第02章 信号(3-6).ppt

1 2 3随机信号的性质 在通信系统中 接收端的接收信号是一种随机信号 可以看作是一种随机过程 在任意给定的时刻 随机过程的取值是一个随机变量 接收端在收到发送端发出的消息之前 对发送端发出的消息具有不确定性 信道中总是存在噪声的 噪声是随机变化的 信道特性本身也不是恒定的 特别是无线信道 其特性随时间变化很大 接收信号是随机的 但并不是完全无规律的 但若长时间观察 可以发现接收信号具有统计规律 2 2 3 1随机变量的概率分布1 随机变量若某种试验A的随机结果用X表示 则称此X为一个随机变量 并设它的取值为x 2 随机变量的分布函数定义 FX x P X x 性质 若已知随机变量X的分布函数 则可求出随机变量X在任何区间 a b 上取值的概率 P a X b P X a P X b P a X b P X b P X a P a X b FX b FX a 连续随机变量 3 在某种意义上 随机变量的分布函数可以完整描述随机变量的统计特性 随机变量X可以是连续随机变量也可以是离散随机变量 3 离散随机变量的分布函数设离散随机变量X的取值为 x1 x2 xi xn 取值概率分别为p1 p2 pi pn 则有P X x1 0 P X xn 1 P X xi P X x1 P X x2 P X xi 有 4 4 分布函数重要性质 1 FX 0 2 FX 1 3 若x1 x2 则有 FX x1 FX x2 单调增函数 5 2 3 2随机变量的概率密度随机变量统计特性的另一种描述方法 1 连续随机变量的概率密度pX x 定义 意义 pX x 是FX x 的导数 是FX x 曲线的斜率能够从pX x 求出P a X b 性质 pX x 0 6 2 离散随机变量的概率密度离散随机变量的分布函数可以写为 式中 pi为x xi的概率 u x 为单位阶跃函数将上式两端求导 得到其概率密度 性质 当x xi时 pX x 0 当x xi时 pX x 7 2 4常见随机变量举例 1 正态分布随机变量定义 概率密度式中 0 a 常数概率密度曲线 8 2 均匀分布随机变量定义 概率密度式中 a b为常数概率密度曲线 9 3 瑞利 Rayleigh 分布随机变量定义 概率密度为式中 a 0 为常数 概率密度曲线 10 2 5随机变量的数字特征 2 5 1数学期望定义 对于连续随机变量性质 若X和Y互相独立 且E X 和E Y 存在 X和Y相互独立 且E X 和E Y 存在 分布函数和概率密度函数能够较全面描述随机变量的统计规律 但很多场合只需了解随机变量的某些统计规律 特征 这些特征称之为随机变量的数字特征 11 2 5 2方差 1 定义 离散随机变量 连续随机变量 2 性质 D C 0 D X C D X D CX C2D X D X Y D X D Y D X1 X2 Xn D X1 D X2 D Xn 12 2 5 3矩矩是随机变量更一般的特征 数学期望和方差都是矩的特例 定义 随机变量X的k阶矩为k阶原点矩 a 0时的矩 k阶中心矩 时的矩 特例 一阶原点矩为数学期望 二阶中心矩为方差 13 2 6 1随机过程的基本概念自然界变化的过程通常可以分为两大类 确定过程和随机过程 如果每次试验 观测 所得到的观测过程都相同 且都是时间t的一个确定函数 具有确定的变化规律 那么这样的过程就是确定过程 反之 如果每次试验 观测 所得到的观测过程都不相同 是时间t的不同函数 试验 观测 前又不能预知这次试验 观测 会出现什么结果 没有确定的变化规律 这样的过程称为随机过程 对连续时间的随机过程进行抽样得到的序列称为离散时间随机过程 或简称为随机序列 连续时间的随机过程用X t 表示 随机序列用X n 表示 2 6随机过程 14 在电子系统中 通常把随机过程叫做随机信号 例 正弦型随机相位信号 其中 A和 0为常数 为 上均匀分布的随机变量 由于起始相位 是一个连续型的随机变量 取值范围为 对于它的任意的一个样本值 i i 有对应一个确定的函数式 简记Xi t 称之为X t 的一个样本函数 15 显然 当 取不同的值时可得到不同的样本函数Xi t 由于 是一个随机变量 我们在观测信号X t 之前 并不能预知 究竟取何值 因此 也不能预知Xi t 究竟取哪个样本函数 只有观测以后才能确定 所以这是一个随机过程 随机过程是一组样本函数的集合 16 例 接收机的噪声我们用示波器来观察记录某个接收机输出的噪声电压波形 假定在接收机输入端没有信号 但由于接收机内部元件如电阻 晶体管等会发热产生热噪声 经过放大后 在输出端会有电压输出 假定在第一次观测中示波器观测记录到的一条波形 记为x1 t 而在第二次观测中记录到的是x2 t 第三次观测中记录的是x3 t 每次观测记录到的波形都是不相同的 而在某次观测中究竟会记录到一条什么样的波形 事先不能预知 由所有可能的结果x1 t x2 t x3 t 构成了一个随机过程X t 17 另外 对应于某个时刻t1 x1 t1 x2 t1 x3 t1 取值各不相同 也就是说 X t1 的可能取值是x1 t1 x2 t1 x3 t1 之一 在t1时刻究竟取哪个值是不能预知的 故X t1 是也一个随机变量 同理 在t tk时 X tk 也是一个随机变量 由此可见 X t 也可以看成是一组随机变量的集合构成的 18 在上述两个例子中 对随机相位信号或噪声电压信号作一次观测相当于做一次随机试验 每次试验所得到的观测记录结果xi t 是一个确定的函数 样本函数 所有这些样本函数的全体构成了随机信号X t 在每次试验前 尽管我们不能预知X t 究竟取哪一个样本函数 但经过大量重复的观测 我们是可以确定它的统计规律的 即究竟以多大的概率取其中某一个样本函数 另外 对于不同的时刻t tk X tk 也是一个随机变量 由此可见 X t 既可以看成是一组样本函数的集合 也可以看成一组随机变量的集合构成的 19 尽管随机过程的变化过程是不确定的 但在这不确定的变化过程中仍包含有规律性的因素 这种规律性可从大量的样本经统计后呈现出来 也就是说随机过程是存在某些统计规律的 这些统计规律的数学描述有概率分布函数 概率密度函数和数字特征 但在大多数情况下 一个随机过程的概率分布很难用实验方法确定 通常用某些数字特征部分地描述其统计特性 均值 方差和相关函数是常用于研究通信系统的重要的数字特征 20 随机变量的数字特征有均值 方差 相关系数等 相应地随机过程的数字特征常用的也是均值 方差 相关函数 它们都是从随机变量的数字特征推广而来 然而所不同的是 随机过程的数字特征一般不是常数 而是时间t 或n 的函数 因此 随机过程的数字特征也常称为矩函数 21 设X t 表示一个随机过程 则在任意一个时刻ti上的取值X ti 是一个随机变量 其数字特征定义如下 统计平均值 方差 自相关函数 22 2 6 2平稳随机过程严格平稳随机过程定义 如果随机过程X t 的任意N维概率分布不随时间起点的不同而变化 即当时间平移 t时 其任意的N维概率密度不变化 则称X t 是严格平稳的随机过程或称为狭义平稳随机过程 严平稳随机过程的最基本特征是统计特性与时间起点无关 特别 一维概率密度 二维概率密度 23 广义平稳随机过程定义 平均值 方差和自相关函数等与时间起点无关的随机过程 广义平稳随机过程的性质 严格平稳随机过程一定是广义平稳随机过程 但广义平稳随机过程就不一定是严格平稳随机过程 24 由于在许多工程技术问题中 常常仅在相关理论 一 二阶矩 的范围内讨论问题 因此划分出广义平稳随机过程来 而相关理论之所以重要 是因为在实际中 一 二阶矩能给出有关平稳随机过程平均功率的几个主要指标 比如 如果随机过程X t 代表噪声电压信号 那么在相关理论范围内就可以给出直流分量 交流分量 平均功率及功率在频域上的分布 功率谱密度 等 另外 在电子系统中经常遇到最多的是正态随机过程 对于正态随机过程而言 它的任意维分布都只由它的一 二阶矩来确定 广义平稳的正态随机过程必定是严格平稳的 因此 在工程实际中 我们通常只考虑广义平稳性 今后除特别声明外 平稳性指的是广义平稳 25 2 6 3各态历经性按照定义 对于平稳随机过程 它的均值 方差都是常数 相关函数只与 t1 t2有关 这些数字特征都是集合平均 统计平均 的概念 也就是说 如果我们要得到这些数字特征的准确值 需要观测到所有样本函数 这在实际中是很难做到的 如果只通过随机过程的一个样本函数 就可以解决随机过程数字特征的估计问题 那是很有实际意义的 各态历经的随机过程就具有这一特征 26 各态历经 的含义 平稳随机过程的一个实现能够经历此过程的所有状态 各态历经过程的用途 可用时间平均值代替统计平均值 各态历经过程的统计平均值mX 各态历经过程的自相关函数RX 27 根据定义 为了求各态历经过程的均值 方差等数字特征 无需做无限多次的观察 只需做一次观察 用时间平均代替统计平均即可 使计算大为简化 一个随机过程是否具有各态历经性是很难测定的 在实际中 人们往往按直觉判断统计平均和时间平均是否合理 在分析绝大多数通信系统的稳态特性时 都假设信号和噪声过程是各态历经的 此时 通信系统中的一些电信号的特性都可用各态历经过程的矩来表示 28 在分析绝大多数通信系统的稳态特性时 都假设信号和噪声过程是各态历经过程 一阶原点矩mX E X t 信号的直流分量 一阶原点矩的平方m2X 信号直流分量的归一化功率二阶原点矩E X2 t 信号归一化平均功率 二阶原点矩的平方根 信号电流或电压的均方根值二阶中心矩 X2 信号交流分量的归一化平均功率 若mX m2X 0 则 2X E X2 t 标准偏差 X 信号交流分量的均方根值 若mX 0 则 X就是信号的均方根值 29 2 6 4平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度自相关函数是描述平稳随机过程的一个重要的数字特征 另外 自相关函数和功率谱密度之间存在傅里叶变换的关系 由于许多随机信号很难求出其功率谱密度 但是其自相关函数比较容易计算 所以往往利用它们之间的傅里叶变换关系 先求其自相关函数 然后求其功率谱密度 30 1 自相关函数的性质设X t 为一平稳随机过程 则其自相关函数有如下主要性质 31 32 33 3 自相关函数和功率谱密度的关系平稳随机过程的功率谱密度PX f 和自相关函数R 是一对傅里叶变换 由式中 令 t t k t t 则上式可以化简成 34 于是有 上式表明 PX f 和R 是一对傅里叶变换 4 PX f 的性质 PX f 0 并且PX f 是实函数 PX f PX f 即PX f 是偶函数 35 例2 7设有一个二进制数字信号x t 如图所示 其振幅为 a或 a 在时间T内其符号改变的次数k服从泊松分布式中 是单位时间内振幅的符号改变的平均次数 试求其相关函数R 和功率谱密度P f 36 解 由图可以看出 乘积x t x t 只有两种可能取值 a2 或 a2 因此 式可以化简为 R a2 a2出现的概率 a2 a2 出现的概率 式中 出现的概率 可以按上述泊松分布P k 计算 若在 秒内x t 的符号有偶数次变化 则出现 a2 若在 秒内x t 的符号有奇数次变化 则出现 a2 因此 37 用 代替泊松分布式中的T 得到 由于在泊松分布中 是时间间隔 所以它应该是非负数 但是 理论上当 取负值时 上式应当改写成将上两式合并 最后可得到 38 P f 和R 的曲线 其功率谱密度P f 可以由其自相关函数R 的傅里叶变换求出 39 例2 8设一随机过程的功率谱密度P f 如图所示 试求其自相关函数R 解 功率谱密度P f 已知 式中 自相关函数曲线 40 例2 9试求白噪声的自相关函数和功率谱密度 解 白噪声是指具有均匀功率谱密度Pn f 的噪声 即Pn f n0 2式中 n0为单边功率谱密度 W Hz 白噪声的自相关函数可以从它的功率谱密度求得 由上式看出 白噪声的任何两个相邻时间 即 0时的抽样值都是不相关的 白噪声的平均功率 上式表明 白噪声的平均功率为无穷大 41 白噪声是在通信系统分析中经常碰到的一类噪声 所谓白噪声是指它的功率谱密度函数在整个频域内是常数 即服从均匀分布 称之为 白 噪声是因为它类似于光学中包括全部可见光频率在内的白光 白噪声的功率谱密度函数通常被定义为 Pn f n0 2式中 是一个常数 单位为W Hz 若采用单边频谱 即频率在 0 的范围内 白噪声的功率谱密