，对于满足1x0，则实数a的取值范围为_答案解析由题意得a对1x4恒成立，又22，1，max，a.题型三幂函数的图像和性质1已知点在幂函数f(x)的图像上，则f(x)是()A奇函数 B偶函数C定义域内的减函数 D定义域内的增函数答案A解析设f(x)x，由已知得，解得1，因此f(x)x1，易知该函数为奇函数2若四个幂函数yxa，yxb，yxc，yxd在同一坐标系中的图像如图所示，则a，b，c，d的大小关系是()Adcba BabcdCdcab Dabdc答案B解析由幂函数的图像可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图像越接近x轴，由题图知abcd，故选B.3若a0，则0.5a，5a，5a的大小关系是()A5a5a0.5a B5a0.5a5aC0.5a5a5a D5a5a0.5a答案B解析5aa，因为a0时，函数yxa在(0，)上是减少的，且0.55，所以5a0.5a.4已知二次函数f(x)满足f(2x)f(2x)，且f(x)在0,2上是增函数，若f(a)f(0)，则实数a的取值范围是()A0，) B(，0C0,4 D(，04，)答案C解析由题意可知函数f(x)的图像开口向下，对称轴为x2(如图)，若f(a)f(0)，从图像观察可知0a4.5已知二次函数f(x)2ax2ax1(a0)，若x1f(x2)Cf(x1)f(x2) D与a值有关答案C解析该二次函数的图像开口向下，对称轴为直线x，又依题意，得x10，又x1x20，当x1，x2在对称轴的两侧时，x1x2，故f(x1)f(x2)当x1，x2都在对称轴的左侧时，由单调性知f(x1)f(x2)综上，f(x1)”连接)答案PRQ解析P3，根据函数yx3是R上的增函数，且，得333，即PRQ.8已知幂函数f(x)，若f(a1)f(102a)，则a的取值范围为_答案(3,5)解析幂函数f(x)是减少的，定义域为(0，)，由f(a1)f(102a)，得解得3a5.9对于任意实数x，函数f(x)(5a)x26xa5恒为正值，则a的取值范围是_答案(4,4)解析由题意可得解得4a0，故0a1.11已知函数f(x)x22ax1a在x0,1时有最大值2，则a的值为_答案1或2解析f(x)(xa)2a2a1，当a1时，f(x)maxf(1)a2，即a2；当0a1时，f(x)maxf(a)a2a12，此时无解；当a0时，f(x)maxf(0)1a2，a1.综上，a1或a2.12已知函数f(x)x2(2a1)x3.(1)当a2，x2,3时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在1,3上的最大值为1，求实数a的值解(1)当a2时，f(x)x23x3，x2,3，对称轴x2,3，f(x)minf3，f(x)maxf(3)15，函数f(x)的值域为.(2)对称轴为x.当1，即a时，f(x)maxf(3)6a3，6a31，即a满足题意；当1，即a时，f(x)maxf(1)2a1，2a11，即a1满足题意综上可知，a或1.13已知函数f(x)x2bx，则“b0”是“f(f(x)的最小值与f(x)的最小值相等”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件答案A解析由题意知f(x)x2bx2，f(x)min，令tx2bx，则f(f(x)f(t)t2bt2，当b0时，f(f(x)的最小值为，所以“b0”能推出“f(f(x)的最小值与f(x)的最小值相等”；当b0时，f(f(x)x4的最小值为0，f(x)的最小值也为0，所以“f(f(x)的最小值与f(x)的最小值相等”不能推出“b0”，选A.14当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立，则m的取值范围是_答案(，5解析方法一不等式x2mx40对x(1,2)恒成立，mxx24对x(1,2)恒成立，即m对x(1,2)恒成立，令yx，则函数yx在x(1,2)上是减函数4y5，54，m5.方法二设f(x)x2mx4，当x(1,2)时，由f(x)1，即a2时，f(x)在上是减少的，在上是增加的，不合题意；当01，即0a2时，符合题意；当0，即a0，bR，cR)(1)若函数f