幻方的探讨及其初步应用.doc

幻方的探讨及其初步应用第一章 介绍幻方的基本知识1.1 幻方的定义在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中,图中每一行,每一列以及每条对角线的几个数分别加起来所得的和都相等,具有这种性质的图表,称为“幻方”.这个相等的数称幻方常数或定数.幻方的每条边有几格,就叫做几阶幻方.阶幻方常数,记作.不难算出.例如将图1填成图2后,就成为一个4阶幻方.它的每一行,每一列以及每条对角线上个各数的和都等于常数.11415481110512769132316 图1 图21.2幻方的历史幻方的历史很悠久.幻方又称纵横图,九宫图,最早记录于我国古代的洛书.在古代,人们没有认识到幻方是利用整数的某些特性构成的,而把它看成神秘的东西.关于幻方的起源,我国有“河图”和“洛书”之说.相传在远古时期,伏羲氏取得天下,把国家治理得井井有条,感动了上天,于是黄河中跃出一匹龙马,背上驮着一张图,作为礼物献给他,这就是“河图”,也是最早的幻方.伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦,后来大禹治洪水时,洛水中浮出一只大乌龟,它的背上有图有字,人们称之为“洛书”.“洛书”所画的图中共有黑,白圆圈45个.把这些连在一起的小圆和数目表示出来,得到九个.这九个数就可以组成一个纵横图,人们把由九个数3行3列的幻方称为3阶幻方,除此之外,还有4阶,5阶. 后来,人们经过研究,得出计算任意阶数幻方的各行,各列,各条对角线上所有数的和的公式为 ,其中为幻方的阶数,所求的数为.幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期大戴礼中,这说明我国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律.而在国外,公元130年,希腊人塞翁才第一次提起幻方.我国也是最早发现幻方的国家之一.公元13世纪的数学家杨辉已经编制出310阶幻方,记载在他1275年写的续古摘厅算法一书中.在欧洲直到574年,德国著名画家丢勒才绘制出了完整的四阶幻方.而在国外,十二世纪的阿拉伯文献也有六阶幻方的记载,我国的考古学家们曾经在西安发现了阿拉伯文献上的五块六阶幻方,除了这些以外,历史上最早的四阶幻方是在印度发现的,那是一个完全幻方(后面会提到),而且比中国的杨辉还要早了两百多年,印度人认为那是天神的手笔.幻方又叫魔方,日本人称为方阵,我国称为纵横图或方宫图等.几千年来,人们没有中断过对幻方的研究.整数的这种变幻迷离的玄妙性质,自古以来吸引着无数的数学爱好者.人们不仅造出了各种幻方,还找出了其中的某些规律.到了本世纪60年代,有人应用数论的方法,证明了任何阶幻方的可构造性.随着科学的发展以及电子计算机的问世,幻方这个颇似数学游戏的古典题目日也受到重视.现在已经有人编出任意高次的偶阶幻方的计算程序,并编入“CACM程序汇编”.目前,幻方正在组合数学,图论,博奕论以及程序设计.人工智能等等方面得到应用.1.3幻方的性质一幻方的变换性质我们在学关于幻方的知识时,对幻方数间的关系,幻方的构造之谜等问题表现出了极大的兴趣.并提出：三阶幻方除了“每一行,每一列,每条对角线上的三个数字的和都是同一个常数15”这一性质外,还有其它的性质吗？将-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4这9个数分别填入下图方阵(幻方)中的9个空格中,使得横,竖,斜对角的3个数之和为0. 1 2 3 4 1 2 4 5 6 7 5 3 7 8 9 8 9 6 (1) (2) (3)6 1 8 1 -4 3 7 5 3 2 0 -2 2 9 4 -3 4 -1 (4) (5)这种幻方是33幻方,通常是填19这9个数,使得各行,各列,斜对角的三个数之和为15.填法是:先从左到右,从上到下,将19这9个数依次填入幻方中（如（2）；然后中心的5不动，周围的8个数顺时针转一格（如（3）；再将（3）中的对角的数互换一下（如（4）,即为填19的答案.将（4）中每个数减去5（或加-5）,得（5）,即填-44的答案.其他填法与之类似.仔细体会上述填法从（4）到（5）这一步,我们发现它事实上提出了幻方的一种变换方式：变换1 将一个幻方中的各数同时加上（或减去）一个相同的数，得到的仍就是幻方.如,上面的图（4）中每一行,每一列以及每条对角线的几个数分别加起来所得的和都15,是个3阶幻方，那么由变换1知道把图（4）中的每行数字加上2或减去2可分别得到图（6）,图（7）.图（6）中每行，每列及每条对角线的几个数分别加起来所得的和是21，所以它是一个3阶幻方.同理，图（7）也是一个3阶幻方.6+21+28+26-21-28-27+25+23+27-25-23-22+29+24+22-29-24-2 （6） （7）变换2 将一个幻方中的各数按一定顺序（从大到小或从小到大）与一个等差数列中的各数对应相加（或减），得到的还是幻方.如（8）,（9）就是在（4）的基础上按变换2得到的. 6+111+18+156-71-178-37+135+93+57-55-93-132+39+174+72-159-14-11 (8) (9)二幻方的对称与方幂和性质认真观察（5）,我们容易发现：关于中心数0对称的两个数互为相反数.根据填幻方的要求（各行,各列,斜对角的三个数之和相等）和方幂的性质（互为相反数的两个数的偶次幂相等,而奇次幂互为相反数）,我们得到（5）的两条奇妙性质：（i） 关于中心行（列）对称的两行（列）的各数之和互为相反数,且各数的奇次幂之和亦互为相反数.（ii） 关于中心行（列）对称的两行（列）的各数之和相等,且各数的偶次幂之和亦相等.面对如此奇妙的性质,我们不尽浮想连翩：（4）,（6）（9）同样都是幻方,它们也有这样的性质吗？不难否定性质（i）.现在我们以（4）为例来考察一下性质（ii）.先取第一,三行： .所以 再取第1,3列 .所以 由此我们猜测：33幻方中,关于中心行（列）对称的两行（列）的各数之平方和相等.此猜想正确吗？不妨尝试着证明一下： 图 10证明： 设（10）是一个33幻方,则,设,则,所以 所以 = = =所以 同理可证 .从而,上述猜想是正确的.第二章 低阶幻方2.1 三阶幻方三阶幻方是最简单的幻方由1,2,3,4,5,6,7,8,9 九个数字组成的一个三行三列的矩阵,其对角线,横行,纵向的数字的和都15.我们可以这样想：1+9=10,2+8=10,3+7=10,4+6=10.这每对数的和再加上5都等于 15,可确定中心格应填5,这四组数应分别填在横,竖和对角线的位置上.先填四个角,若填两对奇数,那么因三个奇数的和才可能得奇数,四边上的格里已不可再填奇数.若四个角分别填一对偶数,一对奇数,也行不通.因此,判定四个角上必须填两对偶数.对角线上的数填好后,其余格里再填奇数就很容易了,4 9 2 3 5 7 8 1 6 图2-1三阶幻方的解法第一种：杨辉法对洛书的构造方法“九子斜排,上下对易,左右相更,四维挺出”,观下图2-2自明： 1 9 4 2 4 2 7 5 3 3 5 7 8 6 8 6 9 1 九子斜排（a） 上下对易,左右相更（b）4 9 2 4 9 2 3 5 7 3 5 7 8 1 6 8 1 6 四维挺出（c） 四方收拢（d） 图2-2 洛书幻方的生成第二种：九宫图也是3阶幻方的别称,三阶幻方就是著名的洛书,他的排列是“戴九履一,右三左七,二四为肩,六八为足,五居中央（9在上中,1在下中.3在右中,7在左中,2在左上,4在右上,6在左下,8在右下）” 9 9 7 3 1 1 戴九履一 （1） 右三右七（2）2 9 4 2 9 4 7 3 7 3 1 6 6 1 8 二四为肩（3） 六八为足（4） 2 9 4 7 5 3 6 1 8 五居中央（5）第三种：罗伯法：最小的数据上行中央,依次向右上方斜填,上出框往下写,右出框往左填,排重便在下格填,右上排重一个样8 1 6 3 5 7 4 9 2 ,其中为幻方的阶数,所求的数为.2.2 四阶幻方 杨辉称4阶幻方为“花十六图”或“四四图”,有阴阳两式.在四阶幻方中,一个颇为著名的幻方是印度太苏神庙石碑上的幻方,如图2-3,它刻于十一世纪.这个幻方中,不但每行每列每条对角线上的数字和为34,而且有20组某四行四列交叉点上的四个数字,它们的和也都为34,例如9+2+15+8=34.更为奇妙的是把这个幻方边上的行或列移到另一边上去,所得到的正方形排列仍是一个幻方4 9 5 16 14 7 11 2 15 6 10 3 1 12 8 13 图2-3 杨辉4阶幻方四阶幻方的解法：杨辉4阶幻方的生成方法是最简单的,如；1) 4阶阴图是把这个数字按顺序从上到下,自右至左填入4乘4的方阵.2) 内外四个角对角上互补的数相易,（方阵分为两个正方形,外大内小,然后把大正方形的四个对角上的数字对换,小正方形四个对角上的数字对换）即（1 ,16）（4 ,13）互换 （6 ,11）（7 ,10）互换13 9 5 1 14 10 6 2 15 11 7 3 16 12 8 4 图2-4其阳图则是将阴图逆时针转90,然后1,2列互换,3,4列互换而成.2161334951611581014711279126156103144115112813(a)阳图 (b)阴图图2-5 杨辉的4阶幻另：对于阶幻方,我们先把数字按顺序填写.写好后,按把它划分成个方阵.因为n是4的倍数,一定能用的小方阵分割.然后把每个小方阵的对角线,像制作4阶幻方的方法一样,对角线上的数字换成互补的数字,就构成幻方.2.3 五阶幻方世界上最早出现的同心幻方是杨辉的“五五图”,其中心数是13,中间是一个幻和为39的3阶幻方,整体上又是幻和为65 的5阶幻方.五阶幻方就是把125个数字排列成下面的形式,使每一行,每一列,每条对角线上的五个数字和都相等.五阶幻方的解法：1）杨辉法：九子斜排,上下对易,左右变更,四维突出.1.将55的正方形改画成如图2-6形状.2.如图2-7,将125这二十五个数字按斜排填入图中.3.如图2-8,将五阶幻方图外的12个数与图中空格上,下换位,左,右换位,填入到55奇数阶幻方图中.4.如图2-9擦去五阶幻方图外部分线条和数据即可 图2-61 6 2 11 7 3 16 12 8 4 21 17 13 9 5 22 18 14 10 23 19 15 24 20 25 图2-7 1 6 2 11 24 7 20 3 16 4 12 25 8 16 4 21 17 5 13 21 9 5 22 10 18 1 14 22 10 23 6 19 2 15 24 20 25 图2-811 24 7 20 3 4 12 25 8 16 17 5 13 21 9 10 18 1 14 22 23 6 19 2 15 图2-92）罗伯法：最小的数据上行中央,依次向右上方斜填,上出框往下写,右出框往左填,排重便在下格填,右上排重一个样. 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9 图2-10 （在最上一行的中间填1,接着在1的右上方填2,由于1在最上一行,所以1的右上方应该是第五行的第四个,接下来在2的右上方填3,3的右上方应该是第三行第一个,所以在此填4,在4的右上方填5,在5的下方填6,接着按前面五个数的填法依次填7,8,9,10;在10的下方填11,然后按上面的方法填,每次填五个数,直到完成.无论从上到下还是从左到右都是五排,所以每排的五个数之和为(1+2+3+4+25)5=65,因此,你可以验算一下是否每个和都是65.此法适合于一切奇阶幻方.）2.4 六阶幻方6阶幻方是个数字排列成下面的形式,使每一行,每一列,每条对角线上的六个数字和均为111的幻方.六阶幻方的制作步骤：1.如图2-11,将136这36个数中间的16个数1126排成一个四阶幻方.2.将剩余的20个数分成两组,使相对应的两个数的和均为37.小数组： 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 | | | |大数组： 36,35,34,33,32,31,30,29,28,27.3.如图2-12,将1,2,35,36分别填入四个角.4.如图2-13,将3,4,5,9,28,32,33,34填入第一行和第六行.使第一行和第六行的六个数的和均为111.5.如图2-14,将剩余的八个数填入第一列和第六列中,使每一列和每一行六个数的和均为111,这样就制作成了一个六阶幻方. 1 2 11 25 24 14 11 25 24 14 22 16 17 19 22 16 17 19 18 20 21 15 18 20 21 15 23 13 12 26 23 13 12 26 35 36 图 2-11 图2-121 34 33 32 9 2 1 34 33 32 9 2 11 25 24 14 29 11 25 24 14 8 22 16 17 19 30 22 16 17 19 7 18 20 21 15 6 18 20 21 15 31 23 13 12 16 10 23 13 12 26 27 35 3 4 5 28 36 35 3 4 5 28 36 图2-13 图2-14第三章 研究某些特殊幻方的构造我们再研究几种具有特殊性质的幻方,即对称幻方,本章主要介绍圆筒幻方和超级幻方.3.1 对称幻方一个 阶幻方如果其对称于中心的两数的和都等于,则称为对称幻方.例如图3-1的5阶幻方就是对称幻方.易知对称幻方中关于中心对称的个数的和都等于幻方常数.例如图3-1中下列各组数：17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9图3-124,1,13,15,2；5,7,13,19,21；24,7,13,19,2；17,6,13,20,9；17,1,13,25,9；24,8,13,18,2； 17,15,13,11,9； 5,14,13,12,21；15,5,13,21,11； 1,13,25,4,22；8,16,13,10,18；7,6,13,20,19其和都等于65.是否任何阶数都能做出对称幻方？如何做出对称幻方呢？下面来分析这两个问题.对于奇阶情形,依下法可以做出对称幻方，在奇阶方阵第1行中间列上填数1（参照图3-2的5阶情形）,然后按照圆筒法则向右上方按自然数顺序填数,至数恰与数1相遇.再在数的下一行同列填数,然后按照上述方法进行填空（参照图3-2）,直至填完个数（参见图3-1）,得到对称幻方. 18574632图3-2对于双偶阶的情形,由环形作法可知,凡用环形法作出的双偶阶幻方都是对称幻方.以四阶幻方为例,先自左至右,再自右至左顺序填写,过半后先自右至左,再自左至右顺序填写各数，则各列已互换了两对数.再将中间两列依行对称交换,也即上下的顺序颠倒过来,则各行,列均已交换了两对数,而且由于调换的行,列对称,故两对角线上的数仍换到原线上，于是得到的四阶幻方（图3-3）.我们把它旋转90得到图3-4.1141541312818111052711141276936101513231616954 图3-3 图3-4 图3-4是用环形法做出的4阶对称幻方.用调动对角线上的数到对称位置上去的方法也可做出对称幻方.可以证明对于单偶阶（2k阶,k为奇数）情形不能做出对称你换幻方.以6阶幻方为例.根据对称幻方的定义,若有6阶对称幻方,则应形如图3-5.于是有：A B C D E F G H K L M N P Q R S T V 37-V 37-T 37-S 37-R 37-Q 37-P 37-N 37-M 37-L 37-K 37-H 37-G 37-F 37-E 37-D 37-C 37-B 37-A 图 3-5 将后5式相加减去第1式得到因为上式左边恒为偶数,右边为奇数,故不可能成立,因此6阶对称幻方不存在.同理可证明不存在单偶阶对称幻方.3.2 圆筒幻方一个阶幻方,如果不但各行各列,而且对角线组的每条线上各数的和都等于幻方常数,则称为圆筒幻方.下面讨论圆筒幻方的作法: 1.超马步法作圆筒幻方先给出作5阶圆筒幻方的马步作法.图3-6是5阶自然方阵,第一列的数为1,6,11,16,21.如图3-7所示,在第一行第一列填1.然后依圆筒法则并按中国象棋的 马步（向左11格向下2格）填写6,11,16,21 诸数.然后由所填各行首数起按右1下2的马步填写其他数（如图3-8所示）,则得到5阶圆筒幻方如图3-9.它的每行,每列以及左右两组10条对角线上每条各数的和都是65.把幻方左右连成圆筒.1 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 16 11 12 13 14 15 6 16 17 18 19 20 21 21 22 23 24 25 11 图3-6 图3-71 1 14 22 10 18 16 4 25 8 16 4 12 2 6 19 2 15 23 6 21 5 13 21 9 17 5 3 11 7 20 3 11 24 图3-8 图3-9状沿任一列线切开,或把幻方上下连成圆筒状沿任一行线切开,再把它铺开,其圆筒幻方的性质不变.现在我们用数学方法来描述走马步的方法.我们把向下移一格的动作叫做,向上移一格的动作叫做-,向右移一格的动作叫做,向左移一格的动作叫做-.用表示向下二格向左一格的马步,用表示向下二格向右一格的马步,则 (1) (2)于是有 (3) (4)把向右下方斜走一格叫,向左下方斜走一格叫, (5) (6) (7) (8)对于5阶情形,由圆筒法则,如果两数之差为5的倍数,则这两数可看作是同等的.例如4与-1 ,3与-2,可以互用.于是,式（1）至式（8） 可以写成: 00234114324412300321330124421022401331041134022043图3-10注意上面的走马步法则（参见图3-10）中,作移动时五进制数的个位数数字不变,五位数数字增加1,而作移动时五位数数字不变,个位数数字增加1.因此,由上面的公式知向下一格（即作移动）则应由原数加五进制数44；向右一格（即作y移动则应加23；向右下方斜走一格（即作移动）则应加12；向左下方斜走一格（即作移动）则应加21；若该位数加后得到大于4的数,则减去5使回到0 ,1 ,2 ,3,4的某一数.这样,由某一个数出发,可以求出方阵内所有的数,使方阵具备圆筒幻方的性质.将五进制数化十进制数,再将每个数加1,则得到习惯上的十进制圆筒幻方. 根据上述的分析,我们来讨论较易般的圆筒幻方的马步作法.把阶方阵中下移格右移格记为,下移格右移格记为,并称之为超马步. , ,的意义如上.容易推出下列公式： 按前面公式,作P移动时进制数的个位数数字不变,位数数字加1；作Q移动时个位数数字加1,位数数字不变.数学上可以证明,当, 与没有公因子时,可以解得 其中, 为整数,使下移1格能够办到,并且每一列上的数不论是个位还是都能取遍0,1,2,3,-1诸数.为使右移,斜移也能办到并得到同样性质,还须,诸数与无公因子.因此,用超马步法作阶圆筒幻方的条件是下列诸数与无公因子，.以7阶圆筒幻方为例.取马步为 ， 则=1，=4 , =2 , =3 , =-3 ,=-1 ,=5 ,=5 ,=-5,满足上面所述的条件,故可做出圆筒幻方如图3-11.00645145322613554234231004613320140165524611056256433024565340342115024431251206635022160360544135 图3-11当上述用超马步法作圆筒幻方的条件不满足的时候,虽不能做出圆筒幻方,但用适当的超马步可以做出别的奇阶幻方.下面举个例子,图3-12是用像步法做成的5阶对称幻方（自然方阵每行首数置数法是后一行的首数置于前一行的尾数下方）.12912320181574212416131025221911863251714 图3-12 对于偶阶的情形,上述超马步法作圆筒幻方的条件不满足.那么,究竟有你有偶阶圆筒幻方呢？回答是肯定的.例如图3-13就是一个4阶圆筒幻方.可见上面所述的条件是12631311510814451179162 图3-13充分而不必要的.当不满足条件时,可用作拉丁方法作圆筒幻方.2拉丁方法作圆筒幻方用超马步法作圆筒幻方,必须与, ,无公因子时才能做出.因此偶阶,阶等圆筒幻方不能用超马步法做出.现在以4阶为例,用拉丁方法加以研究.1） 先做出左上角为1的拉丁方如图3-141234 1432+d341232142143234143214123 （1） （2）1234 1432432141232143234134123214 （3） （4）1324 1324241342313142314242312413 （5） （6）1423 1423231441323241324114322314 （7） （8）图 3-14 2）把图3