连续系统振动b梁的弯曲振动ppt课件.ppt

一维波动方程梁的弯曲振动集中质量法假设模态法模态综合法 机械振动理论 连续系统的振动 1 梁的弯曲振动 动力学方程 细长梁的横向弯曲振动 梁各截面的中心惯性轴在同一平面xoy内外载荷作用在该平面内 在低频振动时可以忽略剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响 梁在该平面作横向振动 微振 这时梁的主要变形是弯曲变形 欧拉 伯努利梁 Bernoulli EulerBeam f x t 单位长度梁上分布的外力 m x t 单位长度梁上分布的外力矩 梁参数 I截面对中性轴的惯性积 单位体积梁的质量 S梁横截面积 E弹性模量 外部力 假设 连续系统的振动 梁的弯曲振动 2 f x t 单位长度梁上分布的外力 m x t 单位长度梁上分布的外力矩 微段受力分析 令 y x t 距原点x处的截面在t时刻的横向位移 截面上的剪力和弯矩 微段的惯性力 微段所受的外力 微段所受的外力矩 连续系统的振动 梁的弯曲振动 3 力平衡方程 以右截面上任一点为矩心 力矩平衡 略去高阶小量得 材料力学的等截面假设 弯矩与挠度的关系 变截面梁的动力学方程 连续系统的振动 梁的弯曲振动 4 变截面梁的动力学方程 等截面梁的动力学方程 连续系统的振动 梁的弯曲振动 5 固有频率和模态函数 变截面梁 讨论梁的自由振动 根据对杆纵向振动的分析 梁的主振动可假设为 代入自由振动方程 等截面梁 通解 连续系统的振动 梁的弯曲振动 6 等截面梁 主振动 第i阶主振动 无穷多个 和由系统的初始条件确定 系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加 连续系统的振动 梁的弯曲振动 7 常见的约束状况与边界条件 1 固定端 挠度和截面转角为零 2 简支端 挠度和弯矩为零 3 自由端 弯矩和剪力为零 连续系统的振动 梁的弯曲振动 8 例 求悬臂梁固有频率和模态函数 解 一端固定 一端自由 边界条件 固定端 挠度和截面转角为零 自由端 弯矩和截面剪力为零 非零解条件 连续系统的振动 梁的弯曲振动 9 频率方程 当i 1 2 3时 当时 各阶固有频率 对应的各阶模态函数 简化 连续系统的振动 梁的弯曲振动 10 铅垂梁的前三阶模态形状 第一阶模态 第二阶模态 第三阶模态 一个节点 两个节点 无节点 连续系统的振动 梁的弯曲振动 11 例 简支梁固有频率和模态函数 解 一端固定铰 一端滑动铰 固定铰 挠度和截面弯矩为零 滑动铰 挠度和截面弯矩为零 频率方程 固有频率 连续系统的振动 梁的弯曲振动 12 频率方程 固有频率 模态函数 连续系统的振动 梁的弯曲振动 13 例 两端自由梁的固有频率和模态函数 背景 导弹飞行 系统类别 半正定系统 存在刚体模态 导弹飞行1 导弹飞行2 连续系统的振动 梁的弯曲振动 14 频率方程 模态函数 当i 1 2 3时 解得 当时 自由端 弯矩和截面剪力为零 当时 对应刚体模态 连续系统的振动 梁的弯曲振动 15 第二阶模态 第三阶模态 第四阶模态 第五阶模态 自由梁的模态形状 连续系统的振动 梁的弯曲振动 16 例 试用数值确定一根一端固定另一端简支的梁的频率方程 并且绘出第一阶模态和第二阶模态的挠度曲线 连续系统的振动 梁的弯曲振动 17 解 梁的自由振动方程 边界条件 固定端 自由端 模态函数 连续系统的振动 梁的弯曲振动 18 连续系统的振动 梁的弯曲振动 19 非零解条件 频率方程 求得 对应的各阶模态函数 代入 连续系统的振动 梁的弯曲振动 20 第一阶模态 第二阶模态 0 560 连续系统的振动 梁的弯曲振动 21 例 悬臂梁 一端固定 另一端有弹性支撑 边界条件 固定端 挠度和截面转角为零 弹性支撑端 剪力 弯矩分别与直线弹簧反力 卷簧反力矩相等 弹簧二 直线弹簧与挠度成正比 弹簧一 卷簧与截面转角成正比 弯矩平衡条件 剪力平衡条件 连续系统的振动 梁的弯曲振动 22 固定端 弹性支撑端 由固定端条件解得 由弹性支撑固定端条件解得 连续系统的振动 梁的弯曲振动 23 或 非零解条件导出频率方程 连续系统的振动 梁的弯曲振动 24 1 若k1 k2同时为零 则退化为悬臂梁的情形 讨论 连续系统的振动 梁的弯曲振动 25 2 若k1 0 k2无穷大 则退化为一端固定另一端简支的情形 讨论 连续系统的振动 梁的弯曲振动 26 例 悬臂梁自由端附有质量 求频率方程 解 固定端 自由端 弯矩为零 剪力与质量惯性力平衡 利用同上述算例相同的方法 得频率方程 其中 为集中质量与梁质量之比 为梁质量 连续系统的振动 梁的弯曲振动 27 说明 以上分析中没有考虑剪切变形和截面转动惯量的影响 因此以上有关梁的分析只适用于细长梁 梁的长度大于梁高度5倍以上 若梁为非细长梁 必须考虑剪切变形和截面转动惯量的影响 铁木辛柯梁 Timoshenkobeam 考虑剪切变形使得梁的刚度降低 考虑转动惯量使得梁的惯性增加 这两个因素都会使梁的固有频率降低 连续系统的振动 梁的弯曲振动 28 模态函数的正交性 等截面梁 变截面梁自由振动方程 主振动 代入 得 设 连续系统的振动 梁的弯曲振动 29 分部积分 在梁的简单边界上 总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的一个同时为零 代入 3 式 相减 连续系统的振动 梁的弯曲振动 30 时 主振型关于质量的正交性 主振型关于刚度的正交性 i j 恒成立 第j阶主质量 第j阶主刚度 第j阶固有频率 连续系统的振动 梁的弯曲振动 31 第j阶主质量 第j阶主刚度 第j阶固有频率 时 时 主振型中的常数按归一化条件确定 正则振型 正则振型的正交性 连续系统的振动 梁的弯曲振动 32 梁横向振动的强迫响应 方程 令 代入 由正交性条件 第j个正则坐标方程 第j个正则坐标的广义力 由分部积分 连续系统的振动 梁的弯曲振动 33 梁初始条件的处理 第j个正则坐标方程 第j个正则模态响应 得到后 即可得到梁的响应 连续系统的振动 梁的弯曲振动 34 如果作用在梁上的载荷不是分布力矩 而是集中力和集中力矩 连续系统的振动 梁的弯曲振动 35 中点受常力P作用产生静变形 例 简支梁 求 当P突然移出时梁的响应 解 由材力得初始条件 梁中点的静挠度 连续系统的振动 梁的弯曲振动 36 梁两端简支 固有频率 振型函数 归一化条件 模态初始条件 连续系统的振动 梁的弯曲振动 37 模态初始条件 没有激振力 正则广义力为零 正则广义力 模态响应 梁响应 连续系统的振动 梁的弯曲振动 38 例 简支梁 求 梁的响应 中点受力矩作用 连续系统的振动 梁的弯曲振动 39 解 由上例知 固有频率 振型函数 正则广义力 第i个正则方程 连续系统的振动 梁的弯曲振动 40 例 悬臂梁 自由端作用有正弦力 求稳态强迫振动 以及梁自由端的响应 连续系统的振动 梁的弯曲振动 41 解 强迫振动方程 模态函数 设解为 代入方程 连续系统的振动 梁的弯曲振动 42 利用正则模态正交性条件 模态稳态解 梁的响应 连续系统的振动 梁的弯曲振动 43 梁自由端的响应 令x l 连续系统的振动 梁的弯曲振动 44 例 简支梁 左端承受正弦支撑运动 试求梁的响应 连续系统的振动 梁的弯曲振动 45 解 振动方程 解释 微段分析 力平衡方程 连续系统的振动 梁的弯曲振动 46 以右截面上任一点为矩心 力矩平衡 略去高阶小量 连续系统的振动 梁的弯曲振动 47 材料力学的等截面假设 弯矩与挠度的关系 梁的振动方程 连续系统的振动 梁的弯曲振动 48