数字控制理论及应用(讲稿)第五章 采样控制系统的数学模型.pdf

第五章 采样控制系统的数学模型 第五章 采样控制系统的数学模型 第一节 线性常系数差分方程及其求解 线性连续系统 其输入与输出之间用线性常微分方程描述 与线性连续系统类似 线性 离散系统的输入与输出之间用线性差分方程来描述 差分方程中离散函数及其差分都是一次的 则称为线性差分方程 线性差分方程中的系 数均为常数 则称为线性常系数差分方程 差分方程有前向差分和后向差分两种表示法 与 线性常微分方程习惯表示法一样 将输出写在方程等式的左边 输入写在方程等式的右边 后向差分方程常见形式表示为 2 2 210 21 mTkTrbTkTrbTkTrbkTrb nTkTcaTkTcaTkTcakTc m n L L 5 1 1 前向差分方程常见形式表示为 01 1 kTrbTkTrbTmTkTrbmTkTrb kTcTkTcaTnTkTcanTkTca mm nn L L 5 1 2 后向差分方程也可表示为 n i i m j j iTkTcajTkTrbkTc 10 5 1 3 式 5 1 3 也叫做差分方程的迭代关系式 差分方程的求解可分为迭代法和 z 变换法两种常用方法 1 迭代法 已知输入序列和输出序列的初始值 就可以利用式 5 1 3 的迭代关系 逐步计算出所 需要的输出序列 例例 5 1 1 已知差分方程 2 TkTrkTrTkTckTc 输入序列为 采样周期 0 0 0 k kkT kTr1 T 初始条件为 试用迭代法求解差分方程 0 0 c 解解 由已知差分方程可得迭代关系式 2 TkTcTkTrkTrkTc 逐步以代入迭代关系式有 3 2 1L k M 64324 3 3 2 4 4 43223 2 2 2 3 3 31122 2 2 2 10021 0 0 2 0 0 TcTrTrTc TcTrTrTc TcTrTrTc crTrTc c 继续求解下去 可得到输出序列各点的值 显然 迭代法的优点是便于用计算 机求解 kTc 2 z 变换法 在连续系统中用拉氏变换求解微分方程 使得复杂的运算变成简单的代数运算 同样在 离散系统中用 z 变换求解差分方程 可大大简化和方便求解运算 将滞后定理式 4 2 2 中连续函数写成数值序列后有 kTx zXzmTkTxZ m 5 1 4 22 利用式 5 1 4 z 变换求解差分方程大致可分为如下两步 1 对后向差分方程式 5 1 1 两边作 z 变换有 1 10 1 1 zRzbzRzbzRbzCzazCzazC m m n n 可得 1 2 2 1 1 2 2 1 10 zR zazaza zbzbzbb zC n n m m 5 1 5 2 对式 5 1 5 求 z 反变换后可以得到差分方程的解 kTc 另外 对前向差分方程求解 在作 z 变换时 应用式 4 2 3 超前定理 将初始条件代 入求出的表达式后再求 z 反变换 zC 例例 5 1 2 试用 z 变换求解例 5 1 1 差分方程的解 解解 对输入序列求 z 变换有 2 1 z zT zR 采样周期1 T 对差分方程式两边作 z 变换 2 11 zRzzRzCzzC 1 2 1 21 23 2 1 1 zzz zz zR z z zC 用综合除法可得 L 4321 643 zzzzzC 得 6 4 4 3 3 2 1 TcTcTcTc 第二节 脉冲传递函数的基本概念 线性连续系统理论中 在初始条件为零的情况下 系统输出信号的拉氏变换与输入信号 的拉氏变换之比定义为传递函数 与此类似 在线性采样系统理论中 初始条件为零的情况 下系统离散输出信号的 z 变换与离散输入信号的 z 变换之比定义为脉冲传递函数 它是线性 采样系统理论中的一个重要概念 开环离散系统如图 5 2 1 所示 输入信号采样后得到断续脉冲信号 在自动 控制原理中已分析过一阶系统的单位脉冲响应曲线 即脉冲信号经过环节后 其输出 是一个衰减 稳定系统条件下 的连续信号 为了分析脉冲传递函数的概念 需要输出 信号为离散的采样信号 为此在系统输出端虚设一个理想采样开关 如图中虚线所示 它与 输入采样开关同步工作 并具有相同的采样周期 必须指出 虚设的采样开关是不存在的 只是输出连续信号在采样时刻时的离散值 tr tr sG tc tc tc G s G z c t C z 图 5 2 1 开环离散系统 r t c t R z r t R s R s C s C s T T 当输入信号为一个单位脉冲 t 时 其输出信号为单位脉冲响应 其响应以表示 当输入信号为一个非单位的脉冲时 其脉冲响应为单位脉冲响应乘以输入脉冲幅值 即 tg tr tr tgtrtc 5 2 1 当输入信号是以周期为 T 的一串脉冲序列 L 2 2 0 0 TtTrTtTrtrkTtkTrtr k 23 这个脉冲串的每一个脉冲都在输出端引起一个相应的脉冲响应 根据叠加原理可得脉冲 串引起的总脉冲响应为 tr 0 2 2 0 k kTtgkTrTtgTrTtgTrtgrtcL 5 2 2 在时刻经虚设采样开关输出的脉冲值为 kTt 0 2 2 0 gkTrTkTgTrTkTgTrkTgrkTc L k n TnkgnTr 0 5 2 3 由式 5 2 3 可得各时刻输出值为 MM 0 2 2 0 2 2 0 0 0 0 0 0 gTrTgTrTgrTcTkT gTrTgrTcTkT grckT 时 时 时 由于系统的单位脉冲响应是从0 t才开始出现的 当0 0 TnkgkT 1 Tnr 等 不会对kT时刻的输出信号产生影响 因此式 5 2 3 中求和的上限可以扩展为 于 是式 5 2 3 也可写成 L 2 Tnr 0 n TnkgnTrkTc 5 2 4 下面可推导出脉冲传递函数与输入采样信号的 z 变换和输出采样信号 的 z 变换之间的关系 zG tr zR tc zC 根据 z 变换的定义式 4 1 2 有 0 k k zkTrzR 5 2 5 0 k k zkTczC 5 2 6 又因为单位脉冲响应函数就是传递函数为的时域表达式 即 tg sG 1 sGLtg 所以传递函数为的 z 变换可表示为 sG zG 0 k k zkTgsGZzG 5 2 7 将式 5 2 4 的结果代入式 5 2 6 有 k nkk k n zTnkgnTrzTnkgnTrzC 0000 5 2 8 令 则时 jnk 0 knj 且0 j时0 jTg 式 5 2 8 可改写为 0 00 00 1 0 zGzRzjTgznTr zjTgzjTgznTr zjTgnTrzC j j n n j j nnj jn jn nnj 24 由此线性定常离散系统的脉冲传递函数可定义为 系统输出采样信号的 z 变换与输入采 样信号的 z 变换之比 记作 zR zC zG 5 2 9 或 5 2 10 zGzRzC 对于图 5 2 1 所示的系统 若已知其连续部分的传递函数或单位脉冲响应 根据式 5 2 7 可方便地得到系统脉冲传递函数 sG tg zG 例例 5 2 1 图 5 2 1 系统中连续部分传递函数为 10 10 ss sG 试求其脉冲传递函数 zG 解解 将分解为部分分式 sG 10 11 ss sG 查表 4 1 求出其 z 变换 即得系统脉冲传递函数 1 1 1 10 10 10T T T ezz ez ez z z z zG 第三节 采样控制系统脉冲传递函数的求取 1 并联环节开环控制的脉冲传递函数 并联环节采样控制系统的结构如图 5 3 1 所示 实际系统的输出量为连续信号 为了能 够应用脉冲传递函数来描述 系统的输出端虚设了一个采样开关 G1 s G z c t C z 图5 3 1 环节并联时的开环控制离散系统 r t c t R z r t G2 s R s R s C s C s T T 由于连续环节部分的传递函数为 21 sGsGsG 根据式 5 2 7 则其脉冲传递函数为 21 sGsGZsGZzG 2121 zGzGsGZsGZ 5 3 1 由式 5 3 1 推而广之有 系统由若干个环节并联时 系统的脉冲传递函数为各脉冲 传递函数的和 2 串联环节开环控制的脉冲传递函数 串联环节采样控制系统的结构如图 5 3 2 所示 它分两种情况 一种是两个串联环节之 间有采样开关 如图 5 3 2a 图所示 一种是无采样开关如 b 图所示 实际系统的输出量 为连续信号 为了能够应用脉冲传递函数来描述 系统的输出端均虚设了一个采样开关 25 G1 s G1 z c t C z 图5 3 2 环节串联时的开环控制离散系统 r t c t R z r t x t X z x t G2 s G2 z G z G1 z G2 z G1 s G z G1G2 z c t C z r t c t R z r t x t G2 s a b R s R s C s C s R s R s C s C s T T T T T 对于图 5 3 2 a 所示系统 根据式 5 2 10 有 212 1 zRzGzGzXzGzC zRzGzX 于是系统的脉冲传递函数为 21 zGzGzG 5 3 2 式 5 3 2 表明 两个有采样开关分隔的环节串联时 其脉冲传递函数为这两个环节分 别的脉冲传递函数的乘积 推而广之有 系统由若干个有采样开关分隔的环节串联时 系统 的脉冲传递函数为各脉冲传递函数的乘积 对于图 5 3 2 b 所示的系统 由于两个环节之间无采样开关分隔 系统连续部分的传 递函数为 于是系统的脉冲传递函数为 21 sGsG 2121 zGGsGsGZzG 5 3 3 21 zGG的含意是对与的乘积取z变换 它与两个环节传递函数的z变换 之积是不同的 即 1 sG 2 sG 2121 zGGzGzG 式 5 3 3 表明 无采样开关分隔的两个环节串联时 其脉冲传递函数为这两个环节的 传递函数之积的z变换 例例 5 3 1 试求图 5 3 2 中两种串联形式下的系统脉冲传递函数 其中 1 1 1 21 s sG s sG 解解 对于图 5 3 2a 的串联形式有 1 1 z z zG T ez z zG 2 1 1 2 21 TT ezz z ez z z z zGzGzG 对于图 5 3 2b 的串联形式有 26 1 11 1 1 21 ssss sGsGsG 1 1 1 1 11 21 T T T ezz ez ez z z z ss ZsGsGZzG 3 有零阶保持器开环控制系统的脉冲传递函数 零阶保持器代表离散数字信号恢复为连续信号的D A过程 在计算机仿真控制系统研 究中零阶保持器是必不可少的环节 设有零阶保持器的开环离散控制系统如图 5 3 3 所示 图中为零阶保持器的传递 函数 为被控对象传递函数 两个串联环节之间无同步采样开关隔离 由于不 是以有理分式形式 在求脉冲传递函数时 即在求 z 反变换时 不便于用分部分式方法将 分开 sGh o sG sGh o sGsGh 图 5 3 3 有零阶保持器的开环控制离散系统 s e sG sT h 1 G z c t C z r t c t R z r t Go s R s R s C s C s T T 现将变化一下形式有 o sGsGh s sG e s sG sG s e sGsG sT sT h 1 oo oo 令 o1 s sG Ltg 因为为延迟一个采样周期的延迟环节 有 sT e o1 s sG eLTtg sT 含有零阶保持器的脉冲传递函数 根据式 4 2 2 滞后定理有 oo oo o TtgZtgZ s sG eZ s sG Z s sG e s sG ZsGsGZzG sT sT h 1 o11 s sG ZztgZztgZ 5 3 4 附 可直接理解为 1 o1 o1ooo oo o s sG Zz s sG Zz s sG Z s sG eZ s sG Z s sG e s sG ZsGsGZzG sT sT h 例例 5 3 2 设离散系统如图 5 3 3 所示 已知 o ass a sG 试求系统的脉冲传递 27 函数 zG 解 解 由 11 11 22 o assasass a s sG 查 z 变换表 4 1 有 1 1 1 2 o aT ez z z z az Tz s sG Z 1 1 1 2 2 aT aTaTaT ezza eaTezaTez 由式 5 3 4 有零阶保持器的脉冲传递函数为 1 1 1 1 o1 aT aTaTaT ezza eaTeaTez s sG ZzzG 4 闭环控制系统的脉冲传递函数 在采样控制系统中 由于采样器的的位置设置方式是多样的 所得到的闭环脉冲传递函 数有也不同 有时甚至求不出闭环脉冲传递函数 只能得出系统输出的 z 变换表达式 G s z c t C z 图 5 3 4 闭环离散控制系统 e t c t E z e t H s r t r t R z R s C s C s E s B z b t T T T T 比较常见的采样闭环控制系统如图 5 3 4 所示 由于与之间无采样开关分隔 可得 sG sH zEzGHzB 5 3 5 而 zEzGHzRzBzRzE 5 3 6 得 1 1 zR zGH zE 5 3 7 1 zR zGH zG zGzEzC 5 3 8 由式 5 3 8 可得闭环控制系统的脉冲传递函数为 1 zGH zG zR zC z 5 3 9 需要指出 闭环离散系统脉冲传递函数不能从 s 求z变换得到 即 sZz 当连续输入信号与系统前向通道连续部分之间不存在采样开关时 由于解不出 的表达式 所以不存在闭环脉冲传递函数 此时只能求出系统输出的z变换式 tr zRzC 如图 5 3 5 所示的闭环离散系统有如下关系式 28 G s c t C z 图5 3 5 闭环离散控制系统 c t e t H s r t c t C s C s C s R s E s T T sEsGsC 5 3 10 sCsHsRsE 5 3 11 将式 5 3 11 代入 5 3 10 有 sCsHsGsRsGsC 5 3 12 对式 5 3 12 离散化 有 sCsGHsGRsC 解得 1 sGH sGR sC 上式取z变换有 1 zGH zGR zC 由于无法从中分离出来 故系统不存在闭环脉冲传递函数 zR zGR 表5 1给出了几种典型环节采样系统及其的结果 zC 表表 5 1 几种典型环节采样系统及其几种典型环节采样系统及其 zC 序 号 系统结构图 zC 1 R s C s R s C z R z T zC 2 G s R s C s C z C s T zGR 3 G s R s R s C s C z C s T T zRzG 4 G s H s R s C s C z C s T T 5 G s H s R s C s C z T T 1 zGH zRzG 1 zHzG zRzG 29 6 G s H s R s C s C z C s T T 7 G2 s H s R s C s G1 s C z C s T T 8 G2 s H s R s C s G1 s C z C s T T T 9 G3 s H s R s C s G2 s G1 s C z C s T T T 1 zGH zGR 1 21 21 zHGG zGzRG 1 21 21 zHGzG zGzGzR 1 312 321 zHGGzG zGzGzRG 例例 5 3 3 试求图 5 3 6 所示的采样控制系统的闭环脉冲传递函数 图5 3 6 例 5 3 3 离散控制系统 s e sT 1 c t C z c t r t R s C s 1 1 ss G z T T 解 解 根据例 5 3 2 的结果 令1 a有 1 1 1 T TTT ezz eTeTez zG 由式 5 3 9 其闭环脉冲传递函数有 T TTT TezTz eTeTez zG zG z 1 2 1 1 1 2 5 离散系统的时域响应 在已知离散系统结构和参数及输入情况下 可以求出离散系统的闭环脉冲传递函数 及 将展开成幂级数形式 通过z反变换可求出输出脉冲序列 如 果无法求出离散系统的闭环脉冲传递函数 z zC zC tc z 但由于输入是已知的 且的表达式 总是可以写出的 因此求取在技术上并无困难 zC kTc 例例 5 3 4 设有零阶保持器的闭环采样控制系统如图 5 3 6 所示 其中 试分析系统的动态性能 1 ttr sT1 解 解 根据例 5