周期性与奇偶性.doc

函数函数的奇偶性与周期性一、函数的奇偶性知识点归纳 1函数的奇偶性的定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x, 都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫偶函数.如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数.2奇偶函数的性质：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称；3为偶函数；若奇函数的定义域包含，则“f(x)为奇函数”是f(0)=0的非充分非必要条件；4判断函数的奇偶性的方法：(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点的对称区间，则立即判断该函数既不是奇函数也不是偶函数； 若函数的定义域是关于原点的对称区间，再判断f(-x)= -f(x)或f(-x)=f(x)是否成立判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：，(2)图像法：奇（偶）函数的充要条件是它的图像关于原点（或y轴）对称.5设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇应用举例1、常见函数的奇偶性：奇函数：（为常数），为常数）偶函数：（为常数），时既为奇函数又为偶函数（，（，（为常数），非奇非偶函数：，既奇又偶函数：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。2、对奇偶性定义的理解例1 下面四个结论：偶函数的图象一定与y轴相交；奇函数的图象一定通过原点；偶函数的图象关于y轴对称；既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(xR)，其中正确命题的个数是( )A1 B2 C3 D4练习：1、（2007全国），是定义在R上的函数，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的BA.充要条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件2、（2007江苏）设f（x）=lg（）是奇函数，则使f（x）0的x的取值范围是AA.（-1，0）B.（0，1）C.（-，0）D.（-，0）（1，+）3、已知函数解析式，判断或证明函数的奇偶性例2判断下列函数的奇偶性(1) f(x)=x3+x (2) f(x)=3x4+6x2 +a (3) f(x)=3x+1 (4) f(x)=x2 ，x- 4 , 4)，（5）例3判断下列各函数的奇偶性：（1）；（2）； 练习：1、判断函数 f ( x ) = 的奇偶性4、抽象函数奇偶性的判定与证明例4（2007北京西城）已知函数对一切，都有，（1）求证：是奇函数；（2）若，用表示例5(2006年辽宁)设是上的任意函数，下列叙述正确的是（C）是奇函数 是奇函数是偶函数 是偶函数5、利用函数奇偶性求函数解析式或求值例6、已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)=x|x-2|，求x0时，f(x)的表达式.练习：已知是上的奇函数，且当时，则的解析式为例7（2007黄冈中学月考）已知函数，求+的值例8（2007海南、宁夏）设函数为奇函数，则1练习：已知是偶函数，定义域为，则，b=06、偶函数性质的应用偶函数图象关于y轴对称，运用可将偶函数问题转化至的范围解决。例9、设定义在-2,2上的偶函数在区间0,2 上单调递减，若，求实数的取值范围。练习：已知是偶函数，当时，为增函数，若，且，则 （ ） 二、函数的周期性知识点归纳 定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使恒成立 则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期 一般所说的周期是指函数的最小正周期周期函数的定义域一定是无限集 常见函数周期:y=sinx，最小正周期T2； y=cosx，最小正周期T2； y=tanx，最小正周期T； y=cotx，最小正周期T.周期函数变换后的周期周期函数f(x) 最小正周期为T,则y=Af(x+)+k 的最小正周期为T/|.例10 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(xm)f(x),求证:2m是f(x)的一个周期.练习：1 、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(xm)f(x-m),求证:2m是f(x)的一个周期2、已知函数f(x)对任意实数x,都有 ，求证:2m是f(x)的一个周期.证明：3、设偶函数对任意，都有，且当时，,则的值为(D)A. B. C. D.三、函数奇偶性、单调性、周期性综合运用例11 已知 f ( x ) 是偶函数，而且在 ( , 0 ) 上是增函数，问 f ( x ) 在 ( 0 ，+ ) 上是增函数还是减函数？知识点：偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间上对称性相同例12 函数是奇函数，且当时是增函数，若，求不等式的解集例13、已知是周期为4的偶函数，当时，求，例14、（2005福建）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且,则方程f(x)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是D A2 B3 C4 D5练习：1、（2007重庆）已知定义域为R的函数f(x)在(8,+)上为减函数,且函数y=f(x+8)为偶函数,则DA.f(6)f(7) B.f(6)f(9) C.f(7)f(9) D.f(7)f(10)2、(2006山东)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)-f(x)，则f(6)的值为B(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2 3、（2005重庆）若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的x的取值范围是（D） A B C D（2，2）4、（2005全国）设函数f（x）（xR）为奇函数，f（1）=, f（x+2）=f（x）+f（2）,则f（5）等于（C）A.0 B.1 C. D1、判断奇偶性： 2、已知且，那么3、判断函数的奇偶性。 4、若是偶函数，讨论函数的单调区间？5、已知函数是偶函数，判的奇偶性。6、定义在R上的偶函数在是单调递减，若，则的取值范围是如何？7、设奇函数f(x)的定义域为-5,5.若当x0,5时, f(x)的图象如右图,则不等式的解是 .8、函数f(x)在区间(2，3)上是增函数，则y=f(x5)的递增区间是（ 7，2 ）9、已知定义域为R的函数f(x)在区间(，5)上单调递减，对任意实数t，都有f(5t)f(5t)，那么下列式子一定成立的是f(9)f(1)f(13)10、已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（a3）11、定义在R上的函数y=f(x)在(，2)上是增函数，且y=f(x2)图象的对称轴是x=0，则（ A ）Af(1)f(3)Bf (0)f(3) Cf (1)=f (3) Df(2)f(3)12、已知f(x)是定义在(2，2)上的减函数，且f(m1)f(12m)0，实数m的取值范围.5解：f（x+2）=f（x）+f（2）且f（x）（xR）为奇函数，f（1）= 解析：f（2）=0且f（x）为偶函数，f（2）=0.又f（x）在（，0递减，f（x）在（2，0递减.对于x（2，0）必有f（x）0.由对称性得对于x0，2）必有f（x）0.使得f（x）0时，f(x)=x|x-2|，当x0时，f(x)- f(-x)- (-x)|(-x)-2|=x|x+2|.解：据奇偶函数性质：易判定f（x）f（-x）是偶函数，f（x）-f（-x）是奇函数f（x）|f（-x）|的奇偶取决于f（x）的性质，只有f（x）+f（-x）是偶函数正确。（2）由，及是奇函数，得解：（1）显然的定义域是，它关于原点对称在中，令，得，令，得，即， 是奇函数解：由题 函数的定义域为 1 , 0 ) ( 0 , 1 = f ( x )此时 f ( x ) = 故 f ( x ) 是奇函数解：（1）由，得定义域为，关于原点不对称，为非奇非偶函数（2）由得定义域为， 为偶函数解析:f(x)为奇函数,f(0)=0.解之,得a=1.f(x)=lg. 令f(x)0,则01,x(1,0).解析:f(x)、g(x)均为偶函数,f(x)=f(x),g(x)=g(x).h(x)=f(x)+g(x)=f(x)+g(x)=h(x).h(x)为偶函数.但若h(x)=h(x),即f(x)+g(x)=f(x)+g(x), 不一定f(x)=f(x),g(x)=g(x), 例f(x)=x2+x,g(x)=x.分析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此正确，错误;奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此不正确;若y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但不一定xR，故错误，选A一、 函数的轴对称：定理1：如果函数满足，则函数的图象关于直线对称.推论1：如果函数满足，则函数的图象关于直线对称.推论2：如果函数满足，则函数的图象关于直线（y轴）对称.特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.二、 函数的点对称：定理2：如果函数满足，则函数的图象关于点对称.推论3：如果函数满足，则函数的图象关于点对称.推论4：如果函数满足，则函数的图象关于原点对称.特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.三、函数周期性的性质：定理3：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期. 定理4：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期. 定理5：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.以上几类情形具有一定的迷惑性,但读者若能区分是考查单一函数还是两个函数,同时分析条件特征必能拨开迷雾,马到成功.下面以例题来分析.例1已知定义为R的函数满足，且函数在区间上单调递增.如果，且，则的值（ ）.A恒小于0 B恒大于0 C可能为0 D可正可负.20分析：形似周期函数，但事实上不是，不过我们可以取特殊值代入，通过适当描点作出它的图象来了解其性质.或者，先用代替，使变形为.它的特征就是推论3.因此图象关于点对称.在区间上单调递增，在区间上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位.（如图），且函数在上单调递增，所以，又由，有，.选A.当然，如果已经作出大致图象后，用特殊值代人也可猜想出答案为A.练1：（07天津7）在R上定义的函数是偶函数，且.若在区间上是减函数，则( )A.在区间上是增函数，在区间上是减函数B.在区间上是增函数，在区间上是减函数C.在区间上是减函数，在区间上是增函数D.在区间上是减函数，在区间上是增函数分析：由可知图象关于对称，即推论1的应用.又因为为偶函数图象关于对称，可得到为周期函数且最小正周期为2，结合在区间上是减函数，可得如右草图.故选B练2.（07安徽）定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为（ ） A.0 B.1C.3D.5 分析：， ，则可能为5，选D.例2已知函数的图象关于直线和都对称，且当时，.求的值.分析：由推论1可知，的图象关于直线对称，即，同样，满足，现由上述的定理3知是以4为周期的函数.，同时还知是偶函数，所以.在竞赛题中，我们也常遇到关于函数周期性和对称性的题.例3，则，中最多有（ ）个不同的值.A.165B.177C.183D.199 分析：由已知.又有，于是有周期352，于是能在中找到.又的图像关于直线对称，故这些值可以在中找到.又的图像关于直线对称，故这些值可以在中找到.共有177个.选B. 练3：已知，则（ ）.A. B. C. D.3 分析：由，知，.为迭代周期函数，故，.选A.练4：函数在R上有定义，且满足是偶函数，且，是奇函数，则的值为 .解：，令，则，即有，令，则，其中，. 或有，得.一、选择题：1在区间(0，)上不是增函数的函数是（ ）Ay=2x1By=3x21Cy=Dy=2x2x12函数f(x)=4x2mx5在区间2，上是增函数，在区间(，2)上是减函数，则f(1)等于（ ）A7B1C17D253函数f(x)在区间(2，3)上是增函数，则y=f(x5)的递增区间是（ ）A(3，8)B(7，2)C(2，3)D(0，5)4函数f(x)=在区间(2，)上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）A(0，)B( ，)C(2，)D(，1)(1，)5已知函数f(x)在区间a，b上单调，且f(a)f(b)0，则方程f(x)=0在区间a，b内（ ）A至少有一实根 B至多有一实根 C没有实根 D必有唯一的实根6已知函数f(x)=82xx2，如果g(x)=f( 2x2 )，那么函数g(x)（ ） A在区间(1，0)上是减函数 B在区间(0，1)上是减函数 C在区间(2，0)上是增函数 D在区间(0，2)上是增函数7已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式 |f(x1)|1的解集的补集是（ ） A(1，2) B(1，4) C(，1)4，） D(，1)2，）8已知定义域为R的函数f(x)在区间(，5)上单调递减，对任意实数t，都有f(5t)f(5t)，那么下列式子一定成立的是（ ）Af(1)f(9)f(13)Bf(13)f(9)f(1)Cf(9)f(1)f(13)Df(13)f(1)f(9)9函数的递增区间依次是（ ）ABCD10已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）Aa3 Ba3Ca5 Da311已知f(x)在区间(，)上是增函数，a、bR且ab0，则下列不等式中正确的是（ ）Af(a)f(b)f(a)f(b)Bf(a)f(b)f(a)f(b)Cf(a)f(b)f(a)f(b)Df(a)f(b)f(a)f(b)12定义在R上的函数y=f(x)在(，2)上是增函数，且y=f(x2)图象的对称轴是x=0，则（ ）Af(1)f(3)Bf (0)f(3) Cf (1)=f (3) Df(2)f(3)二、填空题：13函数y=(x1)-2的减区间是_ _14函数y=x22的值域为_ _15、设是上的减函数，则的单调递减区间为 .16、函数f(x) = ax24(a1)x3在2，上递减，则a的取值范围是_ 三、解答题：17f(x)是定义在( 0，)上的增函数，且f() = f(x)f(y) （1）求f(1)的值 （2）若f(6)= 1，解不等式 f( x3 )f() 2 18函数f(x)=x31在R上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R上是增函数还是减函数？试证明你的结论19试讨论函数f(x)=在区间1，1上的单调性20设函数f(x)=ax，(a0)，试确定：当a取什么值时，函数f(x)在0，)上为单调函数21已知f(x)是定义在(2，2)上的减函数，并且f(m1)f(12m)0，求实数m的取值范围22已知函数f(x)=，x1，（1）当a=时，求函数f(x)的最小值；（2）若对任意x1，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围参考答案一、选择题： CDBBD ADCCA BA二、填空题：13. (1，)， 14. (，3)，15.， 三、解答题：17.解析：在等式中，则f(1)=0在等式中令x=36，y=6则 故原不等式为：即fx(x3)f(36)，又f(x)在(0，)上为增函数，故不等式等价于：18.解析： f(x)在R上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x1、x2(，)， x1x2 ，则f(x1)=x131， f(x2)=x231f(x1)f(x2)=x23x13=(x2x1)(x12x1x2x22)=(x2x1)(x1)2x22x1x2，x2x10而(x1)2x220，f(