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第四节 可降阶的二阶微分方程 对一般的二阶微分方程没有普遍的解法，本节讨论三种特殊形式的二阶微分方程，它们有的可以通过积分求得，有的经过适当的变量替换可降为一阶微分方程，然后求解一阶微分方程，再将变量回代，从而求得所给二阶微分方程的解.分布图示 型 例1 例2 型 例3 例4 例5 型 例6 例7 内容小结 课堂练习 习题8-4内容要点: 一、 型 在方程两端积分，得 再次积分，得 注：这种类型的方程的解法，可推广到阶微分方程，只要连续积分n次, 就可得这个方程的含有n个任意常数的通解. 二、 型这种方程的特点是不显含未知函数y，求解的方法是:令 则，原方程化为以为未知函数的一阶微分方程,设其通解为然后再根据关系式 又得到一个一阶微分方程对它进行积分，即可得到原方程的通解 三、型这种方程的特点是不显含自变量x. 解决的方法是：把暂时看作自变量，并作变换 于是，由复合函数的求导法则有这样就将原方程就化为这是一个关于变量y、p的一阶微分方程. 设它的通解为这是可分离变量的方程，对其积分即得到原方程的通解例题选讲： 型例1（E01）求方程满足的特解.解 对所给方程接连积分二次,得 (1) (2)在(1)中代入条件得在(2)中代入条件得从而所求题设方程的特解为例2求方程的通解.解 设代入题设方程,得解线性方程,得为任意常数)，即两端积分,得再积分得到所求题设方程的通解为其中为任意常数. 进一步通解可改写为其中为任意常数.型例3（E02）求方程的通解.解 这是一个不显含有未知函数的方程.令则于是题设方程降阶为即两边积分,得即或再积分得原方程的通解例4 求微分方程初值问题 的特解.解 题设方程属型.设代入方程并分离变量后,有两端积分，得即由条件得所以两端再积分,得又由条件得于是所求的特解为 例5 求微分方程满足 且当时, 有界的特解.解法1 所给方程不显含属型,令则代入方程降阶后求解, 此法留给读者练习.解法2 因为即这是一阶线性微分方程，解得因为时，有界,得故由此得及又由已知条件得从而所求特解为型例6（E03）求方程的通解.解 设则代入原方程得即由可得所以原方程通解为 例7 求微分方程满足初始条件 的特解.解 令由代入方程并化简得上式为可分离变量的一阶微分方程，解
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