问题A 长途列车的用餐销售效益最优化的数学建模论文.doc

太原电力高等专科学校山西大学工程学院数学建模论文竞赛题目A：长途列车的用餐销售效益问题学生姓名、专业、学号：1、霍月飞 电厂热能动力装置 学号：11400465062、赵海军 电厂热能动力装置 学号：11400465213、陈公孝 电厂热能动力装置 学号：1140046712 指导教师：李彬 2012年04月承诺书目录摘要2一、问题重述3二、问题分析3三、问题假设3四、符号说明3五、模型建立与求解451问题一：452问题二：6六、模型分析9 七、模型的改进与推广.9 八、参考文献10九、附录1091 附录一：1092 附录二：10摘要长途列车由于各方面成本较高，加上车上服务处于垄断的优势，餐食的价格大都高于市场价，因此餐食的价格高低在一定程度上影响销售量的多少。本文通过分析火车上盒饭和方便面的销售情况，对实际火车上快餐销售进行摸拟，根据统计学原理得出销售量x与提供量p的关系为，(a:绝对需求(p很小时的需求)，即价格最低时的购买人数；b:价格上升1元时购买人数的下降幅度(需求对价格的敏感度)；p:餐食的最优销售价格)再利用数学公式：效益 销售量单价和运用定积分学建立定积分方程模型，求解定积分方程，从而计算出列车在用餐销售上效益最大。对于本题，先找出盒饭和方便面销售量与提供量的函数关系。设餐食的一般售价为q，在销售中餐食的一般售价是不变的，因而q是常数，所以在餐食提供量时每份餐食的利润为，又因为在餐食的提供量增加m时的销量为，所以在餐食提供量为m时的利润为。求得在餐食提供量范围的销售最大利润为，又p(m)满足约束条件(Q:餐食的销售最大量)从而得出最优定价 ， 从而得出合适的盒饭价格为20元，方便面价格为10.5元，早餐价格为18.5 ，最大利润为310.7元。在问题二中由于春运期间客流量增加，乘客对餐食的需求量增加，从而列车需要对餐食的提供量和 价格进行相应的调整，以求达到销售利润的最大化。继而先找出销售量与价格之间的函数关系 ，并由问题一求出此刻餐食的最优价格，代入从而求出此时的最大利润。关键词：列车餐食、定积分方程、数学统计、销售利润最大化一、问题重述长途列车由于时间漫长，需要提供车上的一些服务，尤其是提供三餐。由于火车上各方面的成本高，因此车上食物的价格也略高。以K237次太原到广州的列车为例，每天早餐为一碗粥、一个鸡蛋及些许咸菜，价格15元；中午及晚上为盒饭，价格一律20元。由于价格偏贵，乘客一般自带食品如方便面、面包等。而且列车容量有限，因此提供的用餐量及食品也是有限的，适当提高价格是正常的。但高出的价格应有一个限制，不能高的过头。假如车上有乘客1500人，其中750人有在车上买饭的要求，但车上盒饭每餐只能供给300人；另外，车上还可提供每餐200人的方便面。问题一：根据实际情况设计一个价格方案，使列车在用餐销售上效益最大。问题二：在设计的价格方案基础上，进一步分析春运期间三餐价格的制定方案，使得列车的用餐销售利益最大化。二、问题分析根据需求的定义以及我们自然的认识，商品价格越低，人们的需求量越大，因此，我们可以把需求函数近似的看做向右下方倾斜的曲线，也就是价格与需求量之间存在着反向变动的关系，即，在其他条件不变的情况下，需求量随着价格的上升而减少，随着价格的下降而增加。火车提供快餐只是火车的次营业务，因此火车运行商不可能把精力都投放到快餐的供给上来，而且火车车厢容量有限，这样火车快餐供给量基本上是稳定的。但是火车乘客的数量较大，他们对快餐的需求量大大超过了火车快餐的供给量。这样在市场价格情况下，就造成了火车快餐的供不应求。人们对火车快餐的需求量大于其供给量，如果火车快餐保持原价的话，就会出现争抢的局面，而且不利于火车运营商获取超额利润。在这种情况下，火车运营商一方面为了获取超额利润，另一方面为了火车平安稳定的运行，他都要将价格提高。随着价格的慢慢提高，从收入低的旅客们开始慢慢地减少对火车快餐的需求。火车快餐价格提的越高，人们的需求量越小，直到达到供给与需求的均衡点，这样就造成了火车上快餐的价格远远的高于市场上快餐的价格。而选择消费火车快餐的群体一般是那些收入较高或中等收入的群体。三、问题假设1、 早上由早餐和方便面组成，午饭和晚饭由方便面和盒饭组成。2、 每位乘客每餐只需要一盒盒饭或一袋方便面。3、 火车快餐每餐的成本是固定不变的。4、 乘务员的服务态度不影响乘客的购买欲，饭菜分量相同，且一份饭成年人吃后不必再买泡面吃，吃泡面也一样，不必再买盒饭。4、 符号说明:绝对需求(很小时的需求)，即价格最低时的购买人数；:价格上升1元时购买人数的下降幅度(需求对价格的敏感度)；:餐食的最优销售价格；:餐食的一般销售价格；:餐食提供的增加量；:餐食提供的最大量；:餐食的销售最大量；:餐食的销售利润；五、模型建立与求解51问题一：设餐食的一般售价为，在销售中餐食的一般售价是固定不变的，因而是常数，当餐食提供量为增加时利润为，又因为所提供的餐食量增加了时的销售量为，所以提供的餐食量增加了m时的利润为。在整个餐食销售过程中总利润： 而且还要满足约束条件： 即考虑泛函极值问题 上式是一个有条件的泛函极值问题，可以构造哈米尔顿函数求解。或者直接将有条件的泛函极值问题转化为无条件的泛函极值问题，用欧拉方程求解。方法如下：古典极值中的拉格朗日乘子法利用拉格朗日乘子法将式化为： 注意到中没有，故它的欧拉方程为： 解之得： 说明最优价是一个常数。将式代入式得：可以确定,从而得到最优销售价： 问题假设: 1早餐价格每增加1元，就会有30人选择放弃购买，即； 2.盒饭价格每增加1元，就会有20人选择放弃购买，即； 3.方便面价格每增加1元，就会有36人选择放弃购买，即； 4.因为750人有在车上买饭的需求，假设早餐能提供750份； 5.各餐饮市场上的价格作为这里的一般售价，即元（早餐），元（盒饭），元（方便面）； 6.销售量依赖于售价，是减函数。对于早餐：由假设可知，；因为750人有在车上买饭的需求，所以：；由求得：;同理可得盒饭：，；因为750人有在车上买饭的需求，但车上盒饭每餐只能提供300人；所以：；由求得：;同理可得方便面：，；因为750人在车上买饭的需求，但车上方便面每餐只能提供300人，所以，；由求得： 由此最大销售利润为639.552问题二：由于春运期间客流量增加，乘客对餐食的需求量增加，从而列车需要对餐食的提供量和价格进行相应的调整，以求达到销售利润的最大化。1、首先找出销售量与价格之间的函数关系：当盒饭的价格由上涨到时，销售量的减少量为 对上式整理得： 在春运期间需购买餐食的人数与乘客人数的比值为 只能提供盒饭的份数与乘客人数的比值为 只能提供方便面的份数与乘客人数的比值为 当为盒饭一般售价时，因为此时需求量大于供应量，故而所有的盒饭都卖光，此时，于是建立方程组：解方程组得盒饭销售量与价格之间的函数关系：同理，可以求得方便面销售量与价格之间的关系：当为方便面的一般售价时，于是有： 2、求出销售量与价格之间的函数关系后再求一顿饭的总收入。总收入=价格销售量 要想求总收入的最大值可以分别求出盒饭、方便面的收入最大值和。将和式代入式中得： 将、和代入式从而求得此时的最优价格为早餐方便面盒饭，然后代入即可求取最大利润。六、模型分析 模型是通过建立定积分方程得到价格与销售量之间的关系，再根据收入=价格可以通过市场调查得出。该模型简单扼要，容易理解，但餐食提供量对最大销售量的影响关系式不是很精确，存在一定误差。问二考虑了春运乘车人数增加的因素，进而利用模型一先求出此刻食品的最优定价，然后价格模型二，得出总利润入与价格的函数关系。模型二较复杂，计算量比较大。整体模型没有考虑到对没有卖出的快餐进行降价销售的情况，而且也没考虑到火车上还提供其他的食物。7、 模型的改进与推广 改进方向: 餐食提供量对最大销售量的影响的精确关系，以及对特别期间餐食提供量和购买量增加值与平常时期的关系值 推广新思想:该模型较为简单