“哥德巴赫猜想”及“孪生素数猜想”证明(精简版).doc

“哥德巴赫猜想”及“孪生素数猜想”的证明王若仲1 谭谟玉2 贵州省务川自治县实验学校 王若仲（王洪）贵州省务川自治县农业局 谭谟玉摘要：我闲遐之余，喜好研究数学问题，我在一次偶然探究中，发现了“哥德巴赫猜想”的简捷证明方法，即就是不具体研究单个素数的位置如何，也不研究设定区域内素数的数量如何，而是利用集合的概念，设置一定的条件，在宽泛的前提下探讨整体情形，即假设偶数6，8，10，（2m-2），（2m）（m3）；它们均可表为两个奇素数之和。设奇合数a1，a2，a3，at均为不大于偶数2m的全体奇合数，（aiaj ，ij，i、j=1，2，3，t），tN。则集合1，（2m-1）（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m-at）a1，a2，a3，at有缺项。利用前面已知情形，证明集合（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m-at）（a1+2），（a2+2），（a3+2），（at+2）有缺项；利用该结论以及前面已知情形，证明集合（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m-at）（a1-2），（a2-2），（a3-2），（at-2）也有缺项；假设偶数（2m+2）不能表为两个奇素数之和，设奇合数a1，a2，a3，ar均为不大于偶数（2m+2）的全体奇合数，（aiaj ，ij，i、j=1，2，3，r），rN。则集合1，（2m+2-1）（2m+2-a1），（2m+2-a2），（2m+2-a3），（2m+2-at）a1，a2，a3，ar没有缺项。该集合中的元素均分别减去2后所得集合（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m-at）（a1-2），（a2-2），（a3-2），（at-2）仍然没有缺项。这与前面所得结论产生矛盾，说明偶数（2m+2）能表为两个奇素数之和。由此得出“哥德巴赫猜想”成立。由“哥德巴赫猜想”成立，得出“孪生素数猜想”成立。本次精简证明，得到了谭谟玉同志的大力协助。关键词：哥德巴赫猜想；素数；缺项集合；孪生素数猜想。引言德国数学家哥德巴赫，他在1742年提出：任一不小于6的偶数均可表为两个奇素数之和，这就是著名的哥德巴赫猜想问题，至今没有完全解决。我在遵义师范高等专科学校求学时，就对哥德巴赫猜想问题产生了兴趣，进行过肤浅的探索。特别是我在1993年的一次偶然的数字游戏演算中，发现了一个特别有趣的现象，通过归纳提炼，得出如下问题，即对于任一集合A，A=p1，p2，p3，pk，pi pj（ij），kN，集合A中的元素均为奇素数，若集合6，8，10，2（m-1）中的任一偶数M，M均可表为集合A中的两个奇素数之和，mN，m4。则集合（2m-p1），（2m-p2），（2m-p3），（2m-pn）中至少有一个奇素数。这个问题看似和“哥德巴赫猜想”反映的是同样的内容，实际上是不同的情形，不同的类型问题。原因是集合p1，p2，p3，pk中未必包含了奇素数pk前面的全体奇素数。我们知道，只能被1和本身整除的正整数，称为素数。定义1：对于均满足某一特性或某一表达式的全体整数组成的集合A，关于集合A的子集A1，A2，A3，Ak；任一子集AiA（i=1，2，3，k），则称集合Ai为该条件下的缺项集合。缺具体的某一项，该项则称为缺项。定理1：对于整数集合A=a1，a2，a3，ak，任一aiN（i=1，2，3，k，）；a1，a2，a3，ak，为等差数列，等差为d，a1=r（rd），关于集合A的子集B和C，B=a11，a12 ，a13， ，a1h，C=a21，a22，a23，a2t，a1ha2t，hN， tN。若集合BC在集合A的条件下没有缺项，则集合（a11md），（a12md），（a13md），（a1hmd）（a21md）， （a22md）， （a23md）， ， （a2tmd）在集合A的条件下仍然没有缺项，mN。证明：对于整数集合A=a1，a2，a3，ak，任一aiN（i=1，2，3，k，）；a1，a2，a3，ak，为等差数列，等差为d，a1=r（rd），关于集合A的子集B和C，B=a11，a12 ，a13， ，a1h，C=a21，a22，a23，a2t，a1ha2t，hN， tN。因为集合BC在集合A的条件下没有缺项，不妨设集合BC=b1，b2，b3，bt，则集合b1，b2，b3，bt= r，（d+r），（2d+r），（3d+r），（e-1）d+r，（ed+r），eN。而集合（b1-md），（b2-md），（b3-md），（bt-md）=（r- md），（d+r-md），（2d+r-md），（3d+r-md），（e-1）d+r-md，（ed+r-md），集合（b1+md），（b2+md），（b3+md），（bt+md）=（r+md），（d+r+md），（2d+r+md），（3d+r+md），（e-1）d+r+md，（ed+r+md）。故定理1成立。定理2：对于整数集合A=a1，a2，a3，ak，任一aiN（i=1，2，3，k，）；a1，a2，a3，ak，为等差数列，等差为d，a1=r（rd），关于集合A的子集B和C，B=a11，a12 ，a13， ，a1h，C=a21，a22，a23，a2t，a1ha2t，hN， tN。若集合BC在集合A的条件下有缺项，则集合（a11md），（a12md），（a13md），（a1hmd）（a21md）， （a22md）， （a23md）， ， （a2tmd）在集合A的条件下仍然有缺项。证明：对于整数集合A=a1，a2，a3，ak，任一aiN（i=1，2，3，k，）；a1，a2，a3，ak，为等差数列，等差为d，a1=r（rd），关于集合A的子集B和C，B=a11，a12 ，a13， ，a1h，C=a21，a22，a23，a2t，a1ha2t，hN， tN。因为集合BC在集合A的条件下有缺项，不妨设集合BC=b1，b2，b3，bt，且设集合BC缺ai项，it。则集合b1，b2，b3，bt= r，（d+r），（2d+r），（3d+r），（i-1）d+r，（i+1）d+r，（e-1）d+r，（ed+r），eN。而集合（b1-md），（b2-md），（b3-md），（bt-md）=（r- md），（d+r-md），（2d+r-md），（3d+r-md），（i-1）d+r-md，（i+1）d+r-md，（e-1）d+r-md，（ed+r-md），集合（b1+md），（b2+md），（b3+md），（bt+md）=（r+md），（d+r+md），（2d+r+md），（3d+r+md），（i-1）d+r+md，（i+1）d+r+md，（e-1）d+r+md，（ed+r+md）。故定理2成立。哥德巴赫定理：任一不小于6的偶数均可表为两个奇素数之和。证明：（）、对于偶数6，8，10，12，14，16，18，20，22等等。有：6=3+3，8=3+5，10=3+7=5+5，12=5+7，14=3+11=7+7，16=3+13=5+11，18=5+13=7+11，20=3+17=7+13，22=3+19=5+17=11+11。（）、对于偶数6，8，10，（2m-2），（2m）（m3）。假设它们均可表为两个奇素数之和。现在设奇合数a1，a2，a3，at均为不大于偶数2m的全体奇合数，（aiaj ，ij，i、j=1、2、3、t），tN，其中偶数（2m）为比较大的整数。根据假设的情形，那么有1，（2m-1）（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m-at）a1，a2，a3，at1，3，5，7，9，11，（2m-5），（2m-3），（2m-1），根据定义1，说明集合1，（2m-1）（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m-at）a1，a2，a3，at有缺项，并且集合1，（2m-1）（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m-at）a1，a2，a3，at中至少缺两个奇素数p和q。我们现在对集合1，（2m-1），（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m- at）（a1-2），（a2-2），（a3-2），（at-2）有无缺项进行分析：设奇素数p1，p2，p3，ps均为小于偶数2m的全体奇素数，（pipj ，ij，i、j=1、2、3、s），sN；集合1，（2m-1）（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m-at）a1，a2，a3，at总可以转换为集合（p11-2），（p12-2），（p13-2），（p1h-2），（a11-2），（a12-2），（a13-2），（a1r-2）；其中hN， rN。那么集合p1，p2，p3，ps包含集合p11，p12，p13，p1h。假定集合1，（2m-1）（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m-at）（a1-2），（a2-2），（a3-2），（at-2）没有缺项，根据定理1，则集合1，（2m+2-1）（2m+2-a1），（2m+2-a2），（2m+2-a3），（2m+2-at）a1，a2，a3，at没有缺项。我们设奇合数a1，a2，a3，av均为不大于偶数（2m+2）的全体奇合数，则有下列情形：（）、若at=av，说明奇数（2m+2-1）为奇素数，则集合1，（2m+2-1）（2m+2-a1），（2m+2-a2），（2m+2-a3），（2m+2-at）a1，a2，a3，at没有缺项。而集合1，（2m+2-1）（2m+2-a1），（2m+2-a2），（2m+2-a3），（2m+2-at）a1，a2，a3，at总可以转换为集合（p11+2），（p12+2），（p13+2），（p1u+2），（a11+2），（a12+2），（a13+2），（a1e+2），其中uN，eN。那么集合（p11+2），（p12+2），（p13+2），（p1u+2），（a11+2），（a12+2），（a13+2），（a1e+2）没有缺项；说明集合（p11+2），（p12+2），（p13+2），（p1u+2），（a11+2），（a12+2），（a13+2），（a1e+2）包含集合（a1+2），（a2+2），（a3+2），（at+2），集合（p11+2），（p12+2），（p13+2），（p1u+2），（a11+2），（a12+2），（a13+2），（a1e+2）包含集合（2m+2-a1），（2m+2-a2），（2m+2-a3），（2m+2-at），因为集合（a1+2），（a2+2），（a3+2），（at+2）中缺集合3（p1+2），（p2+2），（p3+2），（ps+2）中的全体奇数，所以集合（2m+2-a1），（2m+2-a2），（2m+2-a3），（2m+2-at）包含集合（p1+2），（p2+2），（p3+2），（ps+2）（除奇素数（2m+2-1+2）以外）。于是可得出集合1，（2m+2-1）（2m+2-a1），（2m+2-a2），（2m+2-a3），（2m+2-at）（a1+2），（a2+2），（a3+2），（at+2）没有缺项。又根据定理1，可得出集合1，（2m-1）（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m-at）a1，a2，a3，at没有缺项。这样就与前面对于偶数6，8，10，（2m-2），（2m）（m3）；假设它们均可表为两个奇素数之和的情形产生矛盾，故假定集合（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m-at）（a1-2），（a2-2），（a3-2），（at-2）没有缺项不能成立。（）、若奇数（2m+2-1）为奇合数，则集合1，（2m+2-1）（2m+2-a1），（2m+2-a2），（2m+2-a3），（2m+2-av）a1，a2，a3，av没有缺项。而集合1，（2m+2-1）（2m+2-a1），（2m+2-a2），（2m+2-a3），（2m+2-av）a1，a2，a3，av总可以转换为集合（p11+2），（p12+2），（p13+2），（p1u+2），（a11+2），（a12+2），（a13+2），（a1e+2），其中uN，eN。那么集合（p11+2），（p12+2），（p13+2），（p1u+2），（a11+2），（a12+2），（a13+2），（a1e+2）没有缺项；说明集合（p11+2），（p12+2），（p13+2），（p1u+2），（a11+2），（a12+2），（a13+2），（a1e+2）包含集合（a1+2），（a2+2），（a3+2），（at+2）（除奇合数（2m+2-1+2）以外），集合（p11+2），（p12+2），（p13+2），（p1u+2），（a11+2），（a12+2），（a13+2），（a1e+2）包含集合（2m+2-a1），（2m+2-a2），（2m+2-a3），（2m+2-at）。因为集合（a1+2），（a2+2），（a3+2），（at+2）中缺集合3（p1+2），（p2+2），（p3+2），（ps+2）中的全体奇数，所以集合（2m+2-a1），（2m+2-a2），（2m+2-a3），（2m+2-av）包含集合（p1+2），（p2+2），（p3+2），（ps+2）。于是可得出集合（2m+2-a1），（2m+2-a2），（2m+2-a3），（2m+2-av）（a1+2），（a2+2），（a3+2），（av+2）没有缺项。又根据定理1，可得出集合（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m-ar）a1，a2，a3，ar没有缺项，即集合1，（2m-1）（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m-at）a1，a2，a3，at 没有缺项。这样就与前面对于偶数6，8，10，（2m-2），（2m）（m3）；假设它们均可表为两个奇素数之和的情形产生矛盾，故假定集合（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m-at）（a1-2），（a2-2），（a3-2），（at-2）没有缺项不能成立。（）、对于偶数（2m+2），设奇合数a1，a2，a3，az均为不大于偶数（2m+2）（m2）的全体奇合数，（aiaj ，ij，i、j=1、2、3、z）。假设对于偶数（2m+2），不存在有两个奇素数pi和pj，使得pi+pj=（2m+2）。则说明集合（2m+2-a1），（2m+2-a2），（2m+2-a3），（2m+2-az）a1，a2，a3，az中包含了所有的奇合数和奇素数，那么必然有集合1，（2m+2-1）（2m+2-a1），（2m+2-a2），（2m+2-a3），（2m+2-az）a1，a2，a3，az=1，3，5，7，9，11，（2m+2-5），（2m+2-3），（2m+2-1），根据定理1，集合1，（2m+2-1）（2m+2-a1），（2m+2-a2），（2m+2-a3），（2m+2-az）a1，a2，a3，az 中的元素同时均减去2，于是可得集合1，（2m-1）（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m- at）（a1-2），（a2-2），（a3-2），（at -2）=1，3，5，7，9，11，（2m-5），（2m-3），（2m-1）。又由（）分析的情形可知，集合1，（2m-1）（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m- at）（a1-2），（a2-2），（a3-2），（at -2）有缺项，这样就与（）假定的情形得到的集合1，（2m-1）（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m- at）（a1-2），（a2-2），（a3-2），（at -2）=1，3，5，7，9，11，（2m-5），（2m-3），（2m-1）产生矛盾。说明集合1，（2m-1）（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m-at）（a1-2），（a2-2），（a3-2），（at -2）有缺项。又根据定理2，集合1，（2m+2-1）（2m+2-a1），（2m+2-a2），（2m+2-a3），（2m+2-az）a1，a2，a3，az 也有缺项，说明集合1，（2m+2-1）（2m+2-a1），（2m+2-a2），（2m+2-a3），（2m+2-az）a1，a2，a3，az中至少有一个奇素数不在该集合中；故集合1，（2m+2-1）（2m+2-a1），（2m+2-a2），（2m+2-a3），（2m+2-az）a1，a2，a3，az 1，3，5，7，9，11，（2m+2-5），（2m+2-3），（2m+2-1），所以假定偶数（2m+2）不存在有两个奇素数pi和pj，使得pi+pj=（2m+2）的情形不能成立。即偶数（2m+2）能表为两个奇素数之和。综上所述，任一不小于6的偶数均可表为两个奇素数之和。定理3：对于任一不小于10的偶数2m，设奇合数a1，a2，a3，at均为不大于偶数2m的全体奇合数，（aiaj ，ij，i、j=1、2、3、t），tN，则集合1，（2m-1），（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m- at）（a1+2），（a2+2），（a3+2），（at+2）和集合1，（2m-1），（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m- at）（a1-2），（a2-2），（a3-2），（at-2）均有缺项。证明：由哥德巴赫定理可知，任一不小于6的偶数均可表为两个奇素数之和。对于任一不小于10的偶数2m，设奇合数a1，a2，a3，at均为不大于偶数2m的全体奇合数，（aiaj ，ij，i、j=1、2、3、t），tN。现在对集合1，（2m-1），（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m- at）（a1+2），（a2+2），（a3+2），（at+2）和集合1，（2m-1），（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m- at）（a1-2），（a2-2），（a3-2），（at-2）有无缺项进行分析：（）、假定集合1，（2m-1），（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m- at）（a1+2），（a2+2），（a3+2），（at+2）没有缺项，设奇合数a1，a2，a3，ar均为不大于偶数2m的全体奇合数，（aiaj ，ij，i、j=1、2、3、r），rN，根据定理1，可得集合1，（2m-2-1）（2m-2-a1），（2m-2-a2），（2m-2-a3），（2m-2- ar）a1，a2，a3，ar没有缺项，即偶数（2m-2）不能表为两个奇素数之和。这与哥德巴赫定理的情形产生了矛盾，故假定集合1，（2m-1），（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m- at）（a1+2），（a2+2），（a3+2），（at+2）没有缺项不能成立。（）、假定集合1，（2m-1），（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m- at）（a1-2），（a2-2），（a3-2），（at-2）没有缺项，设奇合数a1，a2，a3，as均为不大于偶数（2m+2）的全体奇合数，（aiaj ，ij，i、j=1、2、3、s），sN，根据定理1，可得集合集合1，（2m+2-1）（2m+2-a1），（2m+2-a2），（2m+2-a3），（2m+2-as）a1，a2，a3，as没有缺项，即偶数（2m+2）不能表为两个奇素数之和。这与哥德巴赫定理的情形产生了矛盾，故假定集合1，（2m-1），（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m- at）（a1-2），（a2-2），（a3-2），（at-2）没有缺项不能成立。综上所述，定理3成立。孪生素数定理：孪生素数对的对数是无限的。证明：由哥德巴赫定理以及定理3可知，对于任一比较大的偶数2m，设奇合数a1，a2，a3，at均为不大于偶数2m的全体奇合数，（aiaj ，ij，i、j=1、2、3、t），tN，那么偶数2m有下列情形：当偶数2m=6k-2时，则有下列情形：1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 3ki 6ki-1+1 6ki-1-1 3ki-1 6ki-2+1 6ki-2-1 3ki-2 6ki-3+1 6ki-3-1 3ki-321 23 6kj-2-1 6kj-2+1 3kj-1 6kj-1-1 6kj-1+1 3kj 6ki-4+1 6ki-4-1 6kr-1 3kr 6kr-1+1 6kr-1-1 3kr-1 6kr-1+1 3ki-2 6ki-3-1 6ki-3+1 3ki-2 6ki-2-1 6ki-2+1 3ki-1 6ki-1-1 6ki-1+1 3ki 19 17 15 13 11 9 7 5 3 1当偶数2m=6k时，则有下列情形：1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 6ki-1 3ki 6ki-1+1 6ki-1-1 3ki-1 6ki-2+1 6ki-2-1 3ki-2 6ki-3+1 6ki-3-121 23 6kj-2-1 6kj-2+1 3kj-1 6kj-1-1 6kj-1+1 3kj 3ki-3 6ki-4+1 6kr+1 6kr-1 3kr 6kr-1+1 6kr-1-1 3kr-1 6ki-3-1 6ki-3+1 3ki-2 6ki-2-1 6ki-2+1 3ki-1 6ki-1-1 6ki-1+1 3ki 6ki-119 17 15 13 11 9 7 5 3 1当偶数2m=6k+2时，则有下列情形：1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 6ki+1 6ki-1 3ki 6ki-1+1 6ki-1-1 3ki-1 6ki-2+1 6ki-2-1 3ki-2 6ki-3+1 21 23 6kj-2-1 6kj-2+1 3kj-1 6kj-1-1 6kj-1+1 3kj 6ki-3-1 3ki-3 3kr 6kr+1 6kr-1 3kr 6kr-1+1 6kr-1-1 6ki-3+1 3ki-2 6ki-2-1 6ki-2+1 3ki-1 6ki-1-1 6ki-1+1 3ki 6ki-1 6ki+119 17 15 13 11 9 7 5 3 1因为不小于4的偶数的顺序为：（6k1-2），（6k1），（6k1+2），（6k2-2），（6k2），（6k2+2），（6k3-2），（6k3），（6k3+2），。我们具体展开分析：第一、分析偶数2m=6k时的情形：（11）、对于偶数2m=6k，必有如下情形：3kj1 6kj1-1 6kj1+1 3kj1+1 奇素数 奇素数 3kj1+2 6kj1+2-1 6kj1+2+13ki1 6ki1-1+1 6ki1-1-1 3ki1-1 6ki1-2+1 6ki1-2-1 3ki1-2 6ki1-3+1 6ki1-3-1（12）、对于偶数2m=6k，必有如下情形：3kj2 6kj2-1 6kj2+1 3kj2+1奇合数 奇素数 3kj2+2 6kj2+2-1 6kj2+2+13ki2 6ki2-1+1 6ki2-1-1 3ki2-1 6ki2-2+1 6ki2-2-1 3ki2-2 6ki2-3+1 6ki2-3-1（13）、对于偶数2m=6k，必有如下情形：3kj3 6kj3-1 6kj3+1 3kj3+1奇素数 奇合数3kj3+2 6kj3+2-1 6kj3+2+13ki3 6ki3-1+1 6ki3-1-1 3ki3-1 6ki3-2+1 6ki3-2-1 3ki3-2 6ki3-3+1 6ki3-3-1（14）、对于偶数2m=6k，必有如下情形：3kj4 6kj4-1 6kj4+1 3kj4+1奇合数 奇合数3kj4+2 6kj4+2-1 6kj4+2+13ki4 6ki4-1+1 6ki4-1-1 3ki4-1 6ki4-2+1 6ki4-2-1 3ki4-2 6ki4-3+1 6ki4-3-1从上面（11），（12），（13），（14）的情形可知，只有当上面（11）的情形中奇数（6ki1-2+1）这样情形的奇数为奇素数时或者上面（11）的情形中奇数（ 6ki1-2-1）这样情形的奇数为奇素数时或者上面（11）的情形中奇数（6ki1-2+1）和（ 6ki1-2-1）这样情形的奇数均为奇素数时或者上面（12）的情形中奇数（6ki2-2-1）这样情形的奇数为奇素数时或者上面（13）的情形中奇数（6ki3-2+1）这样情形的奇数为奇素数时，集合1，（2m-1）（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m-at）a1，a2，a3，at才能产生缺项。又因为集合1，（2m-1），（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m- at）（a1+2），（a2+2），（a3+2），（at+2）和集合1，（2m-1），（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m- at）（a1-2），（a2-2），（a3-2），（at-2）均有缺项。那么集合1，（2m-1）（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m-at）a1，a2，a3，at中，必然有由上面（11）的情形中奇数（6ki1-2+1）这样情形的奇数为奇素数和上面（13）的情形中奇数（6ki3-2-1）这样情形的奇数为奇素数而产生的缺项或者必然有由上面（11）的情形中奇数（6ki1-2-1）这样情形的奇数为奇素数和上面（12）的情形中奇数（6ki2-2+1）这样情形的奇数为奇素数而产生的缺项或者必然有由上面（11）的情形中奇数（6ki1-2+1）和（ 6ki1-2-1）这样情形的奇数均为奇素数而产生的缺项。我们又分析偶数2m+2=6k+2时的情形：1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 6ki+1 6ki-1 3ki 6ki-1+1 6ki-1-1 3ki-1 6ki-2+1 6ki-2-1 3ki-2 6ki-3+1 21 23 6kj-2-1 6kj-2+1 3kj-1 6kj-1-1 6kj-1+1 3kj 6ki-3-1 3ki-3 3kr 6kr+1 6kr-1 3kr 6kr-1+1 6kr-1-1 6ki-3+1 3ki-2 6ki-2-1 6ki-2+1 3ki-1 6ki-1-1 6ki-1+1 3ki 6ki-1 6ki+119 17 15 13 11 9 7 5 3 1（15）、对于偶数2m+2=6k+2，必有如下情形：3kj1 6kj1-1 6kj1+1 3kj1+1 奇素数 奇素数 3kj1+2 6kj1+2-1 6kj1+2+16ki1-1 3ki1 6ki1-1+1 6ki1-1-1 3ki1-1 6ki1-2+1 6ki1-2-1 3ki1-2 6ki1-3+1 （16）、对于偶数2m+2=6k+2，必有如下情形：3kj2 6kj2-1 6kj2+1 3kj2+1 奇素数 奇合数 3kj2+2 6kj2+2-1 6kj2+2+16ki2-1 3ki2 6ki2-1+1 6ki2-1-1 3ki2-1 6ki2-2+1 6ki2-2-1 3ki2-2 6ki2-3+1 （17）、对于偶数2m+2=6k+2，必有如下情形：3kj3 6kj3-1 6kj3+1 3kj3+1 奇合数 奇素数 3kj3+2 6kj3+2-1 6kj3+2+16ki3-1 3ki3 6ki3-1+1 6ki3-1-1 3ki3-1 6ki3-2+1 6ki3-2-1 3ki3-2 6ki3-3+1 （18）、对于偶数2m+2=6k+2，必有如下情形：3kj4 6kj4-1 6kj4+1 3kj4+1 奇合数 奇合数 3kj4+2 6kj4+2-1 6kj4+2+16ki4-1 3ki4 6ki4-1+1 6ki4-1-1 3ki4-1 6ki4-2+1 6ki4-2-1 3ki4-2 6ki4-3+1 我们设奇合数a1，a2，a3，ar均为不大于偶数（2m+2）的全体奇合数，从上面（15），（16），（17），（18）的情形可知，只有当（15）的情形中奇数（6ki1-2+1）这样情形的奇数为奇素数时或者（17）的情形中奇数（6ki3-2+1）这样情形的奇数为奇素数或者（2m+2-3）为奇素数时，集合1，（2m+2-1）（2m+2-a1），（2m+2-a2），（2m+2-a3），（2m+2-ar）a1，a2，a3，ar才能产生缺项。由此可知，必然有上面（11）的情形中奇数（6ki1-2+1）和（ 6ki1-2-1）这样情形的奇数均为奇素数或者上面（12）的情形中奇数（6ki2-2+1）和（ 6ki2-2-1）这样情形的奇数均为奇素数或者上面（13）的情形中奇数（6ki3-2+1）和（ 6ki3-2-1）这样情形的奇数均为奇素数或者前面偶数2m+2=6k+2时的情形中奇数（6ki+1）和（6ki-1）均为奇素数。第二、分析偶数2m=6k-2时的情形：1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 3ki 6ki-1+1 6ki-1-1 3ki-1 6ki-2+1 6ki-2-1 3ki-2 6ki-3+1 6ki-3-1 3ki-321 23 6kj-2-1 6kj-2+1 3kj-1 6kj-1-1 6kj-1+1 3kj 6ki-4+1 6ki-4-1 6kr-1 3kr 6kr-1+1 6kr-1-1 3kr-1 6kr-1+1 3ki-2 6ki-3-1 6ki-3+1 3ki-2 6ki-2-1 6ki-2+1 3ki-1 6ki-1-1 6ki-1+1 3ki 19 17 15 13 11 9 7 5 3 1（21）、对于偶数2m=6k-2，必有如下情形：3kj1 6kj1-1 6kj1+1 3kj1+1奇素数奇素数 3kj1+2 6kj1+2-1 6kj1+2+1 3kj1-36ki1+1 6ki1-1 3ki1 6ki1-1+1 6ki1-1-1 3ki1-1 6ki1-2+1 6ki1-2-1 3ki1-2 6ki1-3+1（22）、对于偶数2m=6k-2，必有如下情形：3kj2 6kj2-1 6kj2+1 3kj2+1 奇素数 奇合数3kj2+2 6kj2+2-1 6kj2+2+1 3kj2-36ki2+1 6ki2-1 3ki2 6ki2-1+1 6ki2-1-1 3ki2-1 6ki2+1 6ki2-2-1 3ki2-2 6ki2-3+1 （23）、对于偶数2m=6k-2，必有如下情形：3kj3 6kj3-1 6kj3+1 3kj3+1 奇合数 奇素数3kj3+2 6kj3+2-1 6kj3+2+1 3kj3-36ki3+1 6ki3-1 3ki3 6ki3-1+1 6ki3-1-1 3ki3-1 6ki3-2+1 6ki3-2-1 3ki3-2 6ki3-3+1 （24）、对于偶数2m=6k-2，必有如下情形：3kj4 6kj4-1 6kj4+1 3kj4+1 奇合数奇合数3kj4+2 6kj4+2-1 6kj4+2+1 3kj4-36ki4+1 6ki4-1 3ki4 6ki4-1+1 6ki4-1-1 3ki4-1 6ki4-2+1 6ki4-2-1 3ki4-2 6ki4-3+1从上面（21），（22），（23），（24）的情形可知，只有当（21）的情形中奇数（6ki1-1-1）这样情形的奇数为奇素数或者（22）的情形中奇数（6ki2-1-1）这样情形的奇数为奇素数或者奇数（2m-3）为奇素数时，集合1，（2m-1）（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m-at）a1，a2，a3，at才能产生缺项。又因为集合1，（2m-1），（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m- at）（a1+2），（a2+2），（a3+2），（at+2）和集合1，（2m-1），（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m- at）（a1-2），（a2-2），（a3-2），（at-2）均有缺项。那么集合1，（2m-1）（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m-at）a1，a2，a3，at必然有由上面（21）的情形中奇数（6ki1-1-1）和（6ki1-2+1）这样情形的奇数均为奇素数而产生的缺项或者由上面（21）的情形中奇数（6ki1-1-1）这样情形的奇数为奇素数和上面（23）的情形中奇数（6ki3-2+1）这样情形的奇数为奇素数而产生的缺项或者由上面（21）的情形中奇数（6ki1-1+1）这样情形的奇数为奇素数和上面（22）的情形中奇数（6ki2-1-1）这样情形的奇数为奇素数及上面（23）的情形中奇数（6ki3-2+1）这样情形的奇数为奇素数而产生的缺项等等。我们又分析偶数2m+2=6k时的情形：1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 6ki-1 3ki 6ki-1+1 6ki-1-1 3ki-1 6ki-2+1 6ki-2-1 3ki-2 6ki-3+1 6ki-3-121 23 6kj-2-1 6kj-2+1 3kj-1 6kj-1-1 6kj-1+1 3kj 3ki-3 6ki-4+1 6kr+1 6kr-1 3kr 6kr-1+1 6kr-1-1 3kr-1 6ki-3-1 6ki-3+1 3ki-2 6ki-2-1 6ki-2+1 3ki-1 6ki-1-1 6ki-1+1 3ki 6ki-119 17 15 13 11 9 7 5 3 1（25）、对于偶数2m+2=6k，必有如下情形：3kj1 6kj1-1 6kj1+1 3kj1+1 奇素数 奇素数 3kj1+2 6kj1+2-1 6kj1+2+13ki1+1 6ki1+1 6ki1-1 3ki1 6ki1-1+1 6ki1-1-1 3ki1-1 6ki1-2+1 6ki1-2-1（26）、对于偶数2m+2=6k，必有如下情形：3kj2 6kj2-1 6kj2+1 3kj2+1奇合数 奇素数 3kj2+2 6kj2+2-1 6kj2+2+13ki2+1 6ki2+1 6ki2-1 3ki2 6ki2-1+1 6ki2-1-1 3ki2-1 6ki2-2+1 6ki2-2-1（27）、对于偶数2m+2=6k，必有如下情形：3kj3 6kj3-1 6kj3+1 3kj3+1奇素数 奇合数3kj3+2 6kj3+2-1 6kj3+2+13ki3+1 6ki3+1 6ki3-1 3ki3 6ki3-1+1 6ki3-1-1 3ki3-1 6ki3-2+1 6ki3-2-1（28）、对于偶数2m+2=6k，必有如下情形：3kj4 6kj4-1 6kj4+1 3kj4+1奇合数 奇合数3kj4+2 6kj4+2-1 6kj4+2+13ki4+1 6ki4+1 6ki4-1 3ki4 6ki4-1+1 6ki4-1-1 3ki4-1 6ki4-2+1 6ki4-2-1我们设奇合数a1，a2，a3，ar均为不大于偶数（2m+2）的全体奇合数，从上面（25），（26），（27），（28）的情形可知，只有当上面（25）中的情形奇数（6ki1-1+1）这样情形的奇数为奇素数时或者上面（25）的情形中奇数（ 6ki1-1-1）这样情形的奇数为奇素数时或者上面（25）的情形中奇数（6ki1-1+1）和（ 6ki1-1-1）这样情形的奇数均为奇素数时或者上面（26）的情形中奇数（6ki2-1-1）这样情形的奇数为奇素数时或者上面（27）的情形中奇数（6ki3-1+1）这样情形的奇数为奇素数时，集合1，（2m+2-1）（2m+2-a1），（2m+2-a2），（2m+2-a3），（2m+2-ar）a1，a2，a3，ar才能产生缺项。又由于集合1，（2m+2-1）（2m+2-a1），（2m+2-a2），（2m+2-a3），（2m+2-ar）（a1+2），（a2+2），（a3+2），（ar+2）和集合1，（2m+2-1）（2m+2-a1），（2m+2-a2），（2m+2-a3），（2m+2-ar）（a1-2），（a2-2），（a3-2），（ar-2）均有缺项，由此可知，必然有上面（21）的情形中奇数（6ki1-1+1）和（ 6ki1-1-1）这样情形的奇数均为奇素数或者上面（22）的情形中奇数（6ki2-1+1）和（ 6ki2-1-1）这样情形的奇数均为奇素数或者上面（23）的情形中奇数（6ki3-1+1）和（ 6ki3-1-1）这样情形的奇数均为奇素数或者偶数2m=6k-2时的情形中奇数（6ki-1+1）和（6ki-1-1）均为奇素数。第三、分析偶数2m=6k+2时的情形：1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 6ki+1 6ki-1 3ki 6ki-1+1 6ki-1-1 3ki-1 6ki-2+1 6ki-2-1 3ki-2 6ki-3+1 21 23 6kj-2-1 6kj-2+1 3kj-1 6kj-1-1 6kj-1+1 3kj 6ki-3-1 3ki-3 3kr 6kr+1 6kr-1 3kr 6kr-1+1 6kr-1-1 6ki-3+1 3ki-2 6ki-2-1 6ki-2+1 3ki-1 6ki-1-1 6ki-1+1 3ki 6ki-1 6ki+119 17 15 13 11 9 7 5 3 1（31）、对于偶数2m=6k+2，必有如下情形：3kj1 6kj1-1 6kj1+1 3kj1+1 奇素数 奇素数 3kj1+2 6kj1+2-1 6kj1+2+16ki1-1 3ki1 6ki1-1+1 6ki1-1-1 3ki1-1 6ki1-2+1 6ki1-2-1 3ki1-2 6ki1-3+1 （32）、对于偶数2m=6k+2，必有如下情形：3kj2 6kj2-1 6kj2+1 3kj2+1 奇素数 奇合数 3kj2+2 6kj2+2-1 6kj2+2+16ki2-1 3ki2 6ki2-1+1 6ki2-1-1 3ki2-1 6ki2-2+1 6ki2-2-1 3ki2-2 6ki2-3+1 （33）、对于偶数2m=6k+2，必有如下情形：3kj3 6kj3-1 6kj3+1 3kj3+1 奇合数 奇素数 3kj3+2 6kj3+2-1 6kj3+2+16ki3-1 3ki3 6ki3-1+1 6ki3-1-1 3ki3-1 6ki3-2+1 6ki3-2-1 3ki3-2 6ki3-3+1 （34）、对于偶数2m=6k+2，必有如下情形：3kj4