数学建模初步2007.4.ppt

数学建模初步 数学模型的分类 数学建模的基本方法和步骤 什么是数学模型 数学建模示例 什么是数学模型 玩具 照片 飞机 火箭模型 实物模型 水箱中的舰艇 风洞中的飞机 物理模型 地图 电路图 分子结构图 符号模型 什么是数学模型 模型是为了一定目的 对客观事物的一部分进行简缩 抽象 提炼出来的原型的替代物 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征 什么是数学模型 对于一个现实对象 为了一个特定目的 根据其内在规律 作出必要的简化假设 运用适当的数学工具 得到的一个数学结构 建立数学模型的全过程 包括假设 表述 求解 解释 检验等 数学模型 数学建模 当今人类面临的五大问题 1 人口问题 2 工业化的资金问题 3 粮食问题 4 不可再生的资源问题 5 环境污染问题 即生态平衡问题 人口问题名列榜首 例人口增长模型 建立人口增长的数学模型 用以描述人口增长过程 通过分析对人口增长进行预测 制定相应的人口政策以控制人口增长 于国于民均有利 始于1798年 Malthus提出了Malthus人口模型 例人口增长模型 1838年 P F Verhust 得出了Logistic模型 1924年 G V yule于引入概率观点对人口问题进行研究 20世纪40年代后 各种比较精细的人口模型建立起来 按龄离散人口模型由P H Leslie在1945年完成 按龄连续型人口模型在1959年由Van H Fpoerster提出 近年来我国学者为了解决我国人口迅猛增长问题 作了大量调查研究 建立了不少人口模型 为国家制定相应的人口政策提供依据 影响因素 人口的基数 出生率和死亡率 工农业生产水平 性别比例 年龄结构 医疗水平 环境污染 只考虑影响人口增长的主要因素 增长率 出生率减去死亡率 及人口基数 设表示t时刻人口总数和增长率 则在t到这段时间内人口总数增长为 两端同除以 并令 有 Malthus模型 假设 人口增长率是一个常数 令 常数 得 其解为 检验 据统计1961年全世界人口总数为 在此之前的10年人口按每年2 的速率增长 因此 于是 这个公式非常准确地反映了在1700 1994年期间世界估计人口总数 预测 p 2510 2 000 000 亿 p 2670 36 000 000 亿 星球的总表面积约18 600 000亿ft2 80 被水覆盖 到2510年 每人占地面积只有9 3ft2 到2670年 每人占地面积只有0 5167ft2 显然 这些数字说明Malthus人口模型对长期预测是不正确的 模型改进 Logistic模型 Malthus模型中关于人口增长率为常数这一假设不怎么合理 应将净增长率r看成人口数N的线性函数 设r N a cN 并设r 0 r 且存在一个数值K使r K 0 即有 求解得r N r 1 N K 因此 模型分析 得到Logistic模型 据生物学家估计 r的自然值为0 029 1961年人口总数为时 人口的增长速率为2 由此可得地球上的人口总数的极限值为 美国人口的增长 就符合Logistic模型 皮尔 Pearl 和里德 Reed 提出的美国人口增长的数学模型为 检验 表11790 1950年美国人口总数 1845年弗胡斯特曾预言比利时人口的最大值为660万人 法国人口的最大值为4000万人 但在1930年比利时人口已经达到809万人 二者相差很大 经过分析 因为在当时比利时的工业飞速发展 使得比利时有足够的财富供养更多的人口 因此 在比利时工业飞速发展以后 对比利时的Logistic人口模型中的K应作适当调整 检验 表11790 1950年美国人口总数 法国1930年的人口总数同弗胡斯特的预测十分一致 这又证明了Logistic人口模型的正确性 检验 几点说明 解决一个实际问题所建立的数学模型不是一成不变的 应随情况的改变而改变 一个国家工业化的发展 环境污染状况以及社会风尚 人口素质等因素都对生命系数r和K有重大影响 因此 这些系数随着时间的推移每过几年都应重新估计一次 在Malthus模型和Logistic模型中 把人口总数看作是处于同等地位的成员组成的 要建立更精确的数学模型 应当根据成员的年龄分组 另外还应当把人口总数的成员按男性和女性分开 新产品的销售量变化规律一种新产品进入市场以后 产品的销售量一般会经过 先增后逐渐平稳略有下降 的一个过程 这称为产品的生命周期 怎样使用数学模型来描述新产品的销售量的变化过程呢 一个数学建模示例 1 问题分析促使消费者去购买该商品的信息传播途径 1 来自消费者以外的信息 2 来自消费者内部的信息 新产品的销售量变化规律 2 合理假设 1 设潜在的消费者人数为N x t 为t时刻购买了该产品的人数 并且认为变量x t 随时间变化是连续的 2 购买者增量由两部分组成 一是由外部信息导致消费者增加 其增量记为 二是由内部信息导致消费者增加 记为 3 由外部信息导致消费者增量与未购买者人数成正比4 由内部信息导致购买者增量与已购买者人数和未购买者人数之积成正比 3 建立数学模型 由假设3 可得 由假设4 可得 再由假设2 知 因此 4 模型求解 求解上页的微分方程 得 该问题解含有未知参数 如何确定它们呢 方法是采样 收集某产品从推向市场以来其销售情况的统计数据 根据数据分析 用最小二乘法将模型中的未知参数辨识出来 4 模型求解 例如 使用某产品一段时期的销售统计数据 对模型中的参数进行参数辨识 得到 产品销售量曲线 基本反映出产品的生命周期 先增后逐渐平稳略有下降 5 模型检验 解曲线或图形 是否能应用于实际 能否预测产品在今后一段时期内的销售情况 关键取决于对模型的检验 产品销售量的理论曲线与实测数据的误差能否通过检验 数学模型的分类 应用领域 人口 交通 经济 生态 数学方法 初等数学 微分方程 规划 统计 表现特性 描述 优化 预报 决策 建模目的 了解程度 白箱 灰箱 黑箱 确定和随机 静态和动态 线性和非线性 离散和连续 数学建模的基本方法和步骤 数学建模的基本方法 机理分析 测试分析 根据对客观事物特性的认识 找出反映内部机理的数量规律 将对象看作 黑箱 通过对量测数据的统计分析 找出与数据拟合最好的模型 二者结合 用机理分析建立模型结构 用测试分析确定模型参数 数学建模的全过程 现实对象的信息 数学模型 现实对象的解答 数学模型的解答 归纳 演绎 实践 现实世界 数学世界 数学建模的一般步骤 数学建模的一般步骤 模型准备 了解实际背景 明确建模目的 搜集有关信息 掌握对象特征 形成一个比较清晰的 问题 模型假设 针对问题特点和建模目的 作出合理的 简化的假设 在合理与简