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3 1 2用二分法求方程的近似解 问题提出 1 函数有零点吗 你怎样求其零点 2 对于高次多项式方程 在十六世纪已找到了三次和四次方程的求根公式 但对于高于4次的方程 类似的努力却一直没有成功 到了十九世纪 根据阿贝尔 Abel 和伽罗瓦 Galois 的研究 人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式 即不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解 同时 即使对于3次和4次的代数方程 其公式解的表示也相当复杂 一般来讲并不适宜作具体计算 因此对于高次多项式函数及其它的一些函数 有必要寻求其零点的近似解的方法 知识探究 一 二分法的概念 思考1 有12个大小相同的小球 其中有11个小球质量相等 另有一个小球稍重 用天平称几次就可以找出这个稍重的球 思考2 已知函数在区间 2 3 内有零点 你有什么方法求出这个零点的近似值 思考3 怎样计算函数在区间 2 3 内精确到0 01的零点近似值 思考4 上述求函数零点近似值的方法叫做二分法 那么二分法的基本思想是什么 对于在区间 a b 上连续不断且f a f b 0的函数y f x 通过不断地把函数f x 的零点所在的区间一分为二 使区间的两个端点逐步逼近零点 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 知识探究 二 用二分法求函数零点近似值的步骤 思考1 求函数f x 的零点近似值第一步应做什么 思考2 为了缩小零点所在区间的范围 接下来应做什么 确定区间 a b 使f a f b 0 求区间的中点c 并计算f c 的值 思考3 若f c 0说明什么 若f a f c 0或f c f b 0 则分别说明什么 若f c 0 则c就是函数的零点 若f a f c 0 则零点x0 a c 若f c f b 0 则零点x0 c b 思考4 若给定精确度 如何选取近似值 当 m n 时 区间 m n 内的任意一个值都是函数零点的近似值 理论迁移 例2用二分法求方程的近似解 精确到0 1 根据上表可知f 1 f 2 0 说明函数在区间 1 2 内右零点 总结 用二分法求函数零点近似值的基本步骤 3 计算f c 1 若f c 0 则c就是函数的零点 2 若f a f c 0 则令b c 此时零点x0 a c 3 若f c f b 0 则令a c 此时零点x0 c b 2 求区间 a b 的中点c 1 确定区间 a b 使f a f b 0 给定精度 作
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