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第1单元 微分方程及其解的定义(1)一. 教学目标 (学习本单元知识所应达到的目的和要求)1. 正确理解微分方程、常微分方程、微分方程的阶、线性微分方程与非线性微分方程、微分方程的解、微分方程的通解等基本概念. 2. 会验证所给函数是否是某方程的解,会求解简单的常微分方程.二. 知识点 (本单元所要学习的主要内容)微分方程、常微分方程、微分方程的阶、线性微分方程与非线性微分方程、微分方程的解、微分方程的通解三. 教学重点、难点(本单元的重、难点)对基本概念的理解和掌握是本单元的重点,也是难点.四. 教学过程一何谓微分方程这是首先要解决的一个问题，为此我们先从代数方程说起.在代数中我们研究过求解高次代数方程.代数方程含有一个变元的关系式，即由已知数与未知数组成的等式，运算有：乘方，它的解是数.由代数基本定理知道，它的解只有有限个.在数学分析中也研究过由隐式确定的隐函数的问题.函数方程至少含有两个变元的关系式，即由自变量和函数组成的等式.运算有函数运算，.它的解是函数.由隐函数存在唯一性定理知，解为有限个.定义1 所谓微分方程，就是一个或几个包含自变量、未知函数以及未知函数的某些微商的方程式. 或者说,含有未知函数的导数或微分,同时也可能包含有自变量与未知函数的已知关系式,叫微分方程.例如， ， ， ， ， ， ， ， 以上这些都是微分方程.只含一个自变量的微分方程称为常微分方程，自变量多于一个的微分方程称为偏微分方程.例如，上例都是常微分方程，是偏微分方程.方程中所含未知函数的最高阶导数的阶数，叫做方程的阶.例如，是一阶方程，和是二阶方程.一般阶常微分方程具有形式 或者是显式 由代数方程引出微分方程，问题是出现了什么新东西？二微分方程的有关概念1微分方程的线性与非线性1）线性微分方程如果式的左端关于未知函数和它的各阶导数都是一次的有理整式，则称为阶线性常微分方程.2）非线性微分方程不是线性微分方程的，称为非线性微分方程.阶线性常微分方程的一般形式是， 其中都是已知的实值连续函数.在上例中，是线性的，是非线性的.2微分方程的解微分方程的解是一个函数，函数就有定义域，设为区间.定义2 设函数在区间上连续，且有直到阶导数,若用分别代替方程中的后，使在内为关于的恒等式，即，则称函数为方程在区间上的一个解.以后我们讨论的函数都是实的单值函数，解的直到阶的导数不仅存在而且连续.为了方便，当函数在区间内具有直到阶连续微商时，常简记为，或者.表示在区间内连续.例1 求微分方程的解，其中.解 在数学分析中就是求函数的原函数，故只需要在上式两端关于自变量积分，便得到 这里是任意常数，显然不论取任何值，上式都是方程的解.从这里可以看出：一个常微分方程可以有无穷多个解.给一个确定的值，就得到方程的一个解.3通解和特解因为方程的任一确定的解，必有的形式（但其中的取特定的值）,故称为此方程的通解，当取确定数值时所得到的解称为此方程的一个特解.一般地，我们有：定义3 设阶微分方程的解包含个独立的常数，则称它为阶微分方程的通解；若的解不包含任意常数，则称它为特解.从通解的定义可以看出，通解包含了方程的无穷多个解，它是解的一般表达式，但有例子可以说明，通解不一定是方程的全部解.这里称个任意常数是独立的，其含意是关于的雅可比(Tacobi)行列式.显然，当任意常数一旦确定以后，通解就变成了特解.如例1中，当时，.这里取，则有特解.我们把称为附加条件.可见确定一个特定的解一般是要附加条件的.五.练习题1指出下列微分方程的阶数，并说明哪些方程是线性的：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.答案：（1）二阶线性方程； （2）一阶非线性方程； （3）一阶非线性方程； （4）二阶非线性方程； （5）三阶线性方程；2验证下列函数是右侧相应微分方程的解或通解：（1），；解 由对求导得，故，所以是方程的解.3求下列初值问题的解：（1），（这里是一个已知的连续函数）；解 方程两边从到积分，得 .由初始条件，可得，故初值问题的解为.（2），（这里是一个常数）.解 显然是方程的解，但不满足初始条件，故当时，将方程改写为 ，方程两边从到积分得， 即 .由初值条件推得.故初值问题的解为.六.