复变函数解析函数零点的孤立性及唯一性定理ppt课件.ppt

第四章解析函数的幂级数表示法 第一节复级数的基本性质第二节幂级数第三节解析函数的泰勒 Taylor 展式第四节零点的孤立性与唯一性原理 1 第一节复级数的基本性质 复数项级数定义4 1对于复数项的无穷级数命 部分和 若则称复数项级数收敛于否则称级数发散 2 定理4 1设 则复数级 4 1 收敛于 实数 及 分别收敛于 的充要条件为 3 例求证级数 在 时收敛于 而当 时发散 证明 1 用极限定义易证 当 时 因而由极限的性质得到 4 因此按定义4 1得 2 当 时 显然有 因而 故级数 发散 5 3 当 时 显然有 因此级数 也发散 6 4 当 而 时 设 则 因为 所以它对任何固定的 都无极限 由此可见 复数 当 时无极限 亦即 无极限 因此级数 发散 7 例4 1考察级数的敛散性 解因发散 收敛 我们仍断定原级数发散 故虽 8 例讨论级数 的敛散性 解 而 9 收敛 级数 同时收敛或同时发散 当 时 级数 收敛 当 时 由 知 发散 10 定理4 2柯西收敛原理 复数项级数 级数 收敛必要与充分条件是 任给 可以找到一个正整数N 使得当n N p 1 2 3 时 11 定理4 3复级数 4 1 收敛的一个充分条件为级数 收敛 12 定义4 2若级数收敛 则原级数 称为绝对收敛 非绝对收敛的收敛级数 称为条件收敛 13 一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序 而不致改变其绝对收敛性 亦不致改变其和 2 两个绝对收敛的复级数可按对角线方法得出乘积级数 定理4 4 14 例判断下列级数的敛散性 分析 考查正项级数 的敛散性 解 1 则 由正项级数的比值判别法知道 原级数绝对收敛 15 2 因 故原级数发散 16 练习 证明级数 收敛 但不绝对收敛 17 2 一致收敛的复函数项级数 定义4 3设复变函数项级数 在点集上 存在一个函数 对于 上的每一个点 级数 4 2 均收敛于 则称 为级数 4 2 的和函数 记为 18 定义4 4对于级数 4 2 如果对任意给定的 存在正整数当时 对一切的均有 则称级数 4 2 在 上一致收敛于 19 与定理4 2类似地我们有 定理4 5级数 在 上一致收敛的充要条件是 当使 时 对任一及均有 20 定义4 4 在点集合E上不一致收敛于 某个 对任何整 整数 总有某个 使 定理4 5 在点集E上不一致收敛 某个 对任何正整数N 整数 总有某个 及某个正整数 有 21 定理 优级数准则 若存在正数列 而且正项级数 收敛 则复函数项级数 在集 上绝对收敛且一致收敛 使对一切 有 22 例求级数 的和函数 分析 求部分和 分别就 取极限 解 23 所以 24 例证明级数 时一致收敛 当 当 时发散 证明 1 当 时 由于 而 正项级数 收敛 故由优级数准则知所给级数在 时绝对且一致收敛 25 2 当 时 所以 绝对收敛 又由于 故 发散 从而所给级数在 时发散 26 3 当 时 所以 收敛 发散 后者是因为 从而所给级数在 时发散 27 级数 在闭圆 上一致收敛 因有收敛的优级数 28 思考题 证明 在 内不一致收敛 29 定理4 6设复平面点集E表示区域 闭区域或简单曲线 在E上一致收敛于f z 那么f z 在E上连续 定理4 7设在简单曲线C上 fn n n 1 2 或序列 fn n 在C上一致收敛于f z 或 或 连续 并且级数 设在集E上 fn z n 1 2 连续 并且级数 那么 30 注解 注解1 在研究复变函数项级数和序列的逐项求导的问题时 我们一般考虑解析函数项级数和序列 注解2 我们主要用莫勒拉定理及柯西公式来研究和函数与极限函数的解析性及其导数 31 内闭一致收敛 设函数序列 在复平面C上的区域D内解析 如果级数 序列 fn n 在D内任一有界闭区域 或在一个紧集 上一致收敛于f z 或 那么我们说此级数或序列在D中内闭 或内紧 一致收敛于f z 或 32 定理4 8级数 4 2 在圆 内闭一致收敛的 充要条件是 对任意正数 只要 级数 4 2 在闭圆 上一致收敛 33 定理4 9设函数在区域内解析 级数 在 内中闭一致收敛于函数 则 在 内解析 且 在内成立 证明 取 使得 在 内任作一条简单闭曲线 根据定理 柯西定理 推得 34 因而由莫勒拉定理知在内解析 再由的任意性即得在内解析 在上一致收敛于 其次 设 的边界 由已知条件得 在 上一致收敛于 从而 根据定理4 7 我们有 即 于是定理结论成立 35 例证明级数 在 内闭一致收敛 证明当 时 而正项级数 收敛 即原级数有收敛的 优级数 故由优级数准则 原级数 36 在较小同心闭圆 上绝对且一致收敛 由 定理4 8原级数在 内内闭一致收敛 37 定义形如的级数称为幂级数 其中是复变量 是复常数 特别地 当 级数 就变为 2幂级数 幂级数在复变函数论中有着特殊重要意义 它不仅是研究解析函数的工具 而且在实际计算中也很重要 38 定理4 10 阿贝尔第一定理 如果幂级数 4 3 在z1 z0 收敛 则它在圆K z z0 z1 z0 内绝对收敛且内闭一致收敛 39 证明设z是所述圆K内的任意点 因为 因此存在着有限常数M 使得 这样一来 即有 收敛 它的各项必然有界 注意有 故级数 40 为收敛的等比级数 因而 在圆K内收敛 其次 对K内任一闭圆 上的一切点来说 有 故 在 上有收敛的优级数 因而它在 上绝对且一致收敛 再由定理4 8 此 级数在圆K内绝对球内闭一致收敛 41 定理4 12 如果下列条件之一成立 1 达朗贝尔法则 2 柯西法则 3 柯西 阿达马公式 则当0 l 时 幂级数 4 3 的收敛半径为 当l 0时 R 当l 时 R 0 42 注意 由数学分析知识即知 对幂级数 4 3 有 2 若 存在 则 存在 且等于 又从 存在显然包含 存在 且等于 反之则不然 即 存在 未必存在 因此 由上极限 43 而得到收敛半径 的结论最强 例4 2试求下列各幂级数的收敛半径 解 2 1 3 4 44 解因 2 故 45 解因 故 3 46 解当 是平方数时 4 其他情形 因此相应有 于是数列 的聚点是0和1 从而 47 幂级数 4 3 的和是在收敛圆盘内有定义的一个函数 称之为和函数 可以证明幂级数和函数的解析性 定理4 13 设幂级数 4 3 的收敛半径为R 则在 z z0 R内 它内闭一致收敛 它的和函数 4 5 解析 并且可逐项求导 48 证明 事实上 对 则在上由定理 的收敛半径为1 知级数 在 上绝对收敛 从而根据判别法知 在 一致收敛 故 在 中内闭一致收敛 在 的和函数 解析 且 成立 由 的任意性即知定理成立 但幂级数在其收敛圆上可能收敛 也可能发散 如 例2级数 49 由于在收敛圆上 此级数一般不趋于0 因而在上级数处处发散 但其和函数却除处处解析 例3级数 的收敛半径为1 在收敛圆 上 而级数 收敛 故此级数在收敛圆上也处处收敛 50 例证明 在 内解析 并求 证明因为所给幂级数的收敛半径 故由 定理4 13 1 2 在 内解析 且在 内 其收敛半径仍为 51 例求幂级数 的收敛半径 收敛圆及和函数 解 1 因为 所以收敛半径 收敛圆为 2 因为 于是 以此为公式就有 52 53 3 泰勒 Taylor 展开定理 现在研究与此相反的问题 一个解析函数能否用幂级数表达 或者说 一个解析函数能否展开成幂级数 解析函数在解析点能否用幂级数表示 以下定理给出了肯定回答 任何解析函数都一定能用幂级数表示 54 定理4 14 泰勒定理 设在区域 内解析 只要圆 含于 则在 内能展成幂级数 其中 55 证证明的关键是利用柯西积分公式及如下熟知的公式 56 分析 代入 1 得 57 58 得证 59 证明 不讲 60 不讲 61 证明 不讲 62 结论解析函数展开成幂级数是唯一的 就是它的Taylor级数 利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数 这样的展开式是否唯一 事实上 设f z 用另外的方法展开为幂级数 63 由此我们就可推出 推论 幂级数是它的和函数 在收敛圆内的泰勒展式 即 64 定理4 15 函数f z 在区域D内解析 它在z0的某一邻域内有幂级数展式 4 8 定义4 6 f z 在U内幂级数展式 4 8 称为f z 在z z0或在U内的泰勒展式 n为泰勒系数 4 8 右边级数为泰勒级数 65 注解1 在定理4 14中 f z 在U内的幂级数展式我们称为它在U内的泰勒展式 注解2 我们得到一个函数解析的另外一个刻画 注解3 泰勒展式中的系数与z0有关 66 定理4 16如果幂级数的收敛半径 2 幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况 且 则在收敛圆周上至少有一奇点 即不可能有这样的函数 存在 它在 内与 恒等 而在 上处处解析 其中 67 68 例如 的收敛半径为1 在圆周 上级数 收敛的 所以原级数在圆周 是处处绝对收敛的 从而 在闭圆 绝对且一致收敛 当z沿实轴从单位圆内趋于1时 趋于 所以 是 的有一个奇点 69 关于幂级数的四则运算 幂级数在它的收敛圆内绝对收敛 因此两个幂级数在收敛半径较小的那个圆域内 不但可以作加法 减法还可以作乘法 至于除法 我们将通过乘法及待定系数法莱解决 70 由此可见 任何解析函数展开成幂级数就是Talor级数 因而是唯一的 直接法 间接法 代公式 由展开式的唯一性 运用级数的代数运算 分析运算和已知函数的展开式来展开 函数展开成Taylor级数的方法 71 二 求泰勒展式的方法 1 求Taylor系数 如求 在z 0的展开式 72 2 利用级数的运算 如 如 在 展开 73 3 逐项微分法 如 4 逐项积分法 如求 在 的展开式 主支 其中取K 0分支 即 分支 74 又 一般地 5 级数代入级数法 如 75 76 总结 掌握一些主要的泰勒展示 并能作为公式来用 77 78 第四节零点的孤立性与唯一性原理 79 定义4 7设在解析区域一点的值为零 则称为解析函数的零点 80 称为 的 级零点 若 81 注意 定义4 7中 1 a为解析函数f z 的零点 f z 在点a解析 且 2 a为解析函数f z 的m阶零点 m 1 整数 f z 在点a解析 但 这是多项式重根概念的推广 82 定理4 17不恒为零的解析函以为级零点的充要条件为 其中 在点 的的邻域内解析 且 83 证必要性由假设 只要令 即可 充分性是明显的 84 例4 15考察函数在原点的性质 85 为的三级零点 解 显然 在 解析 且 由 所有 86 例指出函数 的零点 的级 分析如用定义4 7 由于要求高阶导数 计算较繁 故直接用泰勒展示于定理4 17 就简单多了 解 87 其中 在z平面C上解析 且 所以 为 的6级零点 88 定理4 18如在内的解析函数不恒为零 为其零点 则必有的一个邻域 使得在其中无异于的零点 简单说来就是 不恒为零的解析函数的零点必是孤立的 89 推论4 19设 1 函数 在邻域 内解析 2 在K内有 的一列零点 收敛于 则 在K内必恒为零 90 定理4 20 唯一性定理 设 1 函数 和 在区域 内解析 2 内又有一个收敛于 的点列 在其上 和 则 和 在 内恒等 相等 91 证明 假定定理的结论不成立 即在D内 解析函数F z f z g z 不恒等于0 显然 设z0是点列 zk 在D内有极限点 由于F z 在z0连续 可见 唯一的零点 与解析函数零点的孤立性矛盾 在一般情形下 可用下述所谓圆链法来证明 可是这时找不到z0的一个邻域 在其中z0是F z 92 设 是D内任意固定的点 如图 在D内可以作一折线L连接 及 以 表L与D的边界 间的最短距离 在L上依次取一串点 使相邻两点间的距离小于定数 显然 由推论4 19 在圆 内 在圆 又重 复应用推论4 19 即知在 内 这样继续下 去 直到最后一个含有 的圆为止 在该圆内 93 特别说来 因为 是D内任意 的点 故证明了在D内 推论4 21设在区域D内解析的函数 在D内的某一子区域 或一小段弧 上相等 则它们必在区域D内恒等 推理4 22一切在实轴上成立的恒等式 在z平面 上也成立 只要这个恒等式的等号两边在z平面上 都是解析的 94 例4 17设 1 在区域内解析 2 在内 试证 在内或 95 证若有 使 因 在点 连续 故存在邻域 在 内恒不为零 而由题设 故必 由唯一性定理 96 例函数 有无穷多个零点 而 并非常数0 这与唯一性定理是否矛盾 解 不矛盾 因为唯一性定理的条件 要求零点列的 极限点在函数的解析区域内 而题设零点列 的唯一 极限点 不在 的解析性区域内 而是在 边界上 97 例设 在区域D内解析 且有 而 则在 的邻域内 不能是一个常数 证 反证法 若 在D内 的某个邻域内为常数 则有唯一性定理 在区域D内亦将为常数 此时 对任何 将有 这与题设矛盾 98 定理4 23 最大模原理 设在区域D内解析 则在D内任何点都不能达到最大值 除非在D内恒等于常数 证明 若用M表 在D内的最小上界 则必 假定在D内有一点 函数 的模在 达到它的最大值 即 应用平均值定理于以 中心 并且连同它的周界 一起全含于区域D内的一个圆