九年级数学上册专题突破19二次函数和反比例函数与反比例函数相关的面积计算问题北京课改版.docx

与反比例函数相关的面积计算问题1. 反比例函数k的几何意义由反比例函数y（k 0）图象上任意一点引两坐标轴的垂线，两垂线及两坐标轴所围成的矩形的面积为，逆用亦然。2. 待定系数法用待定系数法求函数的解析式，一般步骤如下：设出其解析式。代入图象上的点的坐标（有几个未知系数，必须代几个点的坐标），解出未知系数。表示出函数解析式。3. 和反比例函数图象相关的图形的面积在平面直角坐标系中，根据反比例函数的性质，运用数形结合的思想把点的坐标转化为线段的长度，由所求图形的特点计算面积或者等积转换求解。由面积求点的坐标或反比例函数亦然。例题1 如图，直线l和双曲线交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、0P，设AOC的面积为S1、BOD的面积为S2、POE的面积为S3，则（）A. S1S2S3 B. S1S2S3 C. S1S2S3 D. S1S2S3解析：双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系S|k|，由此关系分析即可。结合题意可得：AB都在双曲线y上，则有S1S2；而AB之间，直线在双曲线上方；设PE交双曲线于点F，则S1S2，而，所以S1S2S3。故选D。答案：D点拨：反比例函数图象上任意一点的横、纵坐标的积都等于k，由此可得反比例函数图象上任意一点到坐标轴的垂线段与坐标轴围成的矩形的面积是|k|，过这一点作坐标轴的垂线，这一点和垂足及原点构成的三角形的面积为|k|。这是反比例函数中k的几何意义，正确理解k的几何意义是解决本题的关键。例题2 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A，与轴交于点C（0，2），且与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，且BDx轴于点D，OD2。（1）求直线AB的函数解析式； （2）设点P是y轴上的点，若PBC的面积等于，直接写出点P的坐标。解析：本题将一次函数与反比例函数结合在一起考查，应灵活运用点的坐标和解析式之间的相互转化。（1）将点B的横坐标代入可求出点B坐标，由点B、C的坐标求出直线解析式；（2）将PC作为PBC的底，由面积可求出PC的长，从而求出点P的坐标。答案：解：（1）BD x轴，OD2 点D的横坐标为2将x2代入得y4B（2，4）设直线AB的函数解析式为（）将点C（0，2）、B（2，4）代入得 直线AB的函数解析式为 （2）设点P的坐标为（0，m），SPBC26，m8或m4，所以点P坐标为P（0，8）或P（0，4）点拨：在解决函数与面积相结合的问题时，利用好点的横纵坐标的绝对值，构成三角形的高列方程解决问题是常用的手段。巧用转化思想解决四边形的面积满分训练 如图，点A是反比例函数y（x0）图象上的任意一点，ABx轴交反比例函数y的图象于点B，以AB为边作ABCD，其中C、D在x轴上，则SABCD为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5解析：有两种思路：1. 用一个字母表示点A，B的坐标，再根据“底高”求平行四边形的面积。2. 把平行四边形转化为矩形，再利用反比例函数的性质求矩形的面积。方法一：设点A的坐标为（a，）。ABx轴，点B的坐标为（，）。ABa。于是SABCD5。方法二：分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为E，F，设AB交y轴于点G。则S四边形AGOE2，S四边形BFOG3，S四边形ABFE235。易知BCFADE。S四边形ABFES平行四边形ABCD5。故选D。答案：D点拨：此类题的解答，要抓住四边形的性质结合反比例函数k的几何意义，把所求的面积问题转化为矩形或者三角形的面积问题来求解。（答题时间：30分钟）1. 如图，点B在反比例函数y（x0）的图象上，横坐标为1，过点B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为A，C，则矩形OABC的面积为（）A. 1B. 2C. 3D. 42. 已知反比例函数，在每一个象限内y随x的增大而增大，点A在这个反比例函数图象上，ABx轴，垂足为点B，ABO的面积为9，那么反比例函数的解析式为（ ）A. B. C. D. 3. 如图，函数yx与函数的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D。则四边形ACBD的面积为（）A. 2 B. 4 C. 6 D. 84. 如图，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC、BC，则ABC的面积为（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 65. 如图，已知A点是反比例函数的图象上一点，ABy轴于B，且ABO的面积为3，则k的值为 。6. 如图，两个反比例函数在第一象限内的图象分别是，设点P在上，PAx轴于点A，交于点B，则POB的面积为。7. 如图，直线x2与反比例函数和的图象分别交于A、B两点，若点P是y轴上任意一点，则PAB的面积是。8. 如图，点A在双曲线上，点B在双曲线（k0）上，ABx轴，分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为D、C，若矩形ABCD的面积是8，则k的值为。9. 如图为反比例函数在第一象限的图象，点A为此图象上的一动点，过点A分别作ABx轴和ACy轴，垂足为B，C，求四边形OBAC周长的最小值。10. 如图，反比例函数（x0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，求k的值。11. 如图，已知反比例函数（0），（0，点A在y轴的正半轴上，过点A作直线BCx轴，且分别与两个反比例函数的图象交于点B和C，连接OCOB。若BOC的面积为，ACAB23，则求和的值。12. 如图，直线AB交双曲线于A、B两点，交x轴于点C，B为线段AC的中点，过点B作BMx轴于M，连接OA。若OM2MC，SOAC12。则求k的值。13. 如图，正比例函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于点，过点作轴的垂线，垂足为，已知的面积为1。（1）求反比例函数的解析式；（2）如果为反比例函数在第一象限图象上的点（点与点不重合），且点的横坐标为1，在轴上求一点，使最小。14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（2，0），与反比例函数在第一象限内的图象交于点B（2，n），连接BO，若。（1）求该反比例函数的解析式和直线AB的解析式；（2）若直线AB与y轴的交点为C，求OCB的面积。1. B 解析：因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S|k|。点B在反比例函数y（x0）的图象上，过点B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为A，C，故矩形OABC的面积S|k|2。故选B。2. A 解析：ABO的面积为9 ，18，k 18，又在每一个象限内y随x的增大而增大，k 18。从而选择A。3. D 解析：首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S|k|，得出SAOCSODB2，再根据反比例函数的对称性可知：OCOD，ACBD，即可求出四边形ACBD的面积。过函数的图象上A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，SAOCSODB|k|2，又OCOD，ACBD，SAOCSODASODBSOBC2，四边形ABCD的面积为：SAOCSODASODBSOBC428。故选D。4. A 解析：设P（0，b），直线APBx轴，A，B两点的纵坐标都为b，而点A在反比例函数y的图象上，当yb，x，即A点坐标为（，b），又点B在反比例函数y的图象上，当yb，x，即B点坐标为（，b），AB（），SABCABOPb3。故选A。5. 6 解析：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S|k|。根据题意可知：SABO|k|3，由于反比例函数的图象位于第一象限，k0，则k6。6. 1 解析：根据反比例函数中k的几何意义，得POA和BOA的面积分别为2和1，所以阴影部分的面积为1。7. 1.5 解析：本题考查反比例函数系数k的几何意义。先分别求出A、B两点的坐标，得到AB的长度，再根据三角形的面积公式即可得出PAB的面积. 把x2分别代入、，得y1、yA（2，1），B（2，），AB1（）1.5。P为y轴上的任意一点，点P到直线BC的距离为2，PAB的面积AB2AB1.5。故答案是：1.58. 12 解析：过A点作AEy轴，垂足为E，点A在双曲线上，四边形AEOD的面积为4，点B在双曲线上，且ABx轴，四边形BEOC的面积为k，矩形ABCD的面积为k48，解得k12，故答案为12。 9. 4 解析：由，得，因为，所以，所以，所以，则四边形OBAC的周长为，即周长的最小值为4。10. 解析：本题可从反比例函数图象上的点E、M、D入手，分别找出OCE、OAD、矩形OABC的面积与|k|的关系，列出等式求出k值。解：由题意得：E、M、D位于反比例函数的图象上，则SOCE，SOAD，过点M作MGy轴于点G，作MNx轴于点N，则S平行四边形ONMG|k|，又M为矩形ABCO对角线的交点，S矩形ABCO4S平行四边形ONMG4|k|，由于函数图象在第一象限，k0，则94k，解得：k3。11. 2，3 解析：BCx轴，点B、C分别在，上，AC：BC2：32：312. 解：过点A作ANx轴于点N，则ANO的面积为k，BMx轴，ANBM，B为线段AC的中点，BM为ANC的中位线，NMMC，OM2MC，ONNMMC。SOAC3SOAD12，k8。13. 解：（1）设点的坐标为（，），则。，.。反比例函数的解析式为。（2）由 得 为（，）。设点关于轴的对称点为，则点的坐标为（，）。令直线的解析式为。点B的坐标为（，），的解析式为.当时，。点的坐标为（，）此时最小。14. 解析：（1）先由A（2，0），得OA2，点B（2，n），SAOB4，得OAn4，n4，则点B的坐标是（2，4），把点B（2，4）代入反比例函数的解析式y，可得反比例函数的解析式为：y；再把A（2，0）、B（2，4）代入直线AB的解析式为ykxb，可得直线AB的解析式为yx2。