数列讲义一.doc

中小学1对1课外辅导专家毅帆教育学科培训师辅导讲义讲义编号 学员编号年 级课时数2学员姓名辅 导 科 目学科培训师吴维民学科组长签字 教务长签字课 题复习等差、等比数列备课时间：授课时间： 教学目标掌握等差、等比的基本概念，并能够熟练应用公式。重点、难点等差、等比数列的性质应用。考点及考试要求等差、等比与函数的结合。教学内容等差数列1等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。用递推公式表示为或。要防止仅由前若干项，如a3a2a2a1d（常数）就说an是等差数列这样的错误，判断一个数列是否是等差数列。，是等数列吗？2等差数列的通项公式：；可整理成annd（a1d），当d0时，an 是关于n 的一次函数关系式，它的图象是一条直线上，那么n 为正整数的点的集合。也可写成3等差数列的单调性：由得为递增数列，为常数列， 为递减数列。4等差中项的概念：定义：如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项。其中 ，成等差数列。5等差数列的前和的求和公式： 方法：倒序相加法是关于的二次函数且常数项为0.推导过程：如果，求数列的通项公式6等差数列的性质：（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：，； ，；（3）在等差数列中，对任意，；（4）在等差数列中，若（），则； 特别地，当时，（5）为有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即。（6）下标成等差数列且公差为的项组成公差为的等差数列。（7）若数列和均为等差数列，则（为非零常数）也为等差数列。（8）个等差数列，它们的各对应项之和构成一个新的等差数列，且公差为原来个等差数列的公差之和。(9)若数列是等差数列，是其前n项的和，那么，成等差数列。如下图所示： （10）设数列是等差数列，且公差为，（）若项数为偶数，设共有项，则 ；（）若项数为奇数，设共有项，则； 。 (11)（1），时，有最大值；，时，有最小值；（2）最值的求法：若已知，可用二次函数最值的求法（）； 若已知，则最值时的值（）可如下确定或。（12）的前项和分别为，则有 等比数列1等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：（注意：“从第二项起”、“常数”、等比数列的公比和项都不为零）2等比数列通项公式为：。说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若为等比数列，则。3等比中项如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。成等比数列4等比数列的通项公式：,它的图象是分布在曲线（q0）上的一些孤立的点。证明：（1）不完全归纳法：（2）累乘法：5等比数列的判定方法(1)定义法:若(2)等比中项法:若(3)通项法:若 (4)前n项和法:若数列为等比数列。6等比数列的单调性：等比数列中，当或时，是递增数列；当或时，是递减数列；当时，是一个常数列；当时，是一个摆动数列.7等比数列前n项和公式8等比数列的性质：等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，公比为，则有；对于等比数列，若，则，也就是：，如图所示：。特别地：若，则有若数列是等比数列，是其前n项的和，那么，成等比数列。如下图所示： 若是等差数列，则是等比数列，若是（）等差数列，则是等比数列，如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则这个数列是非0的常数列课后作业一、选择题 1、若数列an的通项公式是an=2(n1)3，则此数列 ( )(A)是公差为2的等差数列 (B)是公差为3的等差数列(C) 是公差为5的等差数列 (D)不是等差数列2、等差数列an中，a1=3,a100=36,则a3a98等于 ( )(A)36 (B)38 (C)39 (D)423、含2n+1个项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为 ( )(A) (B) (C) (D)4、设等差数列的首项为a,公差为d，则它含负数项且只有有限个负数项的条件是 ( )(A)a0,d0 (B)a0,d0 (C)a0,d0 (D)a0,d05、在等差数列an中，公差为d，已知S104S5，则是 ( )(A) (B)2 (C) (D)46、设an是公差为2的等差数列，如果a1+ a4+ a7+ a97=50，则a3+ a6+ a9+ a99= ( )(A)182 (B)80 (C)82 (D)847、等差数列an 中，S15=90，则a8= ( )(A)3 (B)4 (C)6 (D)128、等差数列an中，前三项依次为，则a101= ( )(A) (B) (C)24 (D)9、数列an的通项公式，已知它的前n项和为Sn=9，则项数n= ( )(A)9 (B)10 (C)99 (D)10010、等差数列an中，a3+ a4+ a5+ a6+ a7=450，求a2+a8= ( )(A)45 (B)75 (C)180 (D)30011、已知an是等差数列，且a2+ a3+ a8+ a11=48，则a5+ a7= ( )(A)12 (B)16 (C)20 (D)2412、在项数为2n+1的等差数列中，若所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于 ( )(A)9 (B)10 (C)11 (D)1213、等差数列an 的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为( )(A)130 (B)170 (C)210 (D)16014、等差数列an的公差为，且S100=145，则奇数项的和a1+a3+a5+ a99=( )(A)60 (B)80 (C)72.5 (D)其它的值15、等差数列an中，a1+a2+a10=15，a11+a12+a20=20，则a21+a22+a30=( )(A)15 (B)25 (C)35 (D)4516、等差数列an中，a1=3，a100=36，则a3+a98= ( )(A)36 (B)39 (C)42 (D)4517、an是公差为2的等差数列，a1+a4+a7+a97=50，则a3+a6+ a99= ( )(A)50 (B)50 (C)16 (D)1.8218、若等差数列an中，S17=102，则a9= ( )(A)3 (B)4 (C)5 (D)619、夏季高山上温度从山脚起每升高100米，降低0.7，已知山顶的温度是14.1，山脚的温度是26，则山的相对高度是 ( )(A)1500 (B)1600 (C)1700 (D)180020、若xy，且两个数列：x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各成等差数列，那么 ( )(A) (B) (C) (D)值不确定21、一个等差数列共有2n项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是 ( )(A)4 (B)8 (C)12 (D)2022、等差数列an中如果a6=6，a9=9，那么a3= ( )(A)3 (B) (C) (D)423、设an是等比数列，且a1=，S3=，则它的通项公式为an= ( )(A) (B) (C) (D)或24、已知a、b、c、d是公比为2的等比数列，则= ( )(A)1 (B) (C) (D)25、已知等比数列an 的公比为q，若=m（n为奇数），则= ( )(A)mqn1 (B) mqn (C) mq (D) 26、已知等比数列前10项的和为10，前20项的和为30，那么前30项的和为( )(A)60 (B)70 (C)90 (D)12627、若an是等比数列，已知a4 a7=512，a2+a9=254，且公比为整数，则数列的a12是 ( )(A)2048 (B)1024 (C)512 (D)51228、数列an、bn都是等差数列，它们的前n项的和为，则这两个数列的第5项的比为 ( )(A) (B) (C) (D)以上结论都不对29、已知，则a，b，c ( )(A)成等差数列 (B)成等比数列(C)既成等差数列又成等比数列 (D)既不成等差数列又不成等比数列30、若a+b+c，b+ca，c+ab，a+bc成等比数列，且公比为q，则q3+q2+q的值为 ( )(A)1 (B)1 (C)0 (D)231、若一等差数列前四项的和为124，后四项的和为156，又各项的和为350，则此数列共有 ( )(A)10项 (B)11项 (C)12项 (D)13项32、在3和9之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则二数之和为 ( )(A) (B) (C) (D)33、数列1，的前n项和为 ( )(A) (B) (C) (D)34、设数列an各项均为正值，且前n项和Sn=（an+），则此数列的通项an应为 ( )(A) an= (B) an=(C) an= (D) an=35、数列an为等比数列，若a1+ a8=387，a4 a5=1152，则此数列的通项an的表达式为 ( )(A) an =32n -1 (B) an =384（）n -1 (C) an =32n -1或an =384（）n -1 (D) an =3（）n -1 36、已知等差数an中，a3+ a4+ a5+ a6+ a7=450，则a1+ a9= ( )(A)45 (B)75 (C)180 (D)30037、已知等比数列an中，an0，公比q1，则 ( )(A) (B)(C) (D)38、在等比数列中，首项，末项，公比，求项数 ( )(A)3 (B)4 (C)5 (D)639、等比数列an中，公比为2，前四项和等于1，则前8项和等于 ( )(A)15 (B)17 (C)19 (D)2140、某厂产量第二年增长率为p，第三年增长率为q，第四年增长率为r，设这三年增长率为x，则有 ( )(A) (B)(C) (D)二、填空题 1、已知等差数列公差d0,a3a7=12,a4+a6=4,则S20=_2、数列an中，若a1,a2,a3成等差数列,a2,a3,a4成等比数列,a3,a4,a5的倒数又成等差数列，则a1,a3,a5成_数列3、已知an为等差数列,a1=1,S10=100,an=_.令an=log2bn,则的前五项之和S5=_4、已知数列则其前n项和Sn=_.5、数列前n项和为Sn=n2+3n,则其通项an等于_.6、等差数列an中, 前4项和为26, 后4项之和为110, 且n项和为187, 则n的值为_.7、已知等差数列an的公差d0, 且a1,a3,a9成等比数列, 的值是_.8、等差数列an中, S6=28, S10=36(Sn为前n项和), 则S15等于_.9、等比数列an中, 公比为2, 前99项之和为56, 则a3+a6+a9+a99等于_.10、等差数列an中, a1=1,a10=100,若存在数列bn, 且an=log2bn,则b1+b2+b3+b4+b5等于_.11、已知数列1, , 前n项的和为_.12、已知an是等差数列,且有a2+a3+a10+a11=48, 则a6+a7=_.13、等比数列an中, a1+a2+a3+a4=80, a5+a6a7+a8=6480, 则a1必为_.14、三个数、1、成等差数列，而三个数a2、1、c2成等比数列， 则等于_.15、已知, lgy成等比数列, 且x1,y1, 则x、y的最小值为_.16、在数列an中, , 已知an既是等差数列, 又是等比数列,则an的前20项的和为_. 17、若数列an, (nN), 则通项an=_.18、已知数列an中, (n1), 则这个数列的通项公式an=_.19、正数a、b、c成等比数列, x为a、b的等差中项, y为b、c的等差中项, 则的值为_.20、等比数列an中, 已知a1a2a3=1,a2+a3+a4=, 则a1为_.三、解答题 1、在等差数列an中,a1=250,公差d=2,求同时满足下列条件的所有an的和,(1)70n200;(2)n能被7整除.翰林汇2、设等差数列an的前n项和为Sn.已知a3=12, S120,S130.()求公差d的取值范围；()指出S1,S2,S12,中哪一个值最大,并说明理由.翰林汇3、数列是首项为23，公差为整数的等差数列，且前6项为正，从第7项开始变为负的，回答下列各问：(1)求此等差数列的公差d;(2)设前n项和为,求的最大值;(3)当是正数时,求n的最大值.翰林汇4、设数列的前n项和.已知首项a1=3,且+=2,试求此数列的通项公式及前n项和.5、已知数列的前n项和n(n1)(n2),试求数列的前n项和.6、已知数列是等差数列,其中每一项及公差d均不为零,设=0(i=1,2,3,)是关于x的一组方程.回答：(1)求所有这些方程的公共