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文档简介

第一节复变函数积分的概念 一 积分的定义 三 积分存在的条件及其计算法 二 积分的性质 四 小结与思考 1 一 积分的定义 1 有向曲线 设C为平面上给定的一条光滑 或按段光滑 曲线 如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向 或正向 那么我们就把C理解为带有方向的曲线 称为有向曲线 如果A到B作为曲线C的正向 那么B到A就是曲线C的负向 2 简单闭曲线正向的定义 简单闭曲线C的正向是指当曲线上的点P顺此方向前进时 邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方 与之相反的方向就是曲线的负方向 关于曲线方向的说明 在今后的讨论中 常把两个端点中的一个作为起点 另一个作为终点 除特殊声明外 正方向总是指从起点到终点的方向 3 2 积分的定义 4 5 关于定义的说明 6 二 积分的性质 复积分与实变函数的定积分有类似的性质 估值不等式 7 性质 4 的证明 两端取极限得 证毕 8 三 积分存在的条件及其计算法 1 存在的条件 证 正方向为参数增加的方向 9 10 根据线积分的存在定理 11 当n无限增大而弧段长度的最大值趋于零时 12 在形式上可以看成是 公式 13 2 积分的计算法 14 在今后讨论的积分中 总假定被积函数是连续的 曲线C是按段光滑的 15 例1 解 直线方程为 16 这两个积分都与路线C无关 17 例2 解 1 积分路径的参数方程为 y x 18 2 积分路径的参数方程为 19 3 积分路径由两段直线段构成 x轴上直线段的参数方程为 1到1 i直线段的参数方程为 20 例3 解 积分路径的参数方程为 21 例4 解 积分路径的参数方程为 22 重要结论 积分值与路径圆周的中心和半径无关 23 例5 解 根据估值不等式知 24 25 四 小结与思考 本课我们学习了积分的定义 存在条件以及计算和性质 应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质 本课中重点掌握复积分的一般方法 26 思考题 27 思考题答案 即为一元
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