高等代数-北京大学第三版--北京大学精品课程.doc

第一学期第一次课第一章 代数学的经典课题1 若干准备知识1.1.1 代数系统的概念一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一个代数系统。1.1.2 数域的定义定义（数域） 设是某些复数所组成的集合。如果K中至少包含两个不同的复数，且对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对内任意两个数、（可以等于），必有，则称K为一个数域。例1.1 典型的数域举例： 复数域C；实数域R；有理数域Q；Gauss数域：Q (i) = i |Q，其中i =。命题 任意数域K都包括有理数域Q。证明 设为任意一个数域。由定义可知，存在一个元素。于是。进而Z, 。最后，Z，。这就证明了Q。证毕。1.1.3 集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念定义(集合的交、并、差) 设是集合，与的公共元素所组成的集合成为与的交集，记作；把和B中的元素合并在一起组成的集合成为与的并集，记做；从集合中去掉属于的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与B的差集，记做。定义（集合的映射） 设、为集合。如果存在法则，使得中任意元素在法则下对应中唯一确定的元素（记做），则称是到的一个映射，记为如果，则称为在下的像，称为在下的原像。的所有元素在下的像构成的的子集称为在下的像，记做，即。若都有 则称为单射。若 都存在，使得，则称为满射。如果既是单射又是满射，则称为双射，或称一一对应。1.1.4 求和号与求积号 1求和号与乘积号的定义. 为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。设给定某个数域上个数，我们使用如下记号：,.当然也可以写成,.2. 求和号的性质. 容易证明，事实上，最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状：分别先按行和列求和，再求总和即可。第一学期第二次课2一元高次代数方程的基础知识1.2.1高等代数基本定理及其等价命题1. 高等代数基本定理 设为数域。以表示系数在上的以为变元的一元多项式的全体。如果，则称为的次数，记为。定理（高等代数基本定理） C的任一元素在C中必有零点。命题 设是C上一个次多项式，是一个复数。则存在C上首项系数为的次多项式，使得证明 对作数学归纳法。推论 为的零点，当且仅当为的因式（其中）。命题（高等代数基本定理的等价命题） 设 为C上的次多项式，则它可以分解成为一次因式的乘积，即存在个复数，使证明 利用高等代数基本定理和命题1.3，对作数学归纳法。2高等代数基本定理的另一种表述方式定义 设是一个数域，是一个未知量，则等式 （1）（其中）称为数域上的一个次代数方程；如果以带入（1）式后使它变成等式，则称为方程（1）在中的一个根。定理（高等代数基本定理的另一种表述形式） 数域上的次代数方程在复数域C内必有一个根。命题 次代数方程在复数域C内有且恰有个根（可以重复）。命题（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定C上两个n次、m次多项式，如果存在整整数,及个不同的复数，使得，则。1.2.2 韦达定理与实系数代数方程的根的特性设，其中。设的复根为（可能有重复），则所以；我们记；（称为的初等对称多项式）。于是有定理2.5 (韦达定理) 设，其中。设的复根为。则；命题 给定R上次方程 ， ，如果i是方程的一个根，则共轭复数i也是方程的根。证明 由已知，.两边取复共轭，又由于R，所以.推论 实数域上的奇数次一元代数方程至少有一个实根。证明 因为它的复根（非实根）必成对出现，已知它在C内有奇数个根，故其中必有一根为实数。第一学期第三次课3线性方程组 1.3.1数域K上的线性方程组的初等变换举例说明解线性方程组的Gauss消元法。定义（线性方程组的初等变换） 数域上的线性方程组的如下三种变换（1） 互换两个方程的位置；（2） 把某一个方程两边同乘数域内一个非零元素；（3） 把某一个方程加上另一个方程的倍，这里的每一种都称为线性方程组的初等变换。容易证明，初等变换可逆，即经过初等变换后的线性方程组可以用初等变换复原。命题 线性方程组经过初等变换后与原方程组同解证明 设线性方程组为 （*）经过初等变换后得到的线性方程组为（*），只需证明（*）的解是（*）的解，同时（*）的解也是（*）的解即可。设是（*）的解，即（*）中用代入后成为等式。对其进行初等变换，可以得到代入（*）后也成为等式，即是（*）的解。反之，（*）的解也是（*）的解。证毕。1.3.2线性方程组的系数矩阵和增广矩阵以及矩阵的初等变换定义（数域上的矩阵） 给定数域K中的个元素（，）。把它们按一定次序排成一个行列的长方形表格称为数域K上的 一个行列矩阵，简称为矩阵。定义（线性方程组的系数矩阵和增广矩阵） 线性方程组中的未知量的系数排成的矩阵称为方程组的系数矩阵；如果把方程组的常数项添到内作为最后一列，得到的矩阵称为方程组的增广矩阵。定义(矩阵的初等变换) 对数域上的矩阵的行（列）所作的如下变换（1） 互换两行（列）的位置；（2） 把某一行（列）乘以K内一个非零常数；（3） 把某一行（列）加上另一行（列）的倍，这里称为矩阵的行（列）初等变换。定义（齐次线性方程组） 数域上常数项都为零的线性方程组称为数域K上的齐次线性方程组。这类方程组的一般形式是命题 变元个数大于方程个数的齐次线性方程组必有非零解；证明 对变元个数作归纳。说明 线性方程组的解的存在性与数域的变化无关（这不同于高次代数方程）。事实上，在（通过矩阵的初等变换）用消元法解线性方程组时，只进行加、减、乘、除的运算。如果所给的是数域上的线性方程组，那么做初等变换后仍为上的线性方程组，所求出的解也都是数域中的元素。因此，对上线性方程组的全部讨论都可以限制在数域中进行。第一学期第四次课第二章 向量空间与矩阵第一节 m维向量空间2.1.1 向量和m维向量空间的定义及性质定义（向量）设是一个数域。中个数所组成的一个元有序数组称为一个m维向量； （）称为一个m维列向量；而称为一个m 维行向量。我们用记集合。定义（中的加法和数量乘法） 在中定义加法如下：两个向量相加即相同位置处的数相加，即.在定义数量乘法为用中的数去乘向量的各个位置，即对于某个， 定义（维向量空间） 集合和上面定义的加法、数乘运算组成的代数系统称为数域上的m维向量空间。命题（向量空间的性质） 向量空间中的元素关于加法和数乘运算满足如下性质（其中表示数域，表示中的向量）：（1） 加法结合律：；（2） 加法结合律：（3） 向量（0,0,0）（记为）具有性质：对于任意，有；（4） ，令，称其为的负向量，它满足；（5） 对于数1，有（6） 对内任意数, ，有；（7） 对内任意数, ，有；（8） 对内任意数，有 。2.1.2 线性组合和线性表出的定义定义（线性组合） 设 ，则称向量为向量组的一个线性组合。定义（线性表示） 设，。如果存在，使得，则称可被向量组线性表示。2.1.3 向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述定义（线性相关与线性无关） 设。如果存在不全为零的，使得，则称线性相关，否则称为线性无关。注意：根据这个定义，线性无关可以表述如下：若，使得，则必有。如果，显然线性相关当且仅当齐次线性方程组有非零解，线性无关当且仅当此齐次线性方程组只有零解。命题 设，则下述两条等价：1）线性相关；2）某个可被其余向量线性表示。证明 1）2）. 由于线性相关，故存在不全为零的个数，使得。不妨设某个。于是，由向量空间的性质有2）1）. 如果某个可被其余向量线性表示，即存在，使得.由向量空间的性质有.于是线性相关。证毕。推论 设，则下述两条等价：1）线性无关；2）任一不能被其余向量线性表示。第一学期第五次课2.1.4 向量组的线性等价和集合上的等价关系定义（线性等价） 给定内的两个向量组 ， （*） ， （*）如果向量组（*）中每一个向量都能被向量组（*）线性表示，反过来向量组（*）中的每个向量也都能被向量组（*）线性表示，则称向量组（*）和向量组（*）线性等价。定义（集合上的等价关系） 给定一个集合，上的一个二元关系“”称为一个等价关系，如果“”满足以下三条：（1） 反身性：；（2） 对称性：；（3） 传递性：。与等价的元素的全体成为所在的等价类。命题 若与在不同的等价类，则它们所在的等价类的交集是空集。进而一个定义了等价关系的集合可以表示为所有等价类的无交并。证明 记所在的等价类为，的等价类为。若它们的交集非空，则存在，于是有。由等价关系定义中的对称性和传递性即知，与和在不同的等价类矛盾。这就证明了和所在的等价类交集是空集。而集合包含所有等价类的并集，又集合中的任一个元素都属于一个等价类，于是集合是等价类的并集。综上可知，命题成立。证毕。命题 给定内两个向量组 ， （1） ， （2）且（2）中每一个向量都能被向量组（1）线性表示。如果向量能被向量组（2）线性表示，则也可以被向量组（1）线性表示。证明 若向量组（2）中的每一个向量都可以被向量组（1）线性表示，则存在 ，使得 () . （i）由于能被向量组（2）线性表示，故存在 ，使得.将（i）代入，得，即可被线性表示。由此易推知命题 线性等价是的向量组集合上的等价关系。2.1.5向量组的极大线性无关部分组和向量组的秩定义（ 向量组的极大线性无关组） 设为中的一个向量组，它的一部分组称为原向量组的一个极大线性无关组，若（1） 线性无关；（2） 中的每一个向量都可被线性表出。容易看出向量组和线性等价。引理 给定上的向量组和，如果可被线性表出，且，则向量组线性相关。证明 由于可被线性表出，故存在，使得 （*）设 . （*）将（*）代入（*），得.设各系数均为零，得到 ， （*）（*）是一个含有个未知量和个方程的其次线性方程组，而，故方程组（*）有非零解，于是存在不全为零的，使得（*）成立。由线性相关的定义即知向量组线性相关。定理 线性等价的向量组中的极大线性无关组所含的向量个数相等。证明 设和中的线性等价的向量组。设向量组和分别是原向量组的极大线性无关部分组，则由线性无关部分组的定义和线性等价的传递性知此二极大线性无关部分组线性等价。由于可将中的每一个向量线性表出，知（否则由引理知向量组线性相关，矛盾）。同理。于是。推论 任意向量组中，任意极大线性无关组所含的向量个数相等。定义（向量组的秩） 对于内给定的一个向量组，它的极大线性无关组所含的向量的数量称为该向量组的秩。第一学期第六次课第二章 2矩阵的秩2.1.1矩阵的行秩与列秩、矩阵的转置定义2.1 矩阵的行秩与列秩。一个矩阵的行向量组的秩成为的行秩，它的列向量组的秩称为的列秩。命题2.1 矩阵的行（列）初等变换不改变行（列）秩；证明 只需证明行变换不该行秩。容易证明，经过任意一种初等行变换，得到的行向量组与原来的向量组线性等价，所以命题成立。证毕。定义2.2 矩阵的转置把矩阵A的行与列互换之后，得到的矩阵称为矩阵的转置矩阵。命题2.2 矩阵的行（列）初等变换不改变列（行）秩。证明 只需证明行变换不改变列秩。列变换可用矩阵的转置证得。假设的列向量为，它的一个极大线性无关部分组为，而经过初等行变换之后的列向量为，只需证明是变换后列向量的一个极大线性无关部分组即可。只需分别证明向量组（*）线性无关和中的任意一个向量都可以被（*）线性表出。构造方程，由于线性无关，线性方程组只有零解。而方程是由经过初等行变换得来的，而初等行变换是同解变换，所以只有零解，于是线性无关。对于的任意一个列向量，都可被线性表出，利用初等行变换是同解变换同样可以证明经过初等行变换后，可以被（*）线性表出。证毕。推论 矩阵的行、列秩相等，称为矩阵的秩，矩阵的秩记为r；证明 设，不妨考虑，经过行、列调换后，可使左上角元素不等于零。用三种行、列变换可使矩阵化为如下形式其中(*)代表一个矩阵。若（*）不是零矩阵，重复上面做法，归纳下去，最后得到形如的一个矩阵，可知，矩阵的行秩和列秩都等于矩阵中“1”的个数。于是由初等变换可逆和推论可以知道，矩阵的行秩等于列秩。定义2.3 一个矩阵的行秩或列秩成为该矩阵的秩，记作。2.2.2 矩阵的相抵定义2.4 给定数域上的矩阵和，若经过初等变换能化为，则称矩阵和相抵。命题2.3 相抵是等价关系，且秩是相抵等价类的完全不变量。证明 逐项验证等价类的定义，可知相抵是等价关系；由于初等变换不改变矩阵的秩，于是矩阵的秩是等价类的完全不变量。2.2.3用初等变换求矩阵的秩用初等行变换或列变换将矩阵化为阶梯形，阶梯形矩阵的秩这就是原矩阵的秩。第一学期第七次课第二章 3线性方程组的理论课题3.1.1齐次线性方程组的基础解系对于齐次线性方程组令，则上述方程组即为 （*）（其中0为零向量）。将（*）的解视为维向量，则所有解向量构成中的一个向量组，记为。命题 中的元素（解向量）的线性组合仍属于（仍是解）。证明 只需要证明S关于加法与数乘封闭。设，则， ，于是，故；又因为，所以。证毕。定义（线性方程组基础解系） 齐次线性方程组（*）的一组解向量如果满足如下条件：（1） 线性无关；（2） 方程组（*）的任一解向量都可被线性表出，那么，就称是齐次线性方程组（*）的一个基础解系。定理 数域上的齐次线性方程组的基础解系中的向量个数等于变元个数减去系数矩阵的秩；证明 记线性方程组为，其中，设的秩为，无妨设为其极大线性无关部分组，则皆可被线性表出， 即存在，使得 即。于是中含有向量 .只需要证明是解向量组的一个极大线性无关部分组即可。易见，向量组线性无关。只需要再证明能线性表出任意一个即可。为此，需要证明引理：引理 设线性无关，可被线性表出，则表示法唯一。证明 设，两式相减，得到.由于线性无关，故各的系数皆为零，于是，即的表示法唯一。引理证毕。现在回到定理的证明。设，则有 . （1）考虑，则形如，且有 . （2）记，则由引理，它可以被线性无关的向量组唯一地线性表示，于是由（1）、（2）两式可知，于是。这就证明了是解向量组的一个极大线性无关部分组。再由矩阵的秩的定义可知命题成立。证毕。基础解系的求法我们只要找到齐次线性方程组的各自有未知量，就可以获得它的基础解系。具体地说，我们先通过初等行变换把系数矩阵化为阶梯形，那么阶梯形的非零行数就是系数矩阵的秩。把每一个非零行最左端的未知量保留在方程组的左端，其余个未知量移到等式右端，再令右端个未知量其中的一个为1，其余为零，这样可以得到个解向量，这个解向量构成了方程组的基础解系。例 求数域上的齐次线性方程组的一个基础解系。解 用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形：，于是r，基础解系中有 r个向量。写出阶梯形矩阵所对应的方程组移项，得（1）、取，得一个解向量；（2）、取，得另一解向量.即为方程组的一个基础解系，方程组的全部解可表示为.解毕。非齐次线性方程组的解的结构设给定一个一般线性方程组 （*）于是其系数矩阵和增广矩阵分别为和。定理 (数域K上线性方程组有解的判别定理) 对于数域K上的线性方程组（*），若rr，则方程组无解；rr，则有唯一解；rr，则有无穷多解。证明 写出线性方程组的向量形式，其中，。若rr，则由矩阵秩的定义，可知列向量组的秩小于列向量的秩，即向量组的秩小于向量组的秩。只需证明不可以被向量组线性表出即可证明方程组无解。事实上，若可以将线性表出，则向量组与线性等价，则两个向量组的秩相等，矛盾于向量组的秩小于向量组的秩。所以不能将线性表出，方程组无解得证。若rr，则的极大线性无关部分组就是的极大线性无关部分组。于是能被线性表出，即线性方程组有解。任取线性方程组的一个解向量，记为，对于线性方程组的任意一个解向量，是由原方程组系数矩阵所对应的齐次线性方程组（称为线性方程组（*）的导出方程组）的解向量。事实上，可以分别将和带入（*），再将对应方程相减，即可证明上述结论。反过来，容易证明，对于导出方程组的每一个解向量，都是线性方程组（*）的解向量。以记导出方程组的解向量组成的集合，则（*）的解为.详言之，记导出方程组的基础解系为，则（*）的解为：.如果rr，则，故方程组（*）有唯一解；如果rr，则为无穷集合，故方程组（*）有无穷多解。第一学期第八次课第二章 4矩阵的运算2.4.1矩阵运算的定义定义（矩阵的加法和数乘） 给定两个矩阵， ，和加法定义为；给定数域中的一个元素，与的数乘定义为.定义（矩阵的乘法） 给定一个矩阵和一个矩阵， ，和的乘法定义为.2.4.2 矩阵的运算（加法、数乘、乘法、转置）的性质命题 矩阵和定义在矩阵上的运算满足如下运算规律（其中均为上的矩阵，为数域中的元素）（1） 加法结合律 ；（2） 加法交换律 ；（3） 数乘结合律 ；（4） 数乘分配律 ；（5） 乘法结合律 ；（6） 乘法分配律 ；（7） ;（8） 。2.4.3 矩阵的和与积的秩命题 矩阵的运算与秩的关系满足如下性质（其中均为数域上的矩阵，为中的元素）：（1） 若，则rr；（2） rr；（3） rrr证明 （1）和（2）显然成立。关于（3），由矩阵的秩的定义，只需要证明的列向量组的秩小于等于的列向量组的秩加上的列向量组的秩即可。的列项量可以被和的所有列向量线性表出，于是的秩小于等于所有列向量的所组成的向量组的秩，小于等于秩的和。于是命题成立。命题 设分别为矩阵和一个矩阵，则rminrr证明 由矩阵乘法的定义，有.的列向量（记为）可表示为，（），于是每一个列向量都可以写成的列向量组的线性组合，故rr；同理可证，rr，于是rminrr。命题 rrr.证明 记，设的列向量为，则的列向量可以表示为 . （1）设的列向量的一个极大线性无关部分组为，任取的一个列向量，存在，使得， 将（1）式代入，得到，于是是方程组的一个特解。设齐次线性方程组的基础解系为，由线性方程组理论知，方程的解可以表示为，其中，由，是方程的解，于是的列向量可以被向量组线性表示，于是rrr，即rrr. 证毕。定义 阶方阵自左上角到右下角这一条对角线称为的主对角线。主对角线上的个元素的连加称为的迹。第一学期第九次课第二章 5 n阶方阵2.5.1 n阶方阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵，初等矩阵，对称、反对称、上三角、下三角矩阵定义（数域上的阶方阵） 数域上的矩阵成为上的阶方阵，上全体阶方阵所成的集合记作。定义（阶对角矩阵、数量矩阵、单位矩阵） 数域上形如的方阵被称为n阶对角矩阵，与其他矩阵相乘，有；。形如的方阵被称为n阶数量矩阵，与其他矩阵相乘，有；。矩阵被称为n阶单位矩阵，记作，有；。我们记第i行第j列为1，其余位置全为零的n阶方阵。定义 初等矩阵我们把形如其中对角线上除了第i个元素为k以外，全为1，其他位置全为0的矩阵和形如其中对角线上的元素全为1，第i行j列位置上为k，其余位置都为0的矩阵和形如其中对角线上的元素除了第i和第j个元素为零外，都为1，第i行第列和第（n-i）行第（n-j）列位置上为1，其余位置均为零的矩阵称为初等矩阵，分别用，来表示。初等矩阵都是由单位阵经过一次初等变换得到的。定义 对称矩阵、反对称矩阵设为数域K上的n阶方阵，若，称A为对称矩阵；若，则称为反对称矩阵。若为数域上的阶对称（反对称）矩阵，则仍为K上的n阶对称（反对称）矩阵，其中。定义 上三角、下三角矩阵数域K上形如的n阶方阵被称为上三角矩阵；形如的n阶方阵被称为下三角矩阵。对于n阶上（下）三角矩阵，同样有若为数域K上的n阶上（下）三角矩阵，则仍为K上的n阶上（下）三角矩阵，其中。命题 矩阵的初等行（列）变换等价于左（右）乘初等矩阵；证明 我们分别考察三种初等矩阵对于，有，等价于初等行变换中将第i行乘以一个非零数，等价于初等列变换中将第i列乘以一个非零数；对于，有等价于初等行变换中将第j行加上第i行的k倍，等价于初等列变换中将第j列加上第i列的k倍；对于，有，等价于初等行变换中互换i，j两行，而等价于初等列变换中互换i，j两列。于是初等行（列）变换可以等价为左（右）乘初等矩阵。证毕。定理 一个方阵是满秩的当且仅当它能表示为初等矩阵的乘积。证明 必要性 经过初等变换可以将一个满秩n阶矩阵（记为A）化为对角形，由初等变换与乘初等矩阵的等价性，可知存在初等矩阵和，使得，由于初等变换存在逆变换，于是可知用初等变换的逆变换可以将单位矩阵化为满秩矩阵A，于是，存在n阶初等矩阵和，使得，由矩阵运算的结合律和单位矩阵的性质，可以知道，必要性证毕。 充分性 若可以表示成为初等矩阵的乘积，则，表示可由阶单位阵经过次初等变换得到，于是满秩。证毕。推论 设是满秩矩阵，对于任意矩阵，有rr，rr（只要乘法有意义）.证明 由于满秩矩阵可以写作初等矩阵的乘积，于是存在初等矩阵，使得，于是，由初等矩阵于初等变换的等价关系，相当于对B做r次初等行变换。由于初等变换不改变矩阵的秩，所以rr；同理，rr。证毕。第一学期第十次课2.5.2可逆矩阵，方阵的逆矩阵1、可逆矩阵，方阵的逆矩阵的定义定义 设A是属于K上的一个n阶方阵，如果存在属于K上的n阶方阵B，使，则称B是A的一个逆矩阵，此时A称为可逆矩阵。2、群和环的定义定义 设A是一个非空集合。任意一个由到A的映射就成为定义在A上的代数运算。定义 设G是一个非空集合。如果在G上定义了一个代数运算（二元运算），称为乘法，记作，而且它适合以下条件，那么就成为一个群：1、 乘法满足结合律对于G中的任意元素a,b,c有 ；2、 存在单位元素，对于任意，满足 ；3、 对于任意，存在，使得 。关于群的性质，我们有如下命题：命题 对于任意，同样有证明 对于，存在，使得，两端右乘，得到。命题 对于任意，同样有证明 。命题 单位元素唯一证明 假设存在，均是单位元素，则。命题 对于任意，存在唯一，使得 ，于是元素就称为的逆元素，记为。证明 设存在，满足条件，则。易知，。命题 对于G中的任意元素a,b，方程有唯一解。定义 一个群G称为一个交换群（Abelian Group），若定义在上面的代数运算满足交换律，即对于任意，都有。定义 设L是一个非空集合，在L上定义了两个代数运算，一个叫加法，记为a+b，一个叫乘法，记为ab。如果具有性质：（1）、L关于加法成为一个交换群；（2）、乘法满足结合律，即，有；（3）、乘法关于加法满足分配律，即，有那么L就称为一个环。命题 数域上的阶可逆矩阵的全体关于矩阵的乘法构成群，称为上的一般线性群，记为GL；数域上的阶方阵的全体关于矩阵的加、乘法构成环，称为上的全矩阵环，记为M；证明 按定义逐项验证即可。其中GL中乘法的单位元是n阶单位矩阵，而M中加法的单位元是n阶零方阵。命题 证明 ，由逆矩阵的唯一性可知，命题成立。命题 假设n阶可逆方阵A的逆矩阵是B，则是的逆矩阵。证明 只需要证明即可。事实上，于是命题得证。命题 矩阵可逆当且仅当满秩；证明 必要性 若n阶方阵A可逆，则存在n阶方阵B，使得，于是有，于是；充分性 若n阶方阵满秩，则A可以表为初等矩阵的乘积，即存在初等矩阵，使得。只需要证明初等矩阵是可逆的。事实上，；，所以由命题 。证毕。2.5.3用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵，矩阵方程和的解法（为可逆阵）1、 用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵如果A可逆，则A满秩。于是A可以经过初等行变换化为对角形，即，则。于是，对单位矩阵做与把A化为标准形相同的初等行变换（由矩阵乘法和初等变换的等价性可以知道这是可行的）就可以得到A的逆矩阵，不妨把可逆矩阵A和单位矩阵E并在一起，得到，对A进行初等行变换，将其化为对角形，即得到；同样地，将可逆矩阵和单位矩阵拼成如下形状，进行初等列变换，同样可以得到。2、关于矩阵方程和的解法（其中为可逆阵）a、关于矩阵方程，其中A是一个矩阵，X和B是矩阵。由关于群性质，可以知道，于是将A和B并排拼成一个矩阵，进行初等行变换，将A化为单位矩阵，于是可以得到；b、关于矩阵方程，其中A是一个矩阵，X和B是矩阵。 同样地，我们将A和B拼为，可以得到方程的解。例 设和为数域上的和矩阵，则rr+r证明 存在和初等矩阵，使得，其中D为A在初等变换的下标准形，记为的秩。令,则。Q和P均为满秩方阵，则， 记为，则=，于是的秩为前s个行向量的秩。而可以被前s个行向量的极大线性无关部分组和的后n-s个向量线性表示，于是，于是。证毕。第一学期第十一次课第二章 6分块矩阵2.6.1分块矩阵的乘法，准对角阵的乘积和秩1、矩阵的分块和分块矩阵的乘法设A是属于K上的矩阵，B是K上矩阵，将A的行分割r段，每段分别包含个行，又将A的列分割为s段，每段包含个列。于是A可用小块矩阵表示如下： ，其中为矩阵。对B做类似的分割，只是要求它的行的分割法和A的列的分割法一样。于是B可以表示为，其中是的矩阵。这种分割法称为矩阵的分块。此时，设，则C有如下分块形式：，其中是矩阵，且。 定义 称数域K上的分块形式的n阶方阵为准对角矩阵，其中为阶方阵（），其余位置全是小块零矩阵。2、分块矩阵的一些性质命题 阶准对角矩阵有如下性质：（1）、对于两个同类型的n阶准对角矩阵（其中同为阶方阵），有；（2）、；（3）、A可逆可逆，且。命题 分块矩阵的秩大于等于与的秩的和。证明 记，设A为矩阵，B为矩阵， A在初等变换标准形为，；B在初等变换下的标准形为，则对M前m行前n列做初等变换，对它的后k行后l列也做初等变换，这样可以把M化为。现在利用左上角的“1”经过初等列变换消去它右边位置中的非零元；再用左上角的“1”经过初等行变换消去它上面处的非零元素，于是把再化作。则有。证毕。容易得出，对于矩阵，也有同样的性质。对于上述和，如果，则；如果，则。命题 设、为数域上的三个可以连乘的矩阵，则rrr r证明 假设A、B、C分别为、和矩阵。令，考虑由可逆矩阵乘法的性质（命题 ）和命题 可以知道，2.6.2矩阵分块技巧的运用（挖洞法）和其应用可逆矩阵的分块求逆1、挖洞法设，其中A为矩阵，B为矩阵，C为矩阵，D为矩阵。不妨设A可逆，取，则，取，则。由于分块矩阵的乘法形式上与普通矩阵相同，所以也可以用左乘（或右乘）一个适当的分块方阵来读一个分块矩阵做类似的变换。但是要注意：（1）、两个小块矩阵相乘时必须遵守左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数这一原则；（2）、两个小块矩阵相乘成不能交换次序，要分清那个在左，那个在右。2、矩阵的分块求逆设方阵，其中A可逆。令，记，若M可逆，则N可逆，于是可逆。，求得。第一学期第十二次课第三章 1，2 阶方阵的行列式3.1.1平行四边形的有向面积和平行六面体的有向体积具有的三条性质在解析几何中已证明，给定二维向量空间中的单位正交标架，设向量的坐标分别为和，则由向量张成的平行四边形的有向面积为，这里记为；给定三维空间内右手单位正交标架，设向量的坐标分别为、和，则由向量张成的平行六面体的有向体积为。我们引入如下记号：对于二阶方阵，定义；对于三阶方阵，定义。不难发现，（有向面积与有向体积）满足以下三条性质：（1）、如果的某行或某列换为两个向量的线性组合，则，其中分别为把该行（列）换为所得的阶方阵；（2）、如果不满秩，则；（3）、当为单位矩阵时，。3.1.2利用上述三条性质定义阶方阵的行列式函数的det定义 线性函数若满足如下条件：对中任意向量(写成横排形式)以及K中任意数k，都有=+；=，则称为上的一个行线性函数。设满足如下条件对中任意向量（写成竖排形式）以及K中任意数k，都有；，则称为上的一个列线性函数。同样地，行（列）线性函数的定义还可以写作，有=+和。容易证明它们与上面定义的等价性。定义 反对称线性函数记号如上，若列线性函数f满足，则称f为列反对称函数。定理 设为列线性函数，则下述四条等价：i）、反对称；ii）、；iii）、；iv）、若M不满秩，则。证明 i）ii） 若反对称，则，于是。ii）iii） 若，由于列线性，则iii）iv） 若，则由已知，不满秩矩阵必有一个列向量可以被其他列向量线性表出。若记M的列向量为，则必存在一个，满足，其中，于是。iv）ii） 矩阵不满秩，则。ii）i） 若，则，于是，则有。证毕定义 函数被称为一个行列式函数，当且仅当满足下列3条性质：1、列线性；2、反对称；3、。2.3.3行列式函数的存在性与唯一性引理 设和为烈现行反对称函数，。则若经过相同的初等列变换化为和，则。证明 由初等变换的可逆性，只需证“”。只需分别对三类基本初等列变换进行证明。定理 行列式函数存在且唯一。证明 首先证明若行列式函数存在，则唯一。设是行列式函数，若A不满秩，则；若A满秩，则可以经过初等列变换化为， ，于是由引理，即和在上取值相等，于是。唯一性证毕。再证明行列式函数的存在性。定义函数det如下：设，定义；设在集合内函数已定义，那么，对，定义其中表示划去A的第i行和第j列后所剩的n-1阶方阵的值，为。用记号来代表，如果，可以写成下面要证明上述定义的函数是行列式函数，从而说明了行列式函数的存在性。对作归纳，可分别证明； 是列线性函数和反对称，于是是行列式函数。命题 行列式函数是行线性函数。证明 对作归纳。3.2.4行列式的六条性质命题 行列式函数满足以下六条性质：1、；2、， 类似地，对行向量，有 ；3、若A的某列（行）为两列（行）之和，则为两个相应的行列式之和；4、A不满秩，则，特别地，A有两行（列）相等，则；5、将A的一行（列）的若干倍加到B的另一行（列）上去，行列式值不变；6、两行（列）互换，行列式反号。第一学期第十三次课第三章 2 阶方阵的行列式（续）3.2.5行列式的按任意列展开和特殊矩阵的行列式1、行列式的按任意行（列）展开定义 命，称为的代数余子式。命题 按行列式的第行展开，有。 证明 将第行先后与第行交换，再展开。推论 行列式按第行展开，有。2、范德蒙行列式形如的行列式称为范德蒙行列式。命题 。证明 对作归纳。3、准对角阵的行列式命题 。证明 对作归纳。推论 。推论 。4、可微函数的方阵的行列式的微商命题 设在上可导，则。证明 对作归纳。第一学期第十四次课第三章 3行列式的初步应用3.3.1行列式的应用：用行列式求逆矩阵；克莱姆法则定义 设矩阵，矩阵称为的伴随矩阵。由行列式的性质容易证得，其中，为Kronecker记号。于是有命题 对于阶满秩方阵，有，若，则。考察线性方程组，将其记为，若满秩，则，而，就是把的第列换成后的行列式，记，于是有：定理 若数域上的个未知量个方程的线性方程组的系数矩阵的行列式，则它有唯一的一组解。这个定理称为Cramer法则。3.3.2矩阵乘积的行列式、用矩阵的子式的行列式刻画矩阵的秩命题 设，则。证明 对讨论满秩与不满秩的情况。定义 设，取，称为的一个阶子式，记为。引理 存在非零的阶子式。证明 “” 若，则由矩阵的秩的定义，存在个线性无关的行向量，设它们为行，取它们构成一个秩为的矩阵存在个线性无关的列向量，设它们为列，于是；“” 若存在，则此子式的个列向量线性无关，将它们扩充成为原矩阵的第，它们仍线性无关。证毕。命题 对于上的阶方阵，当且仅当存在某个阶子式不等于零，但所有阶子式都等于零。证明 “” 若，则由引理，存在某个阶子式不等于零。若存在某个阶子式不等于零，则由引理，矛盾于，必要性得证；“” 若对于，存在某个阶子式不等于零，则，而但所有阶子式都等于零，则，于是，证毕。第一学期第十五次课第三章 4行列式的完全展开式3.4.1一些基本概念定义 给定个互不相同的自然书，把它们按一定次序排列起来：，称为该个自然数的一个排列。在上述排列中，如果有一个较大的自然竖排在一个较小的自然数前面，则称为一个反序。一个排列中包含的反序的总数称为该排列的反序数。排列的反序数计作。一个排列的反序数为奇数时，该排列称为奇排列；如果反序数时偶数，则称为偶排列。的算法给定个自然数，按大小顺序排列：，现在把它们按任意次序重排，得元排列，这个排列的反序数可用下法计算：先找出排在前面的数字有多少，设为，然后划去，再看前面未划去的数字有多少，设为，然后划去，再看前面未划去的数字有多少，设为，然后划去，经过次后，即得。命题 给定数域上的矩阵，（），取定个自然数，按大小次序排列：，又设是这个自然数的一个排列，则。推论 将命题中的互换，则其奇偶性发生变化。定理 数域上的阶行列式有如下展开式。证明 令，证明是行列式函数。推论 设，则。第一学期第十六次课期中考试第一学期第十七次课第四章 线性空间与线性变换1 线性空间的基本概念4.1.1线性空间的定义及例1、线性空间的定义定义4.1 线性空间设V是一个非空集合，且V上有一个二元运算“+”，又设K为数域，V中的元素与K中的元素有运算数量乘法“”，且“+”与“”满足如下性质：1、 加法交换律 ，有；2、 加法结合律 ，有；3、 存在“零元”，即存在，使得；4、 存在负元，即，存在，使得；5、 “1律” ；6、 数乘结合律 ，都有；7、 分配律 ，都有；8、 分配律 ，都有，则称V为K上的一个线性空间，我们把线性空间中的元素称为向量。注意：线性空间依赖于“+”和“”的定义，不光与集合V有关。2、零向量和负向量的唯一性，向量减法的定义，线性空间的加法和数乘运算与通常数的加、乘法类似的性质命题4.1 零元素唯一，任意元素的负元素唯一。证明： 设与均是零元素，则由零元素的性质，有； ，设都是的负向量，则，于是命题得证。由于负向量唯一，我们用代表的负向量。 定义4.2 减法 我们定义二元运算减法“-”如下：定义为。 命题4.2 线性空间中的加法和数乘满足如下性质：1、 加法满足消去律 ；2、 可移项 ；3、 可以消因子 且，则；4、 。3、线性空间的例子例4.1令V表示在上可微的函数所构成的集合，令，V中加法的定义就是函数的加法，关于K的数乘就是实数遇函数的乘法，V构成K上的线性空间。4.1.2线性空间中线性组合和线性表出的定义，向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述，向量组的秩，向量组的线性等价；极大线性无关组定义4.3 线性组合给定V内一个向量组，又给定数域K内s个数，称为向量组的一个线性组合；定义4.4 线性表出给定V内一个向量组，设是V内的一个向量，如果存在K内s个数，使得，则称向量可以被向量组线性表出。定义4.5 向量组的线性相关与线性无关给定V内一个向量组，如果对V内某一个向量，存在数域K内不全为零的数，使得，则称向量组线性相关；若由方程必定推出，则称向量组线性无关。命题4.3 设，则下述两条等价：1）线性相关；2）某个可被其余向量线性表示。证明同向量空间。定义4.6 线性等价给定V内两个向量组 （）， （），如果（）中任一向量都能被（）线性表示，反过来，（）中任一向量都能被（）线性表示，则称两向量组线性等价。定义4.7 极大线性无关部分组给定V内一个向量组，如果它有一个部分组满足如下条件：（i）、线性无关；（ii）、原向量组中任一向量都能被线性表示，则称此部分组为原向量组的一个极大线性无关部分组。由于在向量空间中我们证明的关于线性表示和线性等价的一些命题中并没有用到的一些特有的性质，于是那些命题在线性空间中依然成立。定义4.8 向量组的秩一个向量组的任一极大线性无关部分组中均包含相同数目的向量，其向量数目成为该向量组的秩。例4.2 求证：向量组的秩等于2（其中）证明：方法一：设，满足，则，假若不全为零，不妨设，则有，而由于，等号左边为严格单调函数，矛盾于等号右边为常数。于是。所以线性无关，向量组的秩等于2。证毕。方法二：若在上，两端求导数，得，以代入，而，于是。证毕。第一学期第十八次课4.1.3 线性空间的基与维数，向量的坐标 设V是数域K上的线性空间，定义4.9 基和维数如果在V中存在n个向量，满足：1）、线性无关；2）、V中任一向量在K上可表成的线性组合，则称为V的一组基。基即是V的一个极大线性无关部分组。基的个数定义为线性空间的维数。命题4.4 设V是数域K上的n维线性空间，而。若V中任一向量皆可被线性表出，则是V的一组基。证明：由与V的一组基线性等价可以推出它们的秩相等。命题4.5 设V为K上的n维线性空间，则下述两条等价：1）、线性无关；2）、V中任一向量可被线性表出。定义4.10 向量的坐标设V为K上的n维线性空间，是它的一组基。任给，由命题 ，可唯一表示为的线性组合，即，使得 ，于是我们称为在基下的坐标。易见，在某组基下的坐标与V/K中的向量是一一对应的关系。第一学期第十九次课4.1.4线性空间的基变换，基的过渡矩阵设V/K是n维线性空间，设和是两组基，且将其写成矩阵形式，定义4.11 我们称矩阵为从到的过渡矩阵。命题4.6 设在n维线性空间V/K中给定一组基。T是K上一个n阶方阵。命则有是V/K的一