抽 象 函 数 的 解 题 方 法

解 抽 象 函 数 的 常 用 方 法 抽象函数是指没有给出具体解析式的函数。此类函数试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和转化能力，以及对一般和特殊关系的认识，因此备受命题者的青睐，成为高考热点。然而，由于抽象函数本身的抽象性、隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策。我在多年的教学中,积累了一些解题方法,供大家参考.一、 利用线性函数模型在中学数学教材中，大部分抽象函数是以具体函数为背景构造出来的，解题时最根本点是将抽象函数具体化，这种方法虽不能代替具体证明，但却能找到这些抽象函数的解题途径，特别是填空题、选择题，直接用满足条件的特殊函数求解，得出答案即可。常见的抽象函数模型有：抽 象 函 数原 函 数正比例函数指数函数对数函数幂函数余弦函数正切函数 例1、函数f（x）对任意实数x，y，均有f（xy）f（x）f（y），且f（1）2， f（x）在区间，上的值域为 。解析：由题设可知，函数f（x）是正比例的抽象函数，由f（1）2可求得k=2， f（x）的值域为，。例2、已知函数f（x）对任意，满足条件，且当x0时，f（x）2，f（3）5，求不等式的解。 分析：由题设条件可猜测：f（x）是yx2的抽象函数，且f（x）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。 解：设，当x0时，f（x）2，则， 即，f（x）为单调增函数。 ， 又f（3）5，f（1）3。，解得不等式的解为1 a 3。例3、定义在上的函数，对任意的满足时都有，且有成立。求：（1）f（0）； （2）对任意值x，判断f（x）值的正负。分析：由题设可猜测f（x）是指数函数的抽象函数，从而猜想f（0）1且f（x）0。解：（1）令y0代入，则，。若f（x）0，则对任意，有，这与题设矛盾，f（x）0，f（0）1。（2）令yx0，则，又由（1）知f（x）0，f（2x）0，即f（x）0，故对任意x，f（x）0恒成立。例、已知函数f（x）的定义域为（0，+），当时且（1）求；（）证明f（x）在定义域上是增函数。分析：由题设可猜测f（x）是对数函数的抽象函数，第（1）问采用赋值法易求出结果；第（2）应用函数的单调性定义来证明，其中注意的应用。解：（1）令得，故.（2）令得，故，任取，且，则，由于1，故0，从而在（0，+）上是增函数。上面列举了几种特殊类型的抽象函数，解法上是借助特殊函数模型铺路，虽然不可用特殊模型代替求解，但可借助特殊模型理解题意，类比探索出解题思路。二、利用函数的相关性质 1函数的单调性：在函数与不等式相结合的题目中，若把所给式子适当变换，转化为利用函数的单调性，巧妙地脱去抽象符号“ f ”，从而化为一般不等式求解。例5、已知奇函数在其定义域(1,1)上是减函数,且0，则实数a 的取值范围是 分析：要得到关于a 的不等式，由在其定义域(1,1)上是减函数易去掉抽象符号“ f ”。 解：是奇函数0 又在其定义域(1,1)上是减函数且且解得0a12函数的周期性：利用函数的周期性对函数进行自变量的平移变换，使新的自变量在同一个单调区间或与条件的取值相同，然后求解。例6、已知函数满足，求的值 解析：由可得函数的周期为3，则=，=， 又 =，故结果为2。3运用函数的图象：根据题目条件作出函数略图，用图象的单调性、对称性与特殊点的函数值等寻求解题方法。例7、已知函数是偶函数，且在上是增函数，又，则的解集是 。解析：由函数是偶函数得其图象对称轴为，所以函数的图象对称轴为，又且在上是增函数，可作出函数的简图 且或且 或三、 其他方法1、赋值法：在定义域内成立的式子对于定义域内的特殊值总成立。因此通过观察和分析，将一般量赋予特殊值，从而转化为要解决的问题。 例8、已知的定义或为R，且对任意实数有= 总成立。求证为偶函数（0）。分析：取特殊值使等式产生与，以便解决问题。 解：令，则， 0， =1，令，则， 即 故是偶函数。2、 换元法：引入一个或几个新的变量来替换原来的某些量，便可实现未知向已知的转换。 例9、已知函数满足条件，则= 解析：由于难以判断是何种类型的函数，故不可能先设出的表达式，但把条件中的换成，即，把它与原条件式联立消去得 。3、整体变换：从函数的局部不能找到解题方法，但将函数式作适当变形后把部分视为一个整体来考虑，就可找到解题方法。例10、设、都是定义在R上的奇函数，在区间上的最大值是5，求在上的最小值。分析：将式子变形为是奇函数。解：令，则是奇函数且在上有最大值是3，在上有最小值， 故在上有最小值。 总之，只要能透彻理解概念，在实际解题过程中不断转换思维角度，综合各种方法，灵活运用技巧，就会寻找到