基于Matlab的包装容器结构尺寸优化设计.doc

目 录摘要1Abstract2第一章 绪论31.1课题的目的和现实意义31.2课题的研究现状41.3课题的指导思想及研究内容51.3.1课题的指导思想51.3.2课题的研究内容5第二章 基于Matlab的优化设计介绍62.1 Matlab软件介绍62.2 优化设计的含义与类型82.3基于Matlab的包装容器结构优化设计步骤与求解112.3.1一般步骤112.3.2最优化求解方法12第三章 基于Matlab的包装容器结构尺寸的优化设计143.1纸箱的选用及设计目标的建立143.2建立数学模型153.3程序框图及语言程序的编写163.3.1程序框图163.3.2程序编写173.3.3程序结果223.4结构尺寸优化24结 论25谢 辞26参考文献27摘要包装容器是包装设计中必不可少的一部分，它的结构及尺寸直接影响产品在物流中的运输及仓储费用，选择最佳的尺寸比例，不但可以降低包装成本和运输费用，而且可以美化包装件的外观，达到销售的目的。本文结合纸盒包装容器结构尺寸设计的特点，在保护产品使用价值的同时，进行结构尺寸的优化。首先分析计算机辅助优化设计的方法与步骤，选用Matlab优化设计工具解决有约束的非线性规划问题。针对0201型纸箱，建立最优化问题的数学模型，用计算机Matlab6.5软件求出最优化设计方案，分析结果的合理性，实现包装容器美观，材料用量小的设计目标，为今后在包装容器结构尺寸优化设计方面的工作提供了科学依据。关键词： Matlab； 包装容器； 优化设计AbstractPackaging containers are an essential part of packaging design, its structure and size have directly influence for products in the logistics and storage costs. Choosing the optimal size ratio, can not only reduces packaging costs and transportation costs, but also beautify the external appearance of packing, achieve the purpose of sale. Considering characteristics of structural design of box packaging containers, while product value is protected, optimization of structure is carried on. Firstly, after the methods and steps of CAD （computer aided design）are analyzed，Matlab optimization design tools is selected to solve a constrained nonlinear programming problem. 0201 carton is given as an example to establish the mathematical model of optimization problem. Then Matlab6.5 software is used to find out an optimization scheme, and the reasonableness of results is verified , which realizes design purposes，such as container appearance beauty, small material dosage. Finally, the purpose is to provide reference for optimum design in the aspects of packaging container structural optimization.Keyword: Matlab; Packaging containers; Optimization design第1章 绪论1.1课题的目的和现实意义目前纸包装容器使用范围十分广泛。各类纸包装容器的使用遍及人类生活及生产的方方面面，从人们衣、食、住、行所需产品到工业生产、农业和畜牧业所有产品的运输、保存、销售都在使用纸制的包装容器。从包装的物品形态来看，涉及到从固体到液体的任何物品（料）。从纸包装容器的制造方面看，很多新设备、新工艺、新技术已用于纸包装容器的生产制造。如一次性成型成盒设备及技术，全自动的无钉粘箱成型设备与工艺、现代化的高速生产设备已彻底取代传统的手工或传统落后的工艺及装置。如最近应用较快较好的纸包装容器加工设备及工艺有：（a）联机加工、滚筒对滚筒印刷的印刷模切工艺；（b）与纸板设备配套的使用卷筒纸板制作纸容器的加工机械及工艺；（c）牛奶纸盒加工、螺旋纸筒加工、供卷料纸板的纸杯加工（供坯料的纸杯、纸筒加工）、折叠纸盒（杯）加工、用粘合剂粘盒的折叠胶粘设备、纸容器的火焰封口设备、固定纸盒加工、侧缝纸筒加工等设备及工艺。从纸容器的设计方面看，已不同程度地采用了先进的设备与手段。如从纸包装容器的造型、规格尺寸、强度多方面已采用了计算机。从而大大提高了设计的效率和可靠性。同时也加快了纸包装容器的品种的更新速度，已能设计出各式各样的纸包装容器以满足市场需求。商品在由生产厂家到消费者手中的整个物流过程中，要经过包装、运输、储存、销售等各个环节。为了使产品在整个物流过程中安全到达用户手中，就首先要对产品进行包装设计。但满足包装设计要求的商品在运输及存储过程中费用可能会很高，销售起来可能也不方便。因此，一个好的包装设计要求，在保证产品不损坏的前提下，包装成本、运输成本、储存成本等的物流过程总成本最小。包装容器是包装设计中必不可少的一部分，它的结构及尺寸将直接影响产品在物流中的运输及仓储费用。它包括纸盆、瓦箱纸箱、木箱、塑料容器 金属容器、袋子等，其中纸制容器在包装材料中占主导地位。瓦楞纸箱作为包装容器，有自重小、材料省、成本低，便于机械化生产及印刷，有利于开启取货以及用后处理简便等优点，应用越来越广泛。因此本文就以瓦楞纸箱为研究对象，来说明如何进行瓦楞纸箱的尺寸、形状、强度及结构设计，使得它的用料成本、运输成本、仓储成本等物流中的总成本最小。1.2课题的研究现状国内外，各种软件用于容器的设计多种多样，如基于Pro/Enginee的包装容器三维参数化行为设计的方法，研究了行为建模技术在包装容器优化设计中的应用，基于VERICUT包装容器模具数控加工仿真及优化设计，基于ANSYS的压力容器壁厚优化设计，基于MATLAB的矩形截面压力容器优化设计，基于随机约束的高压容器可靠性优化分析及MATLAB实现，基于SolidWorks Simulation对高压容器外形结构尺寸的优化分析，基于SolidWorks的包装容器的结构设计等等。包装CAD（C语言和Basic语言设计出的程序软件包），ANSYS软件，Pro/Engineer软件，SolidWorks软件，Matlab软件等都应用于包装结构设计的优化处理软件。其中以Matlab软件是最常用的优化设计软件，基于MATLAB于包装结构优化设计的应用也开始起步，并有很好的发展趋势和前景。（1）MATLAB系统是一个多学科交叉的计算机软件平台，通过对MATLAB的学习可激发不同专业学生知识的交流，促使交叉学科的形成。（2）规范科技资料文档，让科技资源共享。（3）提高理工类学生的学习效率，使学生逐步掌握将学到的理论知识用到解决实际问题中去的工作方法。（4）使计算机真正成为学习知识、处理实际科技问题、交换科技资料的有力工具。要求学生掌握MATLAB的基础知识，学会利用MATLAB强大的软件包去处理和解决问题的能力，初步掌握仿真技术的基本原理与方法。进入二十一世纪后，MATLAB对教材的影响又以崭新的形式出现：新教材正在更彻底地摒弃那些手工计算、计算尺计算、手摇或电动计算机、电子模拟计算机时代建立的“老的但久被当作经典的”表述、分析和计算方法；而逐步地建立以现代计算工具（包括软硬件）为平台的新的表述、分析和计算方法，其中包括采用交互式图形用户界面去完成各种表述、分析和计算目的。包装容器进行结构设计时，总是希望在保护产品使用价值的前提下将其结构尺寸进行优化，选择最佳的尺寸比例，不但可以降低包装成本和运输费用，而且可以美化包装件的外观，达到促进销售的作业。本文结合包装容器结构设计的主要特点，研究计算机辅助优化设计的方法与步骤，并选用MATLAB优化工具箱实现设计目标。 1.3课题的指导思想及研究内容1.3.1课题的指导思想包装容器进行结构设计时，总是希望在保护产品使用价值的前提下将其结构尺寸进行优化，选择最佳的尺寸比例，不但可以降低包装成本和运输费用，而且可以美化包装件的外观，达到促进销售的作业。本文结合包装容器结构设计的主要特点，研究计算机辅助优化设计的方法与步骤，并选用MATLAB优化工具箱实现设计目标。1.3.2课题的研究内容以0201箱型为例，结合包装容器结构尺寸优化设计的特点，建立设计目标，根据所提出的问题，建立最优化问题的数学模型，确定设计变量，列出约束条件和目标函数；对所建立的优化设计数学模型进行具体分析与研究，根据模型中函数的性质，设计的精度要求等选择最优化求解方法；分析计算机辅助优化设计的一般流程和求解方法，根据最优化求解方法的算法，列出程序框图，选择优化函数，编写语言程序；借助MATLAB软件实现设计目标，求出最优化设计方案，并且分析优化设计是否合理，能否用于实际。第二章 基于Matlab的优化设计介绍2.1 Matlab软件介绍在科学研究和工程应用中，往往要进行大量的数学计算，其中包括矩阵运算。这些运算一般来说难以用手工精确和快捷地进行，而要借助计算机编制相应的程序做近似计算。目前流行用Basic、Fortran和c语言编制计算程序, 既需要对有关算法有深刻的了解，还需要熟练地掌握所用语言的语法及编程技巧。对多数科学工作者而言，同时具备这两方面技能有一定困难。通常，编制程序也是繁杂的，不仅消耗人力与物力,而且影响工作进程和效率。为克服上述困难，美国Mathwork公司于1967年推出了“Matrix Laboratory”（缩写为Matlab）软件包，并不断更新和扩充。目前最新的5.x版本（windows环境）是一种功能强、效率高便于进行科学和工程计算的交互式软件包。其中包括：一般数值分析、矩阵运算、数字信号处理、建模和系统控制和优化等应用程序，并集应用程序和图形于一便于使用的集成环境中。在此环境下所解问题的Matlab语言表述形式和其数学表达形式相同，不需要按传统的方法编程。不过，Matlab作为一种新的计算机语言，要想运用自如，充分发挥它的威力，也需先系统地学习它。但由于使用Matlab编程运算与人进行科学计算的思路和表达方式完全一致，所以不象学习其它高级语言-如Basic、Fortran和C等那样难于掌握。实践证明，你可在几十分钟的时间内学会Matlab的基础知识，在短短几个小时的使用中就能初步掌握它.从而使你能够进行高效率和富有创造性的计算。Matlab大大降低了对使用者的数学基础和计算机语言知识的要求，而且编程效率和计算效率极高，还可在计算机上直接输出结果和精美的图形拷贝，所以它的确为一高效的科研助手，自推出后即风行美国，流传世界。综上所述，Matlab语言有如下特点：1编程效率高它是一种面向科学与工程计算的高级语言，允许用数学形式的语言编写程序，且比Basic、Fortran和C等语言更加接近我们书写计算公式的思维方式，用Matlab编写程序犹如在演算纸上排列出公式与求解问题。因此，Matlab语言也可通俗地称为演算纸式科学算法语言由于它编写简单，所以编程效率高，易学易懂。2用户使用方便Matlab语言是一种解释执行的语言（在没被专门的工具编译之前），它灵活、方便，其调试程序手段丰富，调试速度快，需要学习时间少。人们用任何一种语言编写程序和调试程序一般都要经过四个步骤：编辑、编译、连接以及执行和调试。各个步骤之间是顺序关系，编程的过程就是在它们之间作瀑布型的循环。Matlab语言与其它语言相比，较好地解决了上述问题，把编辑、编译、连接和执行融为一体。它能在同一画面上进行灵活操作快速排除输入程序中的书写错误、语法错误以至语意错误，从而加快了用户编写、修改和调试程序的速度，可以说在编程和调试过程中它是一种比VB还要简单的语言。具体地说，Matlab运行时，如直接在命令行输入Mailab语句（命令），包括调用M文件的语句，每输入一条语句，就立即对其进行处理，完成绩译、连接和运行的全过程。又如，将Matlab源程序编辑为M文件，由于Mat1ab磁盘文件也是M文件，所以编辑后的源文件就可直接运行，而不需进行编译和连接。在运行M文件时，如果有错，计算机屏幕上会给出详细的出锗信息，用户经修改后再执行，直到正确为止。所以可以说，Mat1ab语言不仅是一种语言，广义上讲是一种该语言开发系统，即语言调试系统。3扩充能力强高版本的Matlab语言有丰富的库函数，在进行复杂的数学运算时可以直接调用，而且Matlab的库函数同用户文件在形成上一样，所以用户文件也可作为Matlab的库函数来调用。因而，用户可以根据自己的需要方便地建立和扩充新的库函数，以便提高Matlab使用效率和扩充它的功能。另外，为了充分利用Fortran、C等语言的资源，包括用户已编好的Fortran，C语言程序，通过建立Me调文件的形式，混合编程，方便地调用有关的Fortran，C语言的子程序。4语句简单，内涵丰富Mat1ab语言中最基本最重要的成分是函数，其一般形式为a，6，c = fun（d，e，f，），即一个函数由函数名，输入变量d，e，f,和输出变量a，b，c组成，同一函数名F，不同数目的输入变量（包括无输入变量）及不同数目的输出变量，代表着不同的含义（有点像面向对象中的多态性。这不仅使Matlab的库函数功能更丰富，而大大减少了需要的磁盘空间，使得Matlab编写的M文件简单、短小而高效。5高效方便的矩阵和数组运算Matlab语言象Basic、Fortran和C语言一样规定了矩阵的算术运算符、关系运算符、逻辑运算符、条件运算符及赋值运算符，而且这些运算符大部分可以毫无改变地照搬到数组间的运算，有些如算术运算符只要增加“”就可用于数组间的运算，另外，它不需定义数组的维数，并给出矩阵函数、特殊矩阵专门的库函数，使之在求解诸如信号处理、建模、系统识别、控制、优化等领域的问题时，显得大为简捷、高效、方便，这是其它高级语言所不能比拟的。在此基础上，高版本的Matlab已逐步扩展到科学及工程计算的其它领域。因此，不久的将来，它一定能名符其实地成为“万能演算纸式的”科学算法语言。6方便的绘图功能Matlab的绘图是十分方便的，它有一系列绘图函数（命令），例如线性坐标、对数坐标，半对数坐标及极坐标，均只需调用不同的绘图函数（命令），在图上标出图题、XY轴标注，格（栅）绘制也只需调用相应的命令，简单易行。另外，在调用绘图函数时调整自变量可绘出不变颜色的点、线、复线或多重线。这种为科学研究着想的设计是通用的编程语言所不及的。总之，Matlab语言的设计思想可以说代表了当前计算机高级语言的发展方向，现已经在高等院校、科研院所和工程部门的机械设计、结构设计、自动控制、数理统计等许多领域获得了广泛的应用，成为最为普遍的计算工具和桌面工程师系统之一。我们相信，在不断使用中，读者会发现它的巨大潜力。2.2 优化设计的含义与类型所谓最优化问题，就是在满足一定的约束条件下，寻找一组参数值，以使某些最优性度量得到满足，即使系统的某些性能指标达到最大或最小。最优化问题的应用可以说遍布工业，社会，经济，管理等各个领域，其重要性是不言而喻的。最优化问题根据其目标函数，约束函数的性质以及优化变量的取值等可以分成许多类型，每一种类型的最优化问题根据其性质的不同都有其特定的求解方法。 不失一般性，设所考虑的最优化问题为: min =f(X) s.t. XS=X|gi(X)0；j = 1，m （1.1）其中，=f(X)为目标函数，gi(X)为约束函数，S为约束域，X为n维优化变量。通常最大化问题很容易转换为最小化问题(=f(X)，对于gi(X)0的约束和等式约束也可转换为gi(X)0的约束，所以(1.1)式所描述的最优化问题不失一般性。当f(X)，gi(X)为线性函数，且X0时，上述最优化问题即为线性规划问题，其求解方法有成熟的单纯形法和Karmarc方法。当f(X)，gi(X)中至少有一个函数为非线性函数时，上述问题即为非线性规划问题。非线性规划问题相当复杂，其求解方法多种多样，但到目前仍然没有一种有效的适应所有问题的方法。当优化变量 X 仅取整数值时，上述问题即为整数规划问题，特别是当X仅能取0或1时，上述问题即为 0-1 整数规划问题。由于整数规划问题属于组合优化范畴，其计算量随变量维数的增长而指数增长，所以存在着维数灾难问题。当gi(X)0(j = 1，m)所限制的约束空间为整个n维欧氏空间，即Rn时，上述最优化问题为无约束优化问题，即： min =f(X) s.t. XSRn （1.2）非线性规划问题(包括无约束优化问题和约束优化问题)，由于函数的非线性，使得问题的求解变得十分困难，特别是当目标函数在约束域内存在多峰值时。常见的求解非线性问题的优化方法，其求解结果与初值的选择关系很大，也就是说，一般的约束或无约束非线性优化方法均是求目标函数在约束域内的近似极值点，而非真正的最小点。1. 局部优化算法 定义 1.1 如果存在XBB，使得对XB有： f(XB)f(X)， XB (1.3)成立，其中 BSR ，S为由约束函数限定的搜索空间，则称XB为f(X)在B内的局部极小点，f(XB)为局部极小值。常见的优化方法大多为局部优化方法，都是从一个给定的初始点X0S开始，依据一定的方法寻找下一个使得目标函数得到改善的更好解，直至满足某种停止准则。成熟的局部优化方法很多，如 Newton-Raphson 法，共轭梯度法，Fletcher-Reeves法，Polar-Ribiere法，Davidon-Fletcher-Power(DFP)法，Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shann(BFGS)方法等等，还有专门为求解最小二乘问题而发展的Levenberg-Marquardt(LM)算法。所有这些局部优化算法都是针对无约束优化问题而提出的，而且对目标函数均有一定的解析性质要求，如Newton-Raphson法要求目标函数连续可微，同时要求其一阶导数连续。对于约束非线性优化问题，除了根据一阶最优化必要条件直接将最优化问题转换为非线性代数方程组，然后采用非线性代数方程组的数值解法进行求解外，还有序列线性规划法，可行方向法，拉格朗日乘子法等等。最常用的方法是将约束问题通过罚函数法转换为无约束优化问题，然后再采用无约束优化方法进行求解。这些具体方法请读者参阅有关最优化理论与方法方面的文献。2.全局优化算法 定义 1.2 如果存在XS，使得对XS，有: f () f ( X )， X S (1.4)成立，其中SR为由约束条件限定的搜索空间，则称 X为f(X)在S内的全局极小点，f(X)为其全局极小值。前面指出，已发展成熟的最优化方法大多为局部优化方法，其求解结果与初始值相关。对于目标函数为凸函数，约束域为凸域的所谓凸规划问题，局部最优与全局最优等效。而对于非凸问题，由于在约束域内目标函数存在多峰值，因而其全局最优与局部最优相差甚远。目前为止，全局优化问题也已存在了许多算法，如填充函数法等，但比起局部优化问题的众多成熟方法，其间还有很大差距。另外，解析性优化方法对目标函数及约束域均有较强的解析性要求，对于诸如目标函数不连续，约束域不连通，目标函数难以用解析函数表达或者难以精确估计(如仿真优化问题)等问题时，解析确定性优化方法就难以适应。为了可靠解决全局优化问题，人们试图离开解析确定型的优化算法研究，转而探讨对函数解析性质要求较低甚至不作要求的随机型优化方法。最早的随机型优化方法是基于Monte-Carlo方法的思想，针对具体问题性质的特点，构造以概率1收敛于全局最小点的随机搜索算法。真正有效且具有普遍适应性的随机全局优化方法，是近十多年来人们模拟自然界的一些自然现象而发展起来的一系列仿生型智能优化算法，如模拟退火方法，进化类算法，群体智能算法等等。3.无免费午餐定理(No Free Lunch Theorem)在最优化理论研究领域，最值得一提的是WolperMacready于1997年在IEEE Transactions on Evolutionary Computation 上发表了题为 No Free Lunch Theorems for Optimization的论文，提出并严格论证了所谓的无免费午餐定理，简称NFL定理。 NFL定理的简单表述为:对于所有可能的问题，任意给定两个算法A，A，如果A在某些问题上表现比A好(差)，那么A在其它问题上的表现就一定比A差(好)，也就是说，任意两个算法A，A对所有问题的平均表现度量是完全一样的。有关NFL定理的推导与证明请参阅文献Wolpert 1997。自从NFL定理提出以来，有关定理本身及其相关结论的争论在学术界一直持续未断，因为NFL定理本身涉及到了优化算法最基本的问题，而且其结论多少有点出人意料。NFL定理的主要价值在于它对研究与应用优化算法时的观念性启示作用。虽然NFL定理是在许多假设条件下得出的，但它仍然在很大程度上反映出了优化算法的本质。当我们所面对的是一个大的而且形式多样的适应值函数类时，就必须考虑算法间所表现出的NFL效应。即若算法A在某些函数上的表现超过算法A ，则在这类的其它适应值函数上，算法A的表现就比A要好。因此，对于整个函数类，不存在万能的最佳算法，所有算法在整个函数类上的平均表现度量是一样的。有了上述讨论，关于优化算法的研究目标就应该从寻找一个大的函数类上的优化算法转变为: (1)以算法为导向，从算法到问题。对于每一个算法，都有其适用和不适用的问题；给定一个算法，尽可能通过理论分析，给出其适用问题类的特征，使其成为一个指示性的算法。(2)以问题为导向，从问题到算法。对于一个小的特定的函数集，或者一个特定的实际问题，可以设计专门适用的算法。实际上，大多数在进化算法方面的研究工作可以看作是属于这一范畴的，因为它们主要是根据进化的原理设计新的算法，或者将现有算法进行部分改进，以期对若干特定的函数取得好的优化效果。读者可能会产生这样的疑问，既然NFL定理表明，进化算法并不比一般随机搜索算法好，那么为什么还要去研究进化算法呢 实际上，NFL定理只是否定了去寻找一个万能的最佳算法的可能性，但对于某些小的函数集合，NFL定理则认为存在一个在该集合上的好算法。在求解某些或某个特定的复杂优化问题时，可能会出现现有大多数优化方法都不适用，而适用的少数方法效果又不理想的情况。这时，进化算法就大有用武之地。由于所有进化类算法均具有很强的通用性，对目标函数的解析性质几乎没有要求，因此，将进化类算法作为求解优化问题的一个候选算法将是非常有意义的。包装的优化设计绝大多数是有约束的非线性问题，本文主要研究此类优化问题的求解方法与步骤。2.3基于Matlab的包装容器结构优化设计步骤与求解Matlab软件是一种非常优秀的数值计算和图形图像处理工具软件，它的优化工具箱含有一系列的优化算法函数，这些函数拓展了Matlab数字计算环境的处理能力，可以用于解决复杂结构的优化问题。下面将分析应用该软件解决包装容器结构尺寸优化问题的步骤和求解方法。Matlab优化工具箱中包含有一系列优化算法和模块，可以用于求解线性规划和二次规划、函数的最大和最小值、非线性规划、多目标优化、非线性最小二乘法逼近和曲线拟合、非线性系统方程和复杂结构的大规模优化问题。常用的优化功能函数如下：（1） 求解线性规划问题的函数linprog（2） 求解二次规划问题的函数quadprog（3） 求解无约束非线性规划问题的函数fminbnd、fminunc和fminsearch（4） 求解约束非线性规划问题的函数fmincon（5） 求解多目标优化问题的函数fgoalattain和fminimax2.3.1一般步骤在选用Matlab优化工具箱函数解决包装结构的优化设计问题时，一般包括以下3个步骤：1)建立设计目标，根据所提出的设计问题，建立最优化问题的数学模型（其中，不等式约束条件表示成g(x)”后面运行，如果编制的目标函数文件、约束函数文件和命令文件存在错误，Matlab就会给出错误的类型和在M文件中的位置，方便用户对错误进行定位和检查。如果M文件没有错误（错误包括编辑错误和语法错误），命令窗口就会显示出运算信息，获得与所有条件都相容的优化结果。2.3.2最优化求解方法由于包装结构的优化设计绝大多数是有约束的非线性规划问题，下面就研究Matlab优化工具箱解决该类问题的一般方法。Matlab的命令函数 fmincon （ ）可以处理有约束的非线性多元变量的优化问题，约束非线性规划问题的数学模型表示为：该命令的具体格式为：x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hession=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)。其中，输出参数有：x是返回目标函数的最优解；fval是返回目标函数在最优解x点的函数值；exitflag是返回算法的终止标志，exitflag0表示优化结果收敛于解，exitflag0表示优化结果不收敛于解exitflag=0表示优化超过了声明的代入函数值的次数；output是返回优化算法的信息的一个数据结构；lambda是拉格朗日乘子，显示是哪个约束条件有效；grad是返回目标函数在最优解x点的梯度；hession是返回目标函数在最优解x点的hession矩阵值；另外，iterations表示迭代次数，func-Count表示优化代入函数值的次数，algorithm表示优化采用的算法，另外可能还有cgiterations和firstorderopt分别表示CG迭代的次数和一阶最优值。输入参数有：fun是调用目标函数的函数文件名；x0是初始点；线性不等式约束条件的系数矩阵A和常数向量b；线性等式约束条件的系数矩阵Aeq和常数向量beq；设计变量x的下界向量Lb和上界向量Ub；Nlc是定义非线性约束条件的函数名；options是设置优化选项参数。参数A,b,Aeq,beq,lb,ub,options如果没有定义，可用空矩阵符号“”代替。另外，在选用函数fmincon（）解决有约束非线性包装结构优化设计问题时，目标函数和约束函数必须是连续的；优化设计结果有时可能仅仅是局部解，而且当问题无解的时候，函数将尝试缩小限制条件的最大值。第3章 基于Matlab的包装容器结构尺寸的优化设计3.1纸箱的选用及设计目标的建立一个好的包装设计要求，在保证产品不损坏的前提下，包装成本、运输成本、储存成本等的物流过程总成本最小。包装容器是包装设计中必不可少的一部分，它的结构及尺寸将直接影响产品在物流中的运输及仓储费用。瓦楞纸箱作为包装容器，有自重小、材料省、成本低，便于机械化生产及印刷，有利于开启取货以及用后处理简便等优点，应用越来越广泛。因此本文就以瓦楞纸箱为研究对象，来说明如何进行瓦楞纸箱的尺寸、形状、强度及结构设计，使得它的用料成本、运输成本、仓储成本等物流中的总成本最小。选用0201型纸箱见图1，盛装体积为0.1m的旅行物品，其外形尺寸要符合铁道部规定的旅客随身携带行李的规定，即长x1、宽x2、高x3之和必须小于1.6m。试求使该纸箱用料最省的结构参数x1、x2和x3。 图1 0201型纸箱结构图该问题的设计目标是使纸箱用料最省，而纸箱材料的多少是与纸箱箱坯的面积大小直接相关的。若不计粘贴边的面积，则问题可以转化为在约束条件：x1x2x3=0.1；x1+x2+x3=0，x2=0，x3=0之下，求使目标函数f=2（x1+x2）（x2+x3）取得最小值时的设计变量x1、x2和x3。选用函数fmincon（）解决有约束的非线性包装结构优化设计问题时，目标函数和约束函数必须是连续的；优化设计的结果有时可能仅仅是局部解，而且当问题无解的时候，函数将尝试缩小限制条件的最大值。3.2建立数学模型优化设计问题数学模型的一般形式是： min f(x)=f(x1,x2,xN) s.t. (u=1,2,m) (x)=0 （v=1,2,pn）式中，s.t.是英文“subject to”的缩写，意为“受约束于”。优化设计问题数学模型包括n维设计变量x、约束条件（不等式约束条件g（x）=0和等式约束h（x）=0）和目标函数f（x）三项要素。优化设计的数学模型是实际优化问题的数学抽象，在满足所有的约束条件g（x）=0和h（x）=0情况下，求解n维设计变量x，使某项或多项设计目标f（x）（技术经济指标）达到最优。应当指出，对于等式约束条件，施加于该项设计的等式约束条件数p必须小于优化设计问题的维数n。如果p=n，则由n个等式约束方程限制了设计变量只可能有唯一解，没有最优化的余地。最优化问题一般称为“数学规划问题”，如果目标函数f(x)和约束函数g(x)与h(x)都是设计变量x的线性函数，则称它为线性规划问题，如果目标函数f(x)和约束函数g(x)与h(x)中有关于设计变量x的非线性函数，则称它为非线性规划问题。当m=p=0时，则称为无约束规划问题（无约束最优化问题），当时，则称为约束规划问题（约束最优化问题）。根据优化设计问题数学模型的一般形式，前文列出的约束条件和目标函数，建立如下数学模型：min f=2*x（1）+x（2）*x（2）+x（3）；s.t. x1x2x3=0.1； x1+x2+x3=0，x2=0，x3=0；在该约束非线性规划问题的数学模型中，其中，x1x2x3=0.1是非线性等式约束，x1+x2+x3-1.6=0是线性不等式约束，-x1=0，-x2=0，-x3 New M.file”命令，输入： function f=objfun(x) f=2*x(1)+x(2)*x(2)+x(3);如图4所示：图4 目标函数文件编辑界面保存目标函数文件objfun.m。“File Save as 保存”命令。如图5所示：图5 目标函数文件保存界面2） 然后再建立约束条件的m文件confun.m。 “File New M.file”命令，输入： functionc,ceq=confun(x) c=; ceq=x(1)*x(2)*x(3)-0.1; 如图6所示：图6 约束函数文件的编辑界面保存目标函数文件confun.m。“File Save as 保存”命令。 如图7所示：图7 约束函数文件的保存界面 3）输入优化命令： “File New M.file”命令，输入： x0=1,1,1; A=1,1,1; b=1.6; lb=0,0,0; options=optimset(LargeScale,off,Display,iter); % 使用优化参数向量的设置命令optimset（） x,fval,exitflag,output=fmincon(objfun,x0,A,b,lb,confun,options) 如图8所示：图8 优化命令的编辑界面保存目标函数文件youhua.m。“File Save as 保存”命令。 如图9所示：图9 优化命令的保存界面3.3.3程序结果完成上述步骤以后，在youhua.m程序中运行程序，点击图标快捷键Run，如下图10所示：图10 运行程序界面会出现如下结果： max Directional First-order Iter F-count f(x) constraint Step-size derivative optimality Procedure 1 9 3.92 0.5 1 -3.36 5.88 infeasible 2 14 2.28718 0.05287 1 -1.41 4.61 infeasible 3 19 1.00701 0.1 1 -1.02 5.48 4 24 0.368316 0.08945 1 -0.481 2.23 5 32 0.954689 0.08649 0.125 5.79 3 infeasible 6 38 1.03732 0.04512 0.5 0.169 5.84 7 43 1.60726 0.004515 1 0.632 15.1 8 48 1.55515 0.002174 1 -0.0517 9.18 9 53 1.52605 0.001705 1 -0.029 7.28 10 58 1.53531 0.0003621 1 0.00927 7.06 11 63 1.53893 4.534e-006 1 0.00362 7.02 12 68 1.53898 3.026e-009 1 4.65e-00 7.0 Hessian modified 13 73 1.53898 2.184e-012 1 3.04e-008 7.02 Hessian modified Optimization terminated successfully:Search direction less than 2*options.TolX and maximum constraint violation is less than options.TolConActive Constraints: 1x = 0.5848 0.2924 0.5848fval = 1.5390exitflag = 1output = iterations: 13 funcCount: 73 stepsize: 1 algorithm: medium-scale: SQP, Quasi-Newton, line-search firstorderopt: 1.3270e-004 cgiterations: 如下图11所示：图11 命令窗口界面3.4结构尺寸优化同体积的纸箱，纸板用量最小，尺寸比例就越理想。同样，理想的尺寸比例，其所用材料重量也是较轻的。有资料表明，对于瓦楞纸箱用纸板最少的尺寸比例，不同箱型有不同的理想比例尺寸。当纸箱参数x1=0.5848，x2=0.2924，x3=0.5848时，此时尺寸比例满足理想尺寸的比例条件2:1:2，而且材料用量fval为最小值：1.5390，同时，终止迭代的错误条件exitflag=10，表示优化结果收敛于解，优化是成功的。结 论一个好的包装设计要求：在保证产品不损坏的前提下，包装成本、运输成本、储存成本等的物流过程总成本最小，其中包装容器是包装设计中必不可少的一部分，它的结构及尺寸将直接影响产品在物流中的运输及仓储费用。论文中，分析了纸箱包装容器结构尺寸设计的特点。最优化问题一般称为“数学规划问题”，如果目标函数和约束函数都是设计变量的线性函数，则称它为线性规划问题，如果目标函数和约束函数中有关于设计变量的非线性函数，则称它为非线性规划问题。包装的优化设计绝大多数是有约束的非线性规划问题。分析计算机辅助优化设计的一般步骤和求解方法，Matlab优化工具箱的命令函数fmincon（）可以处理此类有约束的非线性多变量的优化问题。论文中，在选用Matlab优化工具箱解决包装结构的优化设计问题时，以0201型纸箱为例，建立最优化问题的数学模型，（1）确定设计变量：x1（长）、x2（宽）和x3（高）。（2）列出约束条件：x1x2x3=0.1；x1+x2+x3=0，x2=0，x3=0。（3）目标函数：f=2（x1+x2）（x2+x3）。然后，利用Matlab6.5软件编写语言程序，运行后进行结果分析：当纸箱参数x1=0.5848，x2=0.2924，x3=0.5848时，尺寸比例满足理想尺寸的比例条件2:1:2，而且材料用量fval为最小值：1.5390，同时，终止迭代的错误条件