数学常用解题思想(合集).doc

数学思想一、 考点综述考点内容：整体思想、数形结合思想、化归思想、换元思想、分类思想考纲要求：要求学生会建立数学思想，掌握思想方法，在解题时可以使学生，寻求出已知和未知的联系，提高学生分析问题的能力，从而使学习的思维品质和能力有所提高。数学思想方法的渗透、展现是借助于数学知识、技能这些载体的，在每年的中考中都有考查学生数学思想的题目出现。考查方式及分值：思想方法的考查在填空、解答、选择题中都有出现，常常和各种知识综合起来作为压轴题目出现。备考策略：数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，整体思想、数形结合思想、化归思想、换元思想、分类思想，在平时的学习中要注意发掘和运用这些数学思想方法。二、例题精析1、整体思想整体思想方法是指用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理来解决问题的方法.利用整体思想往往能够避免局部思考带来的困惑.例1 解方程组解题思路：如果选用代入法解答，比如由得，x= ,再代入，得2003（）+2002y=2004解答起来十分麻烦. 如果选用加减法，比如，2003- 2002，可以消去x，得20032003y-20022002y=20012003- 20042002形式也很复杂，不易求解. 注意到两个方程的系数正好对调这一特征，先将两方程相加，+，得4005x + 4005y = 4005化简，得 x+y=1 再将两方程相减， - ，得 -x + y = - 3即 x-y=3 由、组成方程组，得解这个方程组得.规律总结：整体思想在数学解题中的应用，不仅仅局限于上述的类型，还涉及到其他的各种题型，只有通过不断地挖掘、归纳、提炼，才能更好地把握整体思想的本质和规律，从而使问题迎刃而解。2、数形结合思想数和形是初中数学中被研究得最多的对象，数形结合是一种极富数学特点的信息转换，它通过形理解数，利用形的直观加深对数量关系的理解；通过数理解形，利用数的抽象性加深对图形位置关系的理解，即图形位置问题的坐标化，数量关系图形化。例2、 已知正比例函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象有一个交点的横坐标是2求两个函数图象的交点坐标；若点，是反比例函数图象上的两点，且，试比较的大小解题思路：（1）由由交点横坐标的含义可得方程组消去字母y，得，解得所以正比例函数的表达式为，反比例函数的表达式为要求两个函数图象的交点坐标，只须在得出的函数解析式基础上画出图象（反比例函数的图象分别在第一、三象限内的双曲线，正比例函数的图象是经过原点的一条直线）由题知交点的横坐标是2即可求出纵坐标也是2即为（2，2），由图象的关于原点成中心对称可得另一交点为所以两函数图象交点的坐标为（2，2），（2）利用上问中所画图形得反比例函数的图象的的值随值的增大而减小，所以当时，当时，当时，因为，所以规律总结：借助“形”的几何直观来阐明“数”之间的某种关系能使问题简单。这类问题常把函数、方程、不等式联系起来.3、 化归思想所谓化归思想，就是指对于那些数学问题难以求解时，我们可以根据问题的性质、条件和关系，采取适当的方法把较困难的问题转化为较简单的或早已熟悉的问题来进行解答。例3、如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间最小一个正方形边长为1，则这个矩形色块图的面积为 .解题思路： 设次小正方形边长为x，则其余正方形的边长依次为1+x,2+x,3+x,根据题意得：（2+x+3+x）（3+x+x）-【（3+x）+（2+x）+（1+x）+2x】=1，解得x=4.所以矩形色块图的面积为1311=143.规律总结：如果对待这个问题时只考虑几何的面积求法，很容易陷入分别求边长的死胡同，从而一筹莫展，这里采用代数考虑，将问题用一个方程表达出来，进而求出次小正方形的边长，进而求得解。这里又包含了整体思想、方程思想.4、 换元思想例4 分解因式（x2-3x+2）(x2-3x-4)-72解题思路：注意题目的形式特征，把某一部分（比如x2-3x+2）看作一个整体，运用整体换元，把原方程化为形如x2+px+q的二次三项式，进一步用十字相乘法，最后注意分解要彻底。设x2-3x+2=t 则（x2-3x+2）(x2-3x-4)-72=t（t-6）-72=t-6t-72=（t+6）（t-12）= (x2-3x+2+6)（x2-3x+2-12）=（x2-3x+8）（x2-3x-10）=（x2-3x+8）（x-5）（x+2）.规律总结： 如果把（x2-3x+2）与(x2-3x-4)相乘，将得到一个四次多项式，这时再分解就困难了，注意题目的形式特征，运用整体换元。5、分类思想分类思想是根据所研究的对象相同点和不同点区分不同类型的数学思想方法.例5. 仔细阅读下列材料，然后解答问题：某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80出售，同时，当顾客在该商场消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额a（元）的范围获得的奖金额（元）3060100130 根据上述促销方法，顾客在商场内购物可以获得双重优惠。例如，购买标价为450元的商品，则消费金额为45080=360元，获得的优惠额为450（180）+30=120元。设购买该商品得到的优惠率=购买商品获得的优惠额商品标价。 （1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？ （2）对于标价在500元与800元之间（含500元和800元）的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可以得到的优惠率？ 解题思路：这道题较新颖，既考查学生的阅读理解能力，又考查学生分类解题能力和运用新知能力。第（2）问中由于标价在500元800元之间，因此消费金额在400元640元之间，第二次送奖券优惠情况不确定，有两种情况，所以应分类解答。解：（1）标价为1000元的商品的优惠率为：（2）设顾客购买标价为x元的商品，可以得到的优惠率分两种情况：当时，有据题意得：解之并检验得：。但x=450不合题意，应舍去。当时，有据题意得：解之并检验得：x=750。符合题意。综合可知：x=750。答：顾客购买标价为750元的商品时，可以得到的优惠率。规律总结：由以上三例可以看出，当解某些题的时候，应注意分类，分类讨论时要正确选择分类的标准，一是不能遗漏，二是不能重复。只有这样，才能比较严谨、规范地解决数学应用问题。 中考数学选择题的做法和技巧在中考中，选择题是一种必不可少的重要题型，一般有10道小题，共20分。选择题的得分率直接影响到中考的成绩，只有努力提高选择题的得分率，才能在中考中立于不败之地。根据选择题自身的特点，它有一些特殊的思路和解题方法。一直接法这种方法用于一些不用过多思考能直接得出结论的简单题目。比如选择题的第一题，常考查有理数的计算，就可以用这种方法来解决。例1.|-22|的值是 （ ） A.-4 B.-6 C.6 D.4这道题直接填入结果就可以了，本题选择D。但这类题要小心谨慎、谨防陷阱。例2.|的相反数是（ ） A.2 B.-2 C. D.这道题若不注意相反数三个字就会做错，应选择D。二。排除法有些题目，要找到符合条件的选项不太容易，在此情况下将所有不符合条件的选项排除掉，剩下的就是正确的选项。例3.下列各式中，一定成立的是（ ） A.2x+3y=5xy B.x9x3=x3 C.(-x2y3)2=x4y6 D. =x-2 这道题主要考察代数式的基本运算，可用排除法。A选项，2x与3y不是同类项，不能合并，B选项，同底数幂相除指数相减，应为x6，D选项应为|x-2|,所以选择C。三。数形结合法就是把问题中的数量关系和空间图形结合起来思考问题。数与型相互转化，使问题化繁为简，得以解决。x1x2y1y2y3x3xy例4.在函数y=(k0)的图像上有三点（x1,y1）,(x2,y2),(x3,y3),已知x1x20x3,则下列各式中，正确的是（ ） A.y1y2y3 B.y3y2y1 C.y2y1y3 D.y3y10画出双曲线的图像，再根据x1x20x3,很容易就能判断出y1,y2,y3的大小关系四。特殊值法有些问题从理论上论证它的正确性比较困难，但是代入一些满足题意的特殊值，验证它是错误的比较容易，此时，我们就可以用这种方法来解决问题。例5.如果mn0,那么下列表达式中错误的是（ ） A.m-9-n C. 1我们可以取m=-2,n=-1,则m-9=- -2-9= -11,n-9= -1-9= -10，-111显然成立，所以B正确； = = - , = = -1,- bc B.bca C.a=b=c D.cabAAACFDENMHOB 这道题目，若从正面考虑，直接求这三条线段的长度，不太好算。因为三个四边形都是矩形，对角线相等，可以把对角线分别转化为OA,OM,OD,这三条线段都是圆的半径，所以有a=b=c=r,所以选C。六。方程法通过设未知数，找等量关系，建方程，解方程，使问题得以解决的方法。例7.为了促销，商场将某商品按标价的9折出售，仍可获利10%。如果商品的标价为33元，那么该商品的进价为（ ） A.31元 B.30.2元 C.29.7元 D.27元本题就可以运用方程的思想来解决。设该商品的进价为x元，则有330.9x=10%x，解得：x=27，所以该商品的进价为27元，选择D。七。实践操作法近几年中考，出现了一些纸片折叠剪裁的题目，我们在考试中实际动手操作一下，就会很容易得出答案。例8.如图所示，将正方形纸片三次对折，并剪出一个等腰直角三角形后铺平，得到的图形是（ ） A B C D本题动手操作，便可快速准确的得出答案，选择A。八。假设法中考时，有些题目情况繁多，无从下手，这时候我们就可以先假设一种情况，然后从这个假设出发，排除不可能的情况，得出正确结论。yy例9.在同一直角坐标系下，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx的图像可能是（ ）yyoooxxxoox A B C Do这道题，先从二次函数解析式y=ax2+bx得出抛物线过原点，排除B、C,再假设a0,则抛物线开口向下，直线过二、四象限，排除D，所以选择A。上面是一些做选择题的常用方法，同学们要常思考，多总结。要善于抓住题目的特点，采取灵活多样的方法，快捷准确的找到答案。中考填空题解法大全一.数学填空题的特点与选择题同属客观性试题的填空题，具有客观性试题的所有特点，即题目短小精干，考查目标集中明确，答案唯一正确，答卷方式简便，评分客观公正等。但是它又有本身的特点，即没有备选答案可供选择，这就避免了选择项所起的暗示或干扰的作用，及考生存在的瞎估乱猜的侥幸心理，从这个角度看，它能够比较真实地考查出学生的真正水平。考查内容多是“双基”方面，知识复盖面广。但在考查同样内容时，难度一般比选择题略大。试看下面二题：例1如图1，已知一块正方形的地瓷砖边长为a，瓷砖上的图案是以各边为直径在正方形内画半圆所围成（阴影部分），那么阴影部分的面积_。例2 如上图，以正方形各边为直径在正方形内画半圆，求所围成的图形（阴影部分）的面积。下列计算方法，正确的是（ ）。A.三个半圆的面积减去正方形的面积；B.四个半圆的面积减去正方形的面积；C.正方形的面积减去两个半圆的面积；D.正方形的面积减去三个半圆的面积；这道题是课本中的解答题，把它编成填空题后，同样要认真计算才能得出结果，而把它编成选择题，不少考生通过比较选择项，通过选择项的暗示作用，可筛选出正确答案（B），花时间比例1少得多。二.主要题型初中填空题主要题型一是定量型填空题，二是定性型填空题，前者主要考查计算能力的计算题，同时也考查考生对题目中所涉及到数学公式的掌握的熟练程度，后者考查考生对重要的数学概念、定理和性质等数学基础知识的理解和熟练程度。当然这两类填空题也是互相渗透的，对于具体知识的理解和熟练程度只不过是考查有所侧重而已。填空题一般是一道题填一个空格，当然个别省市也有例外。中考南京出了四道类似上题的填空题。这类有递进层次的试题，实际上是考查解题的几个主要步骤。中考江西省还出了一道“先阅读，后填空”的试题，它首先列举了30名学生的数学成绩，给出频率分布表，然后要求考生回答六小道填空题，这也可以说是一种新题型。这种先阅读一段短文，在理解的基础上，要求解答有关的问题，是近年悄然兴起的阅读理解题。它不仅考查了学生阅读理解和整理知识的能力，同时提醒考生平时要克服读书囫囵吞枣、不求甚解的不良习惯。这种新题型的出现，无疑给填空题较寂静的湖面投了一个小石子。三.基本解法一、直接法例1 如图，点C在线段AB的延长线上，D，则的度数是_CBA分析：由题设知，利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和知识，通过计算可得出=二、特例法例2已知中，的平分线交于点，则的度数为 分析：此题已知条件中就是中，说明只要满足此条件的三角形都一定能够成立。故不妨令为等边三角形，马上得出=。例4、填空题：已知a0，那么，点P(-a2-2，2-a)关于x轴的对称点是在第_象限.解：设a=-1，则P-3，3关于x轴的对称点是 -3，-3在第三象限，所以点P(-a2-2，2-a)关于x轴的对称点是在第三象限.例5、无论m为任何实数，二次函数y=x2+(2-m)x+m的图像都经过的点是 _.解：因为m可以为任何实数,所以不妨设m=2，则y=x 2+2，再设m=0，则y=x 2+2x解方程组解得 所以二次函数y=x 2+(2-m)x+m的图像都经过的点是(1，3).三、数形结合法数缺形时少直观，形缺数时难入微。数学中大量数的问题后面都隐含着形的信息，图形的特征上也体现着数的关系。我们要将抽象、复杂的数量关系，通过形的形象、直观揭示出来，以达到形帮数的目的;同时我们又要运用数的规律、数值的计算，来寻找处理形的方法，来达到数促形的目的。对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。例6、 在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4=_。解：四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，可设它们的边长分别为a、b、c、d，由直角三角形全等可得解得a2+b2+c2+d2=4，则S1+S2+S3+S4=4. 四、猜想法例4用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需棋子 枚（用含n的代数式表示）.第1个图第2个图第3个图分析：从第1个图中有4枚棋子4=31+1，从第2个图中有7枚棋子7=32+1, 从第3个图中有10枚棋子10=33+1,从而猜想：第n个图中有棋子3n+1枚.五、整体法例5如果x+y=-4，x-y=8，那么代数式x2y2的值是 c分析：若直接由x+y=-4，x-y=8解得x，y的值，再代入求值，则过程稍显复杂，且易出错，而采用整体代换法，则过程简洁，妙不可言分析：x2y2=（x+y）（x-y）=-48=-32例6 已知，则的值等于_分析：运用完全平方公式，得22，即 ， 1六、构造法例7已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（-2，3）则m的值为分析：采用构造法求解由题意，构造反比例函数的解析式为，因为它过（-2，3）所以把-2，3代入得k=-6. 解析式为而另一点（m,2）也在反比例函数的图像上，所以把m，2代入得m=-3.七、图解法例8如图为二次函数y=ax2bxc的图象，在下列说法中：ac0； 方程ax2bxc=0的根是x1= 1, x2= 3 abc0 当x1时，y随x的增大而增大。正确的说法有_。(把正确的答案的序号都填在横线上)分析：本题借助图解法来求 利用图像中抛物线开口向上可知a0,与y轴负半轴相交可知c0,所以ac0.图像中抛物线与x轴交点的横坐标为-1，3可知方程ax2bxc=0的根是x1= 1, x2= 3 从图中可知抛物线上横坐标为1的点 （1，abc）在第四象限内所以abc0 从与x轴两交点的横坐标为-1，3可知抛物线的对称轴为x=1且开口向上，所以当x1时y随x的增大而增大。 所以正确的说法是：八、等价转化法通过化复杂为简单、化陌生为熟悉，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果。.例7、如图10，在 ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点， AD是BAC 的平分线，MFAD，则FC的长为_.解：如图，设点N是AC的中点，连接MN，则MNAB.又MFAD，所以，所以.因此 例8、如图6，在 中，E为斜边AB上一点，AE=2，EB=1，四边形DEFC为正方形，则阴影部分的面积为_.解：将直角三角形EFB绕E点，按逆时针方向旋转 ，因为CDEF是正方形，所以EF和ED重合，B点落在CD上，阴影部分的面积转化为直角三角形ABE的面积，因为AE=2，EB=1，所以阴影部分的面积为1/2*2*1=1.九、观察法例3一组按规律排列的式子：，（），其中第7个式子是 ，第个式子是 （为正整数）分析：通过观察已有的四个式子，发现这些式子前面的符号一负一正连续出现，也就是序号为奇数时负，序号为偶数时正。同时式子中的分母a的指数都是连续的正整数，分子中的b的指数为同个式子中a的指数的3倍小1，通过观察得出第7个式子是，第个式子是。由以上的例子我们可以看到数学思想方法是处理数学填空题的指导思想和基本策略，是数学的灵魂，它能够帮助我们从多角度思考问题，灵活选择方法，是快速准确地解数学填空题的关键。因此，我们首先要对初中数学知识和技能做到透彻理解，牢固掌握，融会贯通进而领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，来提高思维水平，运用数学思想方法达到举一反三，熟练运用，提升素养的目的。四.认真作答，减少失误填空题虽然多是中低档题，但不少考生在答题时往往出现失误，这是要引起师生的足够重视的。首先，应按题干的要求填空，如有时填空题对结论有一些附加条件，如用具体数字作答，精确到等，有些考生对此不加注意，而出现失误，这是很可惜的。例6一个圆柱的底面半径为1米，它的高为2米，则这个圆柱的侧面积为_平方米。（精确到0.1平方米）。有的考生直接把求出的4作为结果而致错误，正确答案应当是12.6。其次，若题干没有附加条件，则按具体情况与常规解题。第三，应认真分析题目的隐含条件。例8 等腰三角形的一边等于4，一边等于9，则它的周长等于_。个别考生认为9和4都可以作为腰长，而出现两个答案22和17，这是他们忽视了“三角形二边之和应大于第三边”这个隐含条件，应填22。总之，填空题与选择题一样，因为它不要求写出解题过程，直接写出最后结果。因此，不填、多填、填错、仅部分填对，严格来说，都计零分（97年五羊杯竞赛试题就这样明确规定）。虽然近二年各省市中考填空题，难度都不大，但得分率却不理想，因此，在教学中应要求学生“双基”扎实，强化训练，提高解题能力，才能既准又快解题。另一方面，加强对填空题的分析研究，掌握其特点及解题方法，减少失误，这将使我们有可能通过有限道题的学习培养起无限道题的数学机智，让学生从题海中跳出来，这也是实施素质教育、减轻学生负担的有效途径。中考填空题解题技巧(A组)11. 已知，则 .12. 计算：所得的结果是 .13. 在直角坐标系中，点在第四象限，则的取值范围是 .14. 对于反比例函数与二次函数，请说出它们的两个相同点 ；再说出它们的两个不同点 .15. 等腰梯形ABCD，AD/BC，AEBC于点E，AE=AD=2cm，则这个梯形的中位线长为 cm.16. 如图，割线PAB过圆心O，PD切O于D，C是上一点，PDA=，则C的度数是 .17. 如图，DE/BC，且DB=AE，若AB=5，AC=10，则AE的长为 .18. 如图，AB是半圆O的直径，半径OCAB，O1的直径是OC，AD切O1于D，交OC的延长线于E，设O1的半径为，那么用含的代数式表示DE，结果是DE= .(B组)11. 已知一个二次函数的图象开口向下, 且与坐标轴只有1个交点, 请你写出一个符合上述条件的函数关系式_.12. 已知抛物线与x轴的两个交点A,B关于y轴对称, 那么的值为_.13. 设计一个商标图案（如图阴影部分），矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=8cm，以点A为圆心，AD长为半径作半圆，则商标图案的面积为_.14. 已知P在圆O外，且OP=5, P点到圆O的两条切线长都为4, 则两个切点之间的距离为_.15. 已知, 则的值等于_.16. 已知点P(m, 0.5m+1)到x轴的距离是它到y轴距离的一半, 若将P向上和向右平移相同的长度单位后得到点Q, 满足点Q到x轴和y轴的距离相等, 那么OPQ的面积为_.17. 已知实数满足, 那么的值为_.18. 如图, 一张纸片ABCDEFG由两个正方形ABCN和FNDE组成, 现需将该纸片剪拼成一个与