1 集合与绝对值不等式.doc

高一数学典型题型讲解 Creator Xianneng Luo集合1.集合点、线、面等概念都是几何中原始的、不加定义的概念，集合则是集合论中原始的、不加定义的概念.一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.一般用大括号表示集合。例如“汽车，飞机，轮船”等交通运输工具组成的集合可以写成汽车、飞机、轮船为了方便.我们还通常用大写的拉丁字母A、B、C表示集合，例如Aa,b,c。2.集合中的元素集合中的每个对象叫做这个集合的元素.例如“中国的直辖市”这一集合的元素是：北京、上海、天津、重庆.集合中的元素常用小写的拉丁字母a,b,c，表示.如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作aA；如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A.3.集合中元素的特性(1)确定性 对于集合A和某一对象x，有一个明确的判断标准是xA，还是x A，二者必成其一，不会模棱两可.例如：“著名的数学家”，“漂亮的人”这类对象，一般不能构成数学意义上的集合，因为找不到用以判别每一具体对象是否属于集合的明确标准.(2)互异性对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的；因此，集合中的相同元素只能算作一个。如方程x2-2x+1=0的两个等根，x1x21，用集合记为，而不写为1，1，如果把集合，2,3,4的元素合并起来构成一个新集合，那么新集合只有1，2，3，4这四个元素.(3)无序性 集合中的元素是不排序的。如集合1，2与2，1是同一个集合，但实际上在书写时还是按一定顺序书写的，如-1，0，1，2而不写成0，1，-1，2，这样写不方便，其更深刻的含义是揭示了集合元素的“平等地位”.4.集合表示法(1)列举法 将集合中的所有元素一一列举出来，写在大括号内.(2)描述法 用描述表示的集合，对其元素的属性要准确理解.例如，集合yy=x2表示函数y值的全体，即yy0；集合xyx2表示自变量x的值的全体，即xx为任一实数；集合x,yy=x2表示抛物线y=x2上的点的全体，是点集(一条抛物线)；而集合y=x2则是用列举法表示的单元素集，也就是只有一个元素(方程y=x2)的有限集.(3)图示法 为了形象地表示集合，我们常常画一条封闭曲线，用它的内部来表示一个集合。例如，如图可表示集合1,2,3,45.特定集合表示法自然数集(或非负整数集)，记作N，自然数集内排除0的集，也称正整数集，记作N*或N+(注意，自然数集包括0)；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；Z，Q，R等数集内排除0的集，分别表示为Z*(或Z+)，Q*(或Q+)，R*(或R+).6.集合的分类有限集：含有限个元素的集合叫做有限集.例如：A1,2,3,4无限集：含有无限多个元素的集合叫做无限集.例如：集合N+空集：不含任何元素的集合称为空集.例如：集合方程x2+2x+3=0在实数范围内的解集.典型例题题型一：集合概念的理解及表示方法例：下列对象能否构成一个集合?指出其中的集合是无限集还是有限集?并用适当的方法表示出来.(1)直角坐标平面内横坐标与纵坐标互为相反数的点；(2)高一数学课本中所有的难题；(3)方程x4+x2+20的实数根；(4)图甲中阴影部分的点(含边界上的点). 图甲 图乙 解：(1)是无限集合.其中元素是点，这些点要满足横坐标和纵坐标互为相反数.可用两种方法表示这个集合：描述法：(x,y)yx；图示法：如图乙中直线l上的点.(2)不是集合.难题的概念是模糊的不确定的，实际上一道数学题是“难者不会，会者不难”.因而这些难题不能构成集合.(3)是空集.其中元素是实数，这些实数应是方程x4+x2+2=0的根，这个方程没有实数根，它的解集是空集.可用描述法表示为：或者xRx4+x2+2=0.(4)是无限集合.其中元素是点，这些点必须落在图甲的阴影部分(包括边界上的点).图甲本身也可看成图示法表示，我们还可用描述表示这个集合；(x,y)-1x2，- y2，且xy0评析 只要对象是确定的，看作一个整体，便形成一个集合，否则，不然.例： 下面六种表示法：(1)x-1，y=2，(2)(x,y)x=-1,y=2，(3)-1，2，(4)(-1，2)，(5)(-1，2)，(6)(x,y)x-1或y2，能正确表示方程组 的解集的是：A. (1)(2)(3)(4)(5)(6) B.(1)(2)(4)(5)C.(2)(5) D.(2)(5)(6)分析 由于此方程组的解是 因而写成集合时，应表示成一对有序实数(-1，2).解：因为(x,y) (x,y) (-1，2)故选C.评析 集合(1)既非列举法，又非描述法.集合(3)表示由-1和2两个数组成的集合.(4)是一个点.(6)中的元素是(-1，y)或(x,2)，x,yR是一个无限集.以上均不合题意.题型二：元素与集合关系的考查例：用符号或 填空.(1)3.14 Q，0 N， Z，(-1)0 N，0 (2)2 xx ，3 xx4， + xx2+ ；(3)3 xxn2+1，nN，5 xxn2+1，nN；(4)(-1，1) yyx2,(-1,1) (x,y)yx2解：(1)、 、 (空集不含任何元素)；(2)2 ，3 4，+ 2+ ，故填 、；(3)令n2+1=3，n n N.令n2+15， n2，2N，故填 、；(4) ，.(因为yyx2中元素是数而(-1，1)代表一个点)题型三：集合表示方式的转换例： 用另一种形式表示下列集合(1)绝对值不大于3的整数(2)所有被3整除的数(3)xxx，xZ且x5(4)x（3x-5）(x+2)(x2+3)0，xZ(5)(x,y)x+y=6，xN+，yN+解：(1)绝对值不大于3的整数还可以表示为xx3，xZ，也可表示为-3，-2，-1，0，1，2，3；(2)xx3n，nZ；(说明：被3除余1的整数可表示为xx=3n+1,nZ)；(3)xx，x0，又xZ且x5，xxx，xZ且x5还可以表示为0,1,2,3,4(4)-2(注意xZ)(5)(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)例5：用另一种形式表示下面的集合：x(2x-1)(x+2)(x2+1)=0,xZ.、错误解答 集合的元素x是由方程(2x-1)(x+2)(x2+1)0的根组成的，解方程，得x ，x-2，x 原集合可以表示为 ，-2， 错误存在于解方程的过程和最后的集合表示当中，解方程时应注意到x2+10，xR，所以，方程的根为x ，x-2.注意到已知条件xz R，才不致造成错误.因为 Z 所以，正确答案应为-2或写作xx=-2.题型四：集合元素唯一性的考查例：在数集中，实数x的取值范围是-思考：例：已知Axxa+b ，a,bZ，分析判断下列元素x与集合A之间的关系：(1)x0，(2)x ，(3)x .分析 x与A的关系只有xA和x A两种.判断x是不是A中的元素，即观察x能否写成a+b (a,bZ)的形式.解：(1)因为00+0 ，所以0A.(2)因为x - ，无论a、b为何整数，a+b - 不能成立，所以x A.(3)因为x 1+2 ，所以 A.评析 研究元素与集合的关系，一要注意集合的表示方法(列举法或描述法)，二要准确判断元素的属性.例： 已知集合Apx2+2(p-1)x+1=0,xR，求一次函数y2x-1，xA的取值范围.分析 关键是理解集合A中元素的属性.p的取值范围必须满足关于x的一元二次方程x2+2(p-1)x+1=0有实数根.解：由已知，4(p-1)2-40.得p2或p0.所以App2或p0.因为xA，所以x2或x0，所以2x-13或2x-1-1，所以y的取值范围是yy-1或y3.子集 全集 补集1.子集(1)集合与集合之间的“包含”与“相等”关系对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或者说集合B包含集合A，记作A B(或A B)；B A(或B A)；当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，记作对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作AB.即若A B，又B A，则AB.(2)子集和真子集若A B(或B A)，则A是B的子集.空集是任何集合的子集，即 A.任何一个集合是它本身的子集.即A .对于两个集合A与B，若A B，并且AB，则A是B的真子集，记作A B(或B A).空集是任何非空集合的真子集.若A B，B C，则A C； 若A B，B C，则A C.2.集合相等的概念教材中是用“A B且B A，则AB”来定义的，实际上也可以说当集合A与B的元素完全相同时，则AB.教材中的定义实际上给出了一种证明两个集合相等的方法：即欲证AB，只需证A B与B A都成立即可.3.全集如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，由U来表示.全集具有相对性.4.补集(1)补集是以“全集”为前提而建立的概念，而全集又是相对于所研究的问题而言的一个概念；只要包含研究问题的全体元素的集合都可作为全集.(2)所谓CUAxxU但x A，A U就是说从全集U中取出集合A的全部元素之后，所有剩余的元素组成的集合就是CU.(3)由定义有如下关系：CU(CUA)A，CUU ，CU U典型例题题型一：集合间相互关系判定例:设全集为R，集合Axx1，Bx 0则( )A.A B B.B A C.CRA B D.A CRB解：解不等式x1得Ax-1x1，解不等式 0得Bxx2.CRBxx2A CRB，选D.评析 此题是基础题，主要考察了学生对子集、补集的概念及运算的认识.题型二：集合个数的计算例:已知集合M 1，2，3，4，且M中至多有二个奇数，求这样的集合M的个数.分析 必须明确题意：(1)“M 1，2，3，4”，说明M是1，2，3，4的子集；(2)“M中至多有二个奇数”，说明集合M可以分为四类：第一类是空集；第二类是不含奇数的集合；第三类是只含一个奇数的集合；第四类是含有二个奇数的集合.明确以上二点，问题就能迎刃而解了.解：第一类： ；第二类：，4，2，4；第三类：1，2，1，4，2，3，3，4，1，3，1，2，4，3，2，4；第四类：1，2，3，1，3，4，1，2，3，4，1，3.这样的集合M共有16个. 例：已知集合，则包含的S的子集共有几个？题型三：补集与全集关系考查例：已知全集S1，3，x3+3x2+2x，A1,2x-1，如果CSA0，则这样的实数x是否存在?若存在，求出x；若不存在，请说明理由.分析 必须抓住问题的关键：CSA0.它有两层意思，即0S，但0 A.这样，解题思路就清楚了.解：CSA0，0S，但0 A.x3+3x2+2x=0 x(x+1)(x+2)=0即 x1=0，x2-1，x3-2.当x0时，2x-11，A中已有元素1；当x-1时，2x-13，3S；当x=-2时，2x-15，但5 S.实数x的值存在，它只能是-1.评析 解答此题时，我们由CSA0，求出x0或x=-1或x=-2之后，验证其是否符合题目的隐含条件A S是很必要的，否则就会误认为x=0，或x=-2也是所求的实数x，从而得出错误的结论.集合概念及其基本理论是近、现代数学最基本的内容之一。题型四：利用集合相等的概念解题例：已知集合Am、m+d、m+2d，集合Bm、mq、mq2，其中m0且AB，求q的值.分析 根据两集合相等的定义和集合的属性，寻求方程，解出p的值.解：假设 则由(2)-(1)得：d=m(q2-q)，代入(1)中，整理得q2-2q+1=0，即q=1，于是m=mq=mq2，与集合元素的互异性矛盾.所以假设不成立；只能有 解之得q1- ，q21(舍)，所以q- .评析 在确定含参数集合问题时，一方面要根据条件，寻求等式；另一方面要注意充分利用集合元素的确定性、互异性、无序性，求参数q的值.题型五：利用集合包含概念求解字母参数范围例:关于实数的不等式x- 与x2-3(a+1)x+2(3a+1)0(aR)的解集分别为A与B，求使A B的a的取值范围.解法1：由已知，Ax2axa2+1.设f(x)x2-3(a+1)x+2(3a+1),A B的充分必要条件是f(x)=0的根分别在区间(-，2a与a2+1,+，于是，解得1a3，或a=-1.1a3，或a-1.aa1a3，或a=-1.解法2：由已知，Ax2axa2+1，a2+12a恒成立，A.若3a+12，则Bx2x3a+1.若3a+12，则Bx3a+1x2. B的充分必要条件是：或 解得1a3，或a-1.aa1a3，或a-1.交集并集 1.交集由所有既属于集合A又属于集合B的元素所成的集合，叫做A与B的交集，记作AB，即ABxxA，且xB.可这样理解：交集AB是由两集合A与B的“公有”元素所组成的集合.用韦恩图表示如图.易知：(1)若两集合A与B无公共关系，则AB ；(2)AB A，AB B；(3)AAA，A ，ABBA；(4)若A B，则ABA；若ABA，则A B；(5)设U为全集，则A(CUA) .2.并集由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作AB，即ABxxA，或xB.实际上，并集AB是由两集合A与B的“所有”元素组成的集合.用韦恩图表示如图.易知：(1)A AB，B AB；(2)AAA，A A，ABBA；(3)若A B，则ABB；若ABB，则A B；(4)设U为全集，则A(CUA)U.3.德摩根(DeMorgan)法则CU(AB)(CUA)(CUB)；CU(AB)(CUA)(CUB).该法则可借助韦恩图帮助理解，其证明不作要求.4.用文氏图表示交集、并集、补集有关关系如果A U，B U，利用文氏图表示下面关系：CU(AB)(CUA)(CUB)CU(AB)(CUA)(CUB)典型例题题型一：交并集元素个数问题例：设集合AxZ-10x-1，BxZx5，则AB中的元素个数是( )A.11 B.10 C.16 D.15分析 符号“”是“并集”，即指由A和B中元素合并在一起组成的集合，相同元素只计一次.用列举法知，A-10，-9，-8，-7，-6，-5，-4，-3，-2，-1，B-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，因此，AB-10，-9，5，共含16个元素.选C.例：已知集合A和集合B各含12个元素，AB含有4个元素，试求AB的元素个数.解：设ABU，因为 card (A)12，card(B)12，且card(AB)4，所以 card(AB)card(A)+card(B)-card(AB)12+12-420说明 符号card(A)表示集合A中元素的个数，类似card(AB)等含义相同，它们之间有公式：card(AB)card(A)+card(B)-card(AB).题型二：图形法应用例：试证A(AB)A.证明：A(AB)(AA)(AB)A(AB)A.说明 A AB A(AB)A.例：在全国高中数学联赛第二试中只有三道题，已知(1)某校25个学生参加竞赛，每个学生至少解出一道题；(2)在所有没有解出第一题的学生中，解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍；(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1；(4)只解出一道题的学生中，有一半没有解出第一题，问共有多少学生只解出第二题?分析 本题的条件较多，利用文氏图，设解出第一、二、三道题的学生的集合为A、B、C，并用三个圆分别表示，如右图，则重叠部分表示同时解出两道题或三道题的集合，这样得到七个部分，其人数分别用a,b,c,d,e,f,g表示，然后，根据已知条件列出方程组求出b.解：根据已知条件(1)，(2)，(3)，(4)可得a+b+c+d+e+f+g25,b+f2(c+f),ad+e+g+1,ab+c.代入得a+2b-c+d+e+g25,代入得2b-c+2d+2e+2g24,代入得3b+d+e+g25,2-得4b+c26.由于c0，所以b6 .利用、消去c，得fb-2(26-4b)9b-52.因为f0，所以b5 .则有b6，即只解出第二题的学生有6人.题型三：应用集合运算性质求解例：已知Axx2+x-60,Bxmx+10，且BAA，求实数m的取值范围.错解 Axx2+x-60-3，2，且BAA，B-3，或B2，即-3m+10，或2m+10.故m ,- .分析 问题错在对集合B考虑的不全面，Bxmx+10代表方程mx+10的解集，可以有一解，也可无解.而无解的情况是B ，这种情况又恰恰满足BAA的题设条件.错的原因有两个，其一是忽略了mx+10会无解；其二是忽略了ABA B A及 是任何集合的子集.正确解：Axx2+x-60-3,2,且Bxmx+10，BAA，B-3，B2，或B，即-3m+10，2m+10，或m0.故实数m ,- ，0.例：填空题(1)已集集合Ayyx2-6x+6,xR,Byy-x2+6x-6,xR，则AB .(2)已知集合A(x,y)yx2-6x+6,xR，B(x,y)y-x2+6x-6,xR，则AB .(3)已知集合A的元素满足方程4a2+ 4a-1，a,bR，集合Bxx(x2-1)(4x2-1)0.则AB .点拨：要特别注意分清楚每小题里的集合中元素是什么?它们分别有什么特征?(1)中集合A，B的元素都是函数y，它们分别表示两个函数的值域；(2)中集合A，B的元素都是直角坐标系中点的坐标，它们分别表示两条抛物线上的点的集合；(3)中集合A的元素要满足一个二元方程，它应该表示点(a,b)的集合；集合B中元素要满足一个一元方程，它表示这个方程的根的集合.解：(1)由A知，y(x-3)2-3-3；由B知,y-(x-3)2+33.利用数轴不难看出：ABy-3y3.(2)AB应该是这两条抛物线的交点，即解方程组 解得方程组有两组解(3+ ，0)和(3- ，0). AB3+ ,0,(3- ,0).(3)将方程4a2+ 4a-1配方，得(2a-1)2+ 0. a、bR， a 且b-1. A(a,b)( ，-1).解方程 x(x2-1)(4x2-1)0，得 x0，或x1，或x . B-1，- ，0， ，1. AB .评析 解答第(3)小题，很容易出现下面错误解法，即误认为A-1， ，从而得出AB-1， .应引起我们的重视.例：已知集合A1，3，-x3，B1，x+2.是否存在实数x，使得B(CSB)A?实数x若存在，求出集合A和B；若不存在，请说明理由.分析 解答本例的关键是两点：(1)理解B(CSB)A的含义；(2)学会分情况讨论或验证数学问题.解： B(CSB)A， B A.(1)若x+23，则x1，符合题意；(2)若x+2-x3，则x-1，但不合题意. 当x1时，A1，3，-1，B1，3.含绝对值的不等式解法 1.不等式的性质(1)ab a+cb+c (2)ab,c0 acbc (3)ab,c0 acbc2.绝对值的意义x 3.最基本绝对值不等式的解利用数轴表示不等式的解集x0)的解集为x-ax0，则在数轴上的表示如下图.不等式xa (a0)的解集为xx-a，或xa,a0，则在数轴上的表示如下图.4.axb的解法各种不等式均可以通过等价转化，变为axb的形式.当a0时，该不等式的解集为xx ；当a0时，该不等式的解集为xx ；当a0时，若b0，则该不等式的解集为R；若b0，则该不等式的解集为空集.5.ax+bc (c0)型不等式解法.(1)x-a(a0)的几何意义是x在数轴上的对应点到a的对应点之间的距离.(2)不等式ax+b0)型不等式的解法是，先化为不等式组-cax+bc (c0)的解法是，先化为ax+bc或ax+bx-5.解：由不等式x+3x-5两边平方得x+32x-52，即(x+3)2(x-5)2,x1. 原不等式的解集为xx1.评析 对于两边都含“单项”绝对值的不等式依据x2x2，可在两边平方脱去绝对值符号.当然，此例可按绝对值定义讨论脱去绝对值符号，但解题繁琐.例：对任意实数x，若不等式x+1-x-2k恒成立，则实数k的取值范围是( )A.k3 B.kk对任意实数x恒成立，只要x+1-x-2的最小值大于k.因x+1的几何意义为数轴上点x到-1的距离，x-2的几何意义为点x到2的距离，x+1-x-2的几何意义为数轴上点x到-1与2的距离的差，其最小值为-3， kx+3.分析 解此类不等式，要分x+30和x+30两种情况讨论.解：当x+30，即x-3时，原不等式又要分-3x 和x 两种情况求解：当-3xx+3，即x- ，此时不等式的解为-3xx+3，即x2，此时不等式的解为x2.又当x+30，即x-3时，不等式是绝对不等式.取、并集知不等式的解集为xx2.例：解不等式 x-5-2x+31解：x5和x- 分别使上式两个绝对值中代数式的值为零，它们将数轴分成三段：于是，原不等式变为() 或() 或() 解()得 x-7，解()得 5；()()()的并集xx 即为原不等式的解集.说明 解这类绝对值不等式(仅限绝对值符号里面是一次式)可分如下几个步骤：第一步令每个绝对值号里的一次因式等于零求出相应的根；第二步把这些根按从小到大的顺序排号并把数轴分成相应的若干个区间；第三步根据所分区间去掉绝对值符号，组成若干个不等式组，最后分别解每个不等式组，取结果的并集就是原不等式的解.例：解不等式12x-15.解法一：原不等式等价于 或 解得 1x3;解得 -2x0. 原不等式的解集为x-2x0或1x3.解法二：原不等式等价于12x-15， 或 -52x-1-1，即 22x6， 或 -42x0，解得 1x3， 或 -2x0. 原不等式的解集为x-2x0，或1x8.分析 这是一个含有两个绝对值符号的不等式，为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式，要进行分类讨论.解法一：由代数式x+3、x-3知，-3和3把实数集分为三个区间：x-3,-3x3，x3.当x8，即x-4，此时不等式的解为x-4；当-3x8，此时无解；当x3时，x+3+x-38，即x4，此时不等式的解为x4.取、的并集得原不等式的解集为xx4.点评 解这类绝对值符号里是一次式的不等式，其一般步骤是：(1)令每个绝对值符号里的一次式为零，并求出相应的根；(2)把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间；(3)由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；(4)取这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集.模仿例1，我们还有解法二：不等式x+3+x-38表示数轴上与A(-3)，B(3)两点距离之和大于8的点，而A，B两点距离为6.因此线段AB上每一点到A、B的距离之和都等于6.如下图，要找到A，B距离之和为8的点，只须由点B向右移1个单位(这时距离之和增加2个单位)，即移到点B1(4)，或由点A向左移1个单位，即移到点A1(-4).可以看出，数轴上点B1(4)向右的点或者点A1(-4)向左的点到A、B两点的距离之和均大于8. 原不等式的解集为xx4.解法三：分别画出函数y1x+3+x-3和y28的图像，如下图.y1 不难看出，要使y1y2，只须x4. 原不等式的解集为xx4.点评 对于形如x-a+x-bc，或x-a-x-bc的不等式，利用不等式的几何意义或者画出左、右两边函数的图像去解不等式，更为直观、简捷.这又一次体现了数形结合思想方法的优越性!逻辑联结词 1.命题：初中给命题下的定义是：判断一件事情的句子，叫做命题.而高中教科书中的定义是：可以判断真假的语句叫做命题，说法不同，实质是一样的.语句是不是命题，关键在于能不能判断其真假，也就是判断其是否成立，不能判断真假的语句，就不能叫命题.例如：“这是一棵大树”；“x2”都不能叫命题，由于“大树”没有界定，就不能判断“这是一棵大树”的真假.由于x是未知数，也不能判断“x2”是否成立.“0是自然数”，“ 2”，“ ”，都是简单命题.其中前两个命题为真命题，后一个命题是假命题.2.逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词，不含逻辑“联”结词的命题，叫做简单命题.由简单命题与逻辑联结词构成的命题，叫做复合命题.例如“菱形的对角线互相垂直或平分”，“菱形的对角线互相垂直且平分”，“菱形的对角线互相不垂直”，分别是“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题.逻辑中的“或”、“且”、“非”与日常用语中的“或”、“且”、“非”的意义是不尽相同的，要结合真值表加以理解.另外，结合集合的并集、交集、补集来理解联结词，它们的定义分别用“或”、“且”、“非”联结词.对于复合命题的理解要注意“由简单命题与”，其中我们只注意“联结词”，而不注意“命题”.如x2或x-2就不是复合命题，因为它不是命题，因此，不要认为凡是含有联结词的语句就是复合命题.对于三个真值表可做如下理解)“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；)“p且q”形式复合命题当p与q同时为真时为真，其他情况时为假；)“p或q”形式复合命题当p与q同时为假时为假，其他情况时为真.真值表是我们判断真假命题的直接依据.表示命题真假的表叫真值表pq非pq或pp且q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假下面把常用的正面叙述的词语及它的否定列举如下：正面词语等于大于()小于(是都是否定不等于不大于()不小于()不是不都是正面词语至多有一个至少有一个任意的所有的至多有n个任意两个否定至少有两个一个也没有某个某些至少有n+1个某两个应该强调的是：如“x=0或x=1”的否定是“x0且x1”，并非“x0或x1”3.复合命题的含义及与集合运算的联系复合命题形式表示含义与集合运算的联系q或pq与p中至少有一个发生AB=xxA，或xBp且qq与p同时发生AB=xxA，且xB非p否定pCUP=xx P，xU4.真值表要点复合命题形式真、假对p、q要求非p真p假假p真p且q真p、q同时为真假p、q至少有一个为假p或q真p、q至少有一个为真假q、p同时为假典型例题例：分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题：1既不是质数，也不是合数；0不是奇数；斜三角形的内角是锐角或是钝角.解：这个命题是p且q的形式，其中 P1不是质数；q1不是合数这个命题是非p的形式，其中 p0是奇数这个命题是p或q的形式，其中P：斜三角形的内角是锐角，q:斜三角形的内角是钝角.说明 在中，p和q两个命题还是非p形式的.例：命题p：正方形ABCD是矩形；命题q:正方形ABCD是菱形.试分别写出下列各种形式的复合命题：(1)p或q；(2)p且q；(3)非p；(4)非q解：(1)p或q形式：正方形ABCD是矩形或菱形；(2)p且q形式：正方形ABCD既是短形，也是菱形；(3)非p形式：正方形ABCD不是矩形；(4)非q形式：正方形ABCD不是菱形.说明 上述(1)(2)两种形式的命题都是真命题；而(3)(4)两种形式的命题都是假命题例：指出下列复合命题的形式及其构成，并判断这些复合命题的真假.(1)3是正数也是奇数.(2)-5没有平方根.(3)1.3或 是无理数.(4)集合x 1等于集合xx1，而且集合x 0等于集合xx0.解：(1)这一命题是“p且q”的形式，其中：p3是正数，q3是奇数.因为，p为真，q为真，所以“p且q”为真，即命题(1)为真.(2)这一命题是非p的形式，其中：p:-5有平方根，因为p为假，所以非p为真，即命(2)为真(3)这个命题是p或q的形式，其中p：1.3是无理数q: 是无理数.因为，q为真，所以“q或p”为真，即命题(3)为真.(4)这个命题是p且q的形式，其中：p：集合x 1等于集合xx1，q：集合x 0等于集合xx0.因为，x 1=x 0=xx(1-x)0=x0x1xx1，故p为假，所以“p且q”为假.评析 要说明“q且p”为假，只要指出其中一个命题为假，即可，如命题(4)中p为假，立即可得“p且q”为假.例：指出下列各题中的“p或q”，“p且q”，“非p”，“非q”形式的复合命题的真假(1)p:梯形有一组对边平行，q:梯形有一组对边相等(2)p:5是17的约数，q:5是15的约数(3)p:-1是方程x2+4x+3=0的解，q-3是方程x2+4x+3=0的解(4)p:不等式x2+2x+21的解集为R，q：不等式x2+2x+21的解集为(5)p:aa,b,c，q:a a,b,c分析 要确定复合命题的真假，首先要确定组成复合命题的每一个支命题的真假，然后再针对复合命题的形式，对照各自的真值表，作出正确的判断.解：(1)p真、q假，“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假，“非q”为真.(2)p假、q真，“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真，“非q”为假.(3)p真、q真，“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假，“非q”为假.(4)p假、q假，“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真，“非q”为真.(5)p真、q真，“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假，“非q”为假.说明 通过上述解题实践，我们应该更进一步掌握判定复合命题真假的方法：“p或q”形式的复合命题，只要其支命题中有一个支命题为真，则该复合命题就为真；当且仅当各支命题都为假时，用“或”字联结的复合命题才为假；“p且q”形式有复合命题，当且仅当各支命题都为真时才为真，也就是说：“只要有一个支命题为假时，它就为假；“非p”形式的复合命题的真假情况恰好与p相反.例:以下判断是否正确：(1)q和p都是简单命题，那么命题p真，则命题“p且q”一定真；命题p假，则命题“q且p”不一定假；命题“p且q”真，则命题p一定真；命题“p且q”假，则命题p一定假.(2)命题“p或q”与命题“p且q”都是真命题，那么命题q一定是真命题；命题q不一定是真命题；命题p不一定是真命题；命题p与q的真值相同.(3)命题“p且q”与命题“p或q”都是假命题，那么命题“非p”与命题“非q”真值不同；命题“非p”与命题“非q”至少有一个是假命题；命题“非p且非q”是真命题；命题q与命题“非p”真值相同.分析 由真值表知，(1)“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；(2)“p或q”形式的复合命题当p与q同为假时为假，其它情况均为真；(3)“q且p”形式的复合命题当p与q同时真时为真，其它情况均为假.解：(1)错；错；对；错. (2)对；错；错；对. (3)错；错；对；错.例:分别指出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题的真假.p:33，q:3=3p: 0，q:0p:AA，q：AA=Ap:函数y=x2+3x+4的图像与x轴有公共点，q:方程x2+3x-4=0没有实根.解：p假q真，“q或p”为真，“p且q”为假，“非p”为真p真q假“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假p真q真“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假p假q假“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真说明 解这类题关键是第一步确定命题p,q的真假，如果这一步弄错了，第二步根据真值表确定的“p或q”，“p且q”，“非p”的真假就没有了保障，因此，这两步都必须搞准确.例:指出下列复合命题的构成形式及构成它的简单命题，判断复合命题的真假，并说明真假的理由：(1)53(2)正方形不是菱形；(3) 是 的元素，也是 的真子集.分析 本题考查复合命题的构成及其真假的判断.解决此类问题的关键在于理解逻辑结词“或”、“且”、“非”的含义，掌握判断复合命题真假的真值表.解：(1)此命题为q或p的形式，其中，p:53，q:5=3.此命题为真命题，因为p为真，q为假.(2)此命题为非p形式，其中，p:正方形是菱形.此命题为假命题，因为p为真.(3)此命题为q且p的形式，其中，p: 是 的元素，q: 是 的真子集.此命题为真命题，因为p为真，q也为真.四种命题 1.四种命题关于逆命题，否命题与逆否命题，也可以如下表述：交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题.如，同位角相等，两条直线平行，它的逆命题就是两条直线平行，同位角相等.同时否定命题的条件和结论，所得的命题是否命题，如上例的否命题就是同位角不相等，两条直线不平行.交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题.如例的逆否命题是两条直线不平行，同位角不相等.2.四种命题之间的关系互逆命题，互否命题与互为逆命题都是说两个命题的关系，把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题，否命题与逆否命题.四种命题之间的关系如图所示.3.一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系原命题为真，它的逆命题不一定为真例如，原命题“若a=0，则ab=0”是真命题，它的逆命题“若ab=0，则a=0”是假命题.原命题为真，它的否命题不一定为真例如，原命题“若a=o，则ab=0”是真命题，它的否命题“若a0，则ab0”是假命题.原命题为真，它的逆否命题一定为真例如，原命题“若a=o，则ab=0”为真命题，它的逆否命题是“若ab0，则a0”是真命题.4.反正法反证法推证问题模式框图反证法的理论根据是：原命题为真，则它的逆否命题也为真.在直接证明原命题有困难时，就可转化为证明它的逆否命题成立.用反证法证明命题的一般步骤是第一步：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；第二步：从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；第三步：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.一般地来说，在什么条件下(或问题中)想到用反证法来证明，下面提供几种情形作为参考.第一，问题共计有n种情况，现要证明其中一种情况成立时，可想到用反证法证明把其他的n-1种情况都排除，从而确定这种情况成立.如，要证明两条直线相交，可用反证法证明这两条直线平行不成立，因为在同一平面内，两条直线的位置关系是平行或相交，平行不成立，那么间接的证明两条直线相交；第二，命题用否定形式叙述的，如证明2不是方程2x+1=0的根，可用反证法证明，假设2是方程2x+1=0的根，则22+1应等于0，而22+1=5，产生矛盾，从而确定2不是方程2x+1=0的根成立；第三，命题用“至少”的字样叙述时，可用反证法证明，如证明ab，bc至少有一个成立，那我们可用反证法证明如下：假设ab，bc都不成立，即a=b且b=c，从这一条件出发推得矛盾，故a=b，且b=c不成立，因此，ab，bc至少有一个成立；第四，当命题成立非常明显，而要直接证明，所用的理论不少，且不容易说明白，而它的逆命题易证，如第一中的举例，证明两条直线相交的依据几乎没有，而平行线有很多性质，易于推理，因此，用反证法把证明两条直线相交问题转化到平行线的性质.5.否命题与命题的否定是两个不同的概念若p表示命题，“非p”叫做命题的否定.如果原命题是“若p则q”，那么这个原命题的否定是“p则非q”，即只否定结论.原命题的否定命题是“若非p