HOLD住杨辉三角 ——探究杨辉三角的奥秘.doc

HOLD住杨辉三角探究杨辉三角的奥秘 湖州市第十一中学教育集团 徐会星一、设计理念数学课程标准指出，数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生的学习 兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维。同时， 数学教学活动必须建立在学生的认知水平和已有的知识经验基础之上。基于这些 教学理念，从提高学生数学思维与素养的角度出发，创造性地使用了教材，对七 下教材中的阅读材料杨辉三角内容进行了探究，组织学生对该内容分进行深入地 学习，寻求阅读材料的理性作用与人文价值。在设计本节课时，从义务教育数学 课程标准的知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个维度制定了学习目标， 对学生而言，操作性强且符合教学实际。在该节拓展性课程的教学过程中，从杨 辉三角的发现到探究，从历史到意义，再到实际应用，都非常具有深度和价值。二、教材背景分析本节课属于拓展性课程，在浙教版七年级下册第三章整式中“杨辉三角 与两数和的乘方”作为阅读材料，它是在完全平方公式的基础上，利用多项式的 乘法运算，对两数和的乘方进行推导计算，从而了解杨辉三角。本节课在此基础 上进行拓展，深入揭示杨辉三角的奥秘，发掘其中所隐含的规律，拓展整式乘法， 并且对杨辉三角的历史进行解读。本节课的学习即是对学生在和的平方公式上存在缺陷的弥补，对整式乘法的整合。它又为今后学习二项式 (a+ b )2 的展开式奠定了基础，建构了一个完整的知识框架。同时，其中的类比思想让学生对数学有了更深的感悟，并且对数学史的了解，体现数学的人文价值，多方位提高了学生的数学素养。三、学情分析本节课的授课对象为普通中学的七年级学生。在年龄结构上，该年级的学生 处在皮亚杰认知发展阶段理论的形式运算阶段，已经初步具备抽象的符号意识和逻辑运算能力，会积极思考，并且对与自己的知识经验相冲突的现象和有挑战性有难度的内容感兴趣，好奇心较强。 在知识层面上，学生已经学习了整式的乘除，对多项式的乘法也较为熟悉，这为本节课奠定了坚实的基础。但是学生对于两数和的多次方还未接触，直接难 以接受，并且对于巧用杨辉三角较为陌生。结合该特点，本节课通过类比层层递 进，突破难点。其中从熟悉的点引入，设置自主探究与小组合作环节，采用探究 式学习方式，培养学生的数感以及分析问题和解决问题的能力。四、教学目标知识技能1、了解杨辉三角的特点及其简史；2、通过探究杨辉三角横行的数字规律，掌握杨辉三角的基本性质；3、掌握简单的杨辉三角的简单应用；数学思考1、通过研究杨辉三角横行的数字规律，培养从特殊到一般的归纳推理能力；2、初步体会运用类比思想研究数学问题；问题解决 1、通过探究杨辉三角的数字规律，培养学生发现问题和解决问题的能力，培养 探究知识的研究型学习习惯； 2、通过小组合作，培养合作化学习的团队精神，初步形成评价与反思的意识 情感态度1、 积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲；2、 通过杨辉三角数学史的介绍，增强学生民族自豪感；五、教学重难点为了增强拓展性课程的针对性和实效性，结合教学背景分析和学情分析，确 定了本节课的重点与难点，如下：重点：杨辉三角的发现与理解 难点：杨辉三角的规律六、教学方法教法：探究式教学法参与式教学法 学法：探究学习法合作学习法 学生准备：搜索有关数学家杨辉的资料；教师准备：设计教学方案与活动，制作相应的多媒体课件，对学生进行评价；七、教学过程环节一：巩固旧知，导入新课【师生活动】师问：变数字游戏：我们知道 (a+ b )1 =a + b(a + b )2 =a2+ 2ab+ b2这两个式子的变化在于哪里？预设：指数从 1 变成 2，发生了变化；师问：如果指数换成了 3，求 (a追问：如果指数换成了 4，求 (a+ b )3 呢？+ b )4 呢？预设： (a+ b )3 =a3+ 3a2b+ 3ab2+ b3(a + b )4 =a4+ 4a3b+ 6a2b2 +4ab3+ b 4设计意图：从学生已有的认知水平出发，通过对已学内容的回顾，提出新的问题，发现新的研究方向，顺理成章地进入本节课的学习，激发学习兴趣，提高学习的 热情。同时，通过乘方之间的比较，突出表现了数学中的类比思想。环节二：两两合作，形成认知【师生活动】师问：比较 (a+ b )1 、(a+ b )2 、(a+ b )3 、(a+ b )4 的公式计算结果，有什么特点？提醒：从项的数量上，结构上出发预设 1：项的个数依次递增 1 个；预设 2：只有一个字母的项的次数都为 1； 师问：既然大家联想到了系数，那我们不妨把系数摘出(a + b )11(a + b )2121(a + b )31331(a + b )414641如果让你来排列，你会怎么排列呢？ 预设：【同桌讨论】 问题：那么大家能不能猜到 (a1121133114641+ b )5 的计算结果呢？（项的排列教师引导学生）预设： (a+ b )5 =a5+ 5a4b+ 10a3b2+ 10a2b3+ 5ab 4+ b5活动：同桌根据前面经验猜测，再用多项式的乘法法则对结果进行预算，补全系数表； 成果：(a + b )1 =a + b1(a + b )2 =a2+ 2ab + b2121(a + b )3 =a3+ 3a2b + 3ab2 + b31331(a + b )4 =a4+ 4a3b + 6a2b2 +4ab3 + b 414641(a + b )5 =a5+ 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab 4 + b5 15101051系数表师：如系数表中的三角形，我国古代数学家杨辉对其有过深入研究，所以称他为杨辉三角。设计意图：现代数学教学指出，数学的教学必须在学生自主探索，经验归纳的基础上获得的。通过师生互动，两两合作，问题围绕着中心内容，从而得到系数表， 了解杨辉三角，激发起了课堂的探究氛围。环节三：分享杨辉，感受历史师问：之前大家对杨辉的了解进行得如何了？预设：分享数学家杨辉的故事 活动：教师分享杨辉杨辉，杭州钱塘人，中国南宋末年数学家，数学教育家。他著名的数学书共 五种二十一卷，包括详解九章算法12 卷，日用算法2 卷，乘除通变本末 3 卷，田亩比类乘除捷法2 卷，续古摘奇算法2 卷，其中后三种为杨辉后 期所著，一般称之为杨辉算法。在他所著的详解九章算法一书中，辑录了 如图所示的三角形数表，称之为“开方作法本源” 图，并说明此表引自 11 世纪中叶，贾宪的释锁 算术，并绘画了“古法七乘方图”。故此，杨辉三 角又被称为“贾宪三角”。杨辉三角简史：1、北宋人贾宪约 1050 年首先使用“贾宪三角”进 行高次开方运算；2、南宋数学家杨辉在详解九章算法（1961 年）记载并保存了“贾宪三角”， 故称杨辉三角，也被称为“贾宪三角”。 3、元朝数学家朱世杰在四元玉鉴（1303 年）扩充了“贾宪三角”成“古法 七乘方图”。4、在欧洲直到 1623 年以后，法国数学家帕斯卡在 13 岁时发现了“帕斯卡三角”。（杨辉三角的发现比欧洲早 500 年左右）设计意图：让学生一起了解杨辉及其成就，了解中国古代数学史，增强学生的名族自豪感；同时，体会研究数学中的那种永无止境的探索精神，鼓励学生继续探 究的热情。环节四：小组合作，探究新知【小组合作】问题：观察杨辉三角和对应的乘方公式计算，它们分别有什么特点和规律呢？ 提示讨论方向：1、 杨辉三角数据上下行之间的规律，数据的特征；2、 每项乘方公式展开式中字母 a 和 b 的次数排列顺序；3、 展开式中的项数与乘方指数有何关系； 形式：四人一组讨论研究，小组代表汇报成果； 小结： 杨辉三角的首字母和尾字母等于 1, 从横向看，数字具有对称性，中间大，两边小； 从纵向看，下一个数等于“肩上”的两个数之和； 乘方公式的展开式中 a 的次数从高到低排列，b 的次数从低到高排列 展开式中的项数比乘方指数多 1；展开式中第二项系数等于乘方指数；【谁最快】计算： (a+ b )6设计意图： 通过合作学习，从不同的角度锻炼学生的学习思维，培养学生分析问题和解决问题的能力，体验团队协作的重要性。成果的汇报则是为了锻炼学生 的数学语言表达能力。环节五：熟练规律，应用新知例：若今天是星期一，再过 92 是星期几？（提示：能否用多种方法）预设： 92? 7=114 ，所以星期四预设： 92 = (7+2)2 =72 +2 ? 7 ? 2+22前两项都是 7 的倍数，所以余 4（教师进行分析）； 变式 1：若今天是星期一，再过 93 是星期几？预设： 93 = (7+2)3 =73 +3 ? 72 ? 2+3 ? 7 ? 22 +23余 1，周期二；变式 2：若今天是星期一，再过 83 是星期几？ 预设： 83 = (7+1)3 =73 +3 ? 72 ? 1+3 ? 7 ? 12 +13余 1，星期二；变式 3：若今天是星期一，再过 8n 是星期几？预设：前 n 项都含有 7，都是 7 的倍数，所以余 1，星期二； 设计意图：本环节设置的例题和变式是对杨辉三角的应用，从简到难，由特殊到 一般，一步步层层递进，符合学生的认知发展规律，激发学生的思维，便于学生 类比学习学习。同时，对知识也是进一步巩固和深化。环节六：熟练规律，应用新知趣味题：斐波那契在算盘书中提出了一个有趣的兔子问题： 一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小 兔子来。 如果所有兔都不死，并且所生的一对兔子均为一雌一雄，那么一年以 后可以繁殖多少对兔子？预设：1，1，2，3，5，8，13， 设计意图：通过一道趣味题展示了斐波那契数列，呈现数学的趣味性，帮助学生 解决了平日里会存在的问题，达到学以致用的目的。环节七：课堂小结，作业布置【课