高考数学总复习 第五章 数列、推理与证明 第1讲 数列的概念与简单表示法课件 文.ppt

第五章 数列 推理与证明 第1讲 数列的概念与简单表示法 1 数列的定义 按照一定顺序排列着的一列数称为数列 数列中的每一个数叫做这个数列的项 数列可以看作是定义域为n 的非空子集的函数 其图象是一群孤立的点 2 数列的分类 无限 3 数列的表示法数列有三种表示法 它们分别是列表法 图象法和解析法 4 数列的通项公式如果数列 an 的第n项an与序号n之间的关系可以用一个公式an f n 来表示 那么这个公式叫做这个数列的通项公式 5 sn与an的关系 an 1 an 1 b b d 4 如图5 1 1所示的是用同样规格的黑 白两色正方形瓷砖铺设的若干图案 若按此规律铺设 则第n个图案中需用黑 d 色瓷砖的块数为 用含n的代数式表示 图5 1 1a 4nb 4n 1c 4n 3d 4n 8 考点1 由数列的前几项写数列的通项公式 例1 分别写出下列数列的一个通项公式 数列的前4项已给出 规律方法 对于一个公式能否成为一个给出的前n项的 数列的通项公式 需逐项加以验证 缺一不可 根据数列 an 的前n项求通项公式 我们常常取其形式上较简便的一个即可 另外 求通项公式 一般可通过观察数列中各项的特点 进行分析 概括 然后得出结论 必要时可加以验证 已知数列的前几项求通项公式 主要从以下几个方面来考 虑 负号用 1 n与 1 n 1 或 1 n 1 来调节 分数形式的数列 分析分子 分母的特征 且充分借助 分子 分母的关系 相邻项的变化特征 拆项后的特征 对于比较复杂的通项公式 要借助于等差数列 等比数 列 后面专门学习 和其他方法解决 此类问题虽无固定模式 但也有规律可循 主要靠观察 观察规律 比较 比较已知的数列 归纳 转化 转化为等差或等比数列 等方法 互动探究 1 已知数列 an 的前4项分别为1 0 1 0 则下列各式可作 为数列 an 的通项公式的个数有 a 1个 b 2个 c 3个 d 4个 解析 由三角函数公式知 和 实质上是一样的 不难验证 它们是已知数列1 0 1 0的通项公式 对于 易看出 它不是数列 an 的通项公式 对于 将n 3代入 a3 3 1 故 不是 an 的通项公式 显然是数列 an 的通项公式 综上所述 可作为数列 an 的通项公式有3个 故选c 答案 c 2 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数 如图5 1 2 图5 1 2 他们研究过图5 1 2 1 中的1 3 6 10 由于这些数能够表示成三角形 将其称为三角形数 类似地 称图5 1 2 2 中的1 4 9 16 这样的数为正方形数 下列数中既是三角形数又 是正方形数的是 a 289c 1225 b 1024d 1378 c 考点2 由递推关系式求数列的通项公式 例2 已知数列 an 满足an 1 2an 1 n n 1 若a1 1 写出此数列的前4项 并推测该数列的通项公式 2 若a1 1 写出此数列的前4项 并推测该数列的通项公式 解 1 a1 a2 a3 a4 1 可推测该数列 an 的通项公式为an 1 2 方法一 a1 1 a2 2 1 1 3 a3 2 3 1 7 a4 2 7 1 15 可推测该数列 an 的通项公式为an 2n 1 方法二 由an 1 2an 1 an 1 1 2 an 1 an 1 1 a1 1 2n 1 an 1 2n 1 规律方法 数列的递推公式是由递推关系式 递推 和首项 基础 两个因素所确定的 即使递推关系完全一样 而首项不同就可得到两个不同的数列 适当配凑是本题进行归纳的前提 从整体把握是现代数学的重要手段 加强类比是探索某些规律的常用方法之一 互动探究 考点3 利用an与sn的关系求数列的通项公式 例3 已知数列 an 的前n项和为sn 按照下列条件求数列的通项公式 1 若sn 2n2 n 求数列 an 的通项公式 2 若sn n2 n 1 求数列 an 的通项公式 解 1 当n 1时 a1 s1 1 当n 2时 an 2n2 n 2 n 1 2 n 1 4n 3 经检验 当n 1时 a1 1也适合an 4n 3 数列 an 的通项公式是an 4n 3 规律方法 已知an求sn的方法多种多样 但已知sn求an的方法却是高度统一 化简关系式用sn表示出an是关键 当n 2时 若由an sn sn 1求出的an对n 1也成立 则an sn sn 1 否则就分段表示 互动探究 4 设数列 an 的前n项和为sn 且sn 2 an 1 则a3 a a 8c 2 b 4d 1 解析 由s1 2 a1 1 a1 得a1 2 由s2 2 a2 1 得a2 4 由s3 2 a3 1 得a3 8 思想与方法 用函数的思想探讨数列的单调性 例题 已知单调递增数列 an an n2 kn n n 求实数 k的取值范围 解 an n2 kn n n an 1 an n 1 2 k n 1 n2 kn 2n 1 k 数列 an 单调递增 an 1 an 0 即2n 1 k 0恒成立 k 2n 1 即k 3 规律方法 函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别 若数列所对应的函数单调 则数列一定单调 反之 若数列单调 则其所对应的函数不一定单调 因为数列是定义域为正整数集的特殊函数 所以数列的单调性