高数下学期期末试题(含答案)3套.doc

高等数学期末考试试卷1一、单项选择题（63分）1、设直线，平面，那么与之间的夹角为( )A.0 B. C. D. 2、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（ ）A.充分条件 B.充分必要条件C.必要条件 D.既非充分又非必要条件3、设函数，则等于（ ）A. B. C D. 4、二次积分交换次序后为（ ）A. B. C. D. 5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（ ）A.绝对收敛 B.条件收敛C.发散 C.不能确定其敛散性6、设是方程的一个解，若，则在处（ ） A.某邻域内单调减少 B.取极小值 C.某邻域内单调增加 D.取极大值二、 填空题（73分）1、设（4，-3，4），（2，2，1），则向量在上的投影 2、设，那么 3、D为，时， 4、设是球面，则 5、函数展开为的幂级数为 6、 7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为 三、计算题(47分)1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为 1，求。2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。3、计算二重积分，其中 4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。5、求级数的和。四、综合题(10分) 曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。五、证明题 (6分)设收敛，证明级数绝对收敛。一、单项选择题（63分）1、 A 2、 C 3、 C 4、 B 5、 A 6、 D 二、 填空题（73分）1、2 2、 3、 4 、 5、 6、0 7、 三、计算题(59分)1、解：令则， 故2、解：令 则 所以切平面的法向量为： 切平面方程为： 3、解：4、解：令 ，则 当，即在x轴上方时，线积分与路径无关，选择由（0，1）到（2，1）则 5、解：令则 ， 即 令，则有四、综合题(10分) 解：设曲线上任一点为，则过的切线方程为： 在轴上的截距为 过的法线方程为： 在轴上的截距为 依题意有 由的任意性，即，得到这是一阶齐次微分方程，变形为：.(1)令则，代入（1）得： 分离变量得： 解得： 即 为所求的曲线方程。五、证明题 (6分)证明： 即 而与都收敛，由比较法及其性质知：收敛故 绝对收敛。高等数学期末考试试卷2一，单项选择题（64分）1、直线一定 ( )A.过原点且垂直于x轴 B.过原点且平行于x轴 C.不过原点，但垂直于x轴 D.不过原点，但平行于x轴 2、二元函数在点处连续 两个偏导数连续 可微 两个偏导数都存在那么下面关系正确的是（ ）A B. C. D. 3、设，则等于（ ）A.0 B. C. D. 4、设，改变其积分次序，则I（ ）A. B. C. D. 5、若与都收敛，则（ ）A.条件收敛 B.绝对收敛C.发散 C.不能确定其敛散性6、二元函数的极大值点为（ ） A.(1,0) B.(1,2) C.(-3,0) D.(-3,2)二、 填空题（84分）1、过点（1，3，2）且与直线垂直的平面方程为2、设，则 3、设D：，则 4、设为球面，则 5、幂级数的和函数为 6、以为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为 7、若收敛，则 8、平面上的曲线绕轴旋转所得到的旋转面的方程为 三、计算题(47分)1、设可微，由确定，求及。2、计算二重积分，其中。3、求幂级数的收敛半径与收敛域。4、求曲线积分，其中是由 所围成区域边界取顺时针方向。四、综合题(10分) 曲线上点的横坐标的平方是过点的切线与轴交点的纵坐标，求此曲线方程。五、证明题 (6分)设正项级数收敛，证明级数也收敛。一、单项选择题（64分）1、 A 2、 A 3、 C 4、 B 5、 B 6、 D 二、 填空题（84分）1、 2、 3、 4 4、 5、 6、 7、1 8、 三、计算题(47分)1、解：令 2、解： =3、解：令对于， 当时发散 当时，也发散所以在时收敛，在该区间以外发散，即解得 故所求幂级数的收敛半径为2，收敛域为（0，4）4、解：令，则，由格林公式得到 4四、综合题(10分) 解： 过的切线方程为： 令X0，得 依题意有：即.(1)对应的齐次方程解为 令所求解为 将代入（1）得：故（1）的解为： 五、证明题 (6分)证明：由于收敛，所以也收敛，而 由比较法及收敛的性质得： 收敛。高等数学期末考试试卷3一选择题(4分6=24分)1、设为非零向量，则 = (A) (B) (C) (D) .2 3设， 在上连续 = (A) (B) (C) (D) 二、填空题(4分6=24分)1直线与平面的交点是_2用钢板做体积为的有盖长方体水箱最少用料S=_3二次积分的值是_4设为球面，则=_5小山高度为在处登山，最陡方向是_三、（10分）求过点垂直于直线而与平面的平行的直线方程四（10分）将函数展开成(x-1)的幂级数并给出收敛域。五（10分）计算三重积分, 其中W是由抛物面x2+y2=2z及平面z=5所围成的空间闭区域. 六（10分）设L是由直线上从到一段及圆弧上从再到的有向曲线，计算七（10分）计算曲面积分，其中为球面八（10分）设，具有二阶连续偏导数，而由方程确定，求。一选择题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）1、【解】应选择D。 =2【解】应选择A。连续 处可微分3。【解】应选择C。在极坐标下=二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分） 1【解】应填直线化为参数式 代入平面方程 得 代入参数方程得 故交点为 2【解】应填24设水箱的长为xm, 宽为ym, 则其高应为m. 此水箱所用材料的面积为. 令, , 得x=2, y=2. 即当水箱的长为2m、宽为2m、高为m时, 水箱所用的材料最省. 最少用料为 3【解】应填.=4【解】应填.=5【解】应填.在处登山，最陡方向是在的梯度方向=6【解】应填.由于是间断点，故，而是连续点， 于是=.三【解】 已知直线方向向量，已知平面法向量（4分）设所求直线方向向量，则 . .（8分）所求直线方程为 （10分） 四 【解】 因为 （2分） （4分） （6分） （8分）收敛域满足（9分）解出收敛域为：（10分）五. 【解】积分区域W关于面对称，在柱面坐标下积分区域W可表示为 , , , （2分） （4分）（6分） （8分） （10分）六【解】补充为x轴上由