C++ 线性方程组的数值解法.doc

线性方程组的数值解法一、下三角方程组的解法对于线性方程组：即：写成通式的形式： C+源程序：#include const int n=4;void LYB(double Lnn+1) for(int i=0;in;i+) for(int j=0;j=i-1;j+) Lin-=Lij*Ljn; void main()double Lnn+1=1,0,0,0,4,1,1,0,0,7,1,-1,1,0,3,1,-1,-1,1,0;LYB(L);for(int i=0;in;i+) coutYi=Linendl;二、上三角方程组的解法对于线性方程组：即：写成通式的形式：#include const int n=4;void UXY(double Unn+1) for(int i=n-1;i=0;i-) for(int j=i+1;j=n-1;j+) Uin-=Uij*Ujn; Uin/=Uii; void main()double Unn+1=1,-1,-1,1,0,0,1,-1,1,3,0,0,1,1,3,0,0,0,1,2; UXY(U); for(int i=0;in;i+) coutXi=Uinendl;三、GAUSS消去法解线性方程组1、消去目标2、消去过程（假定在以下消去演算中不会出现分母为0的情况）为直观起见，我们把方程组写成如下形式：第0步，实现第0列目标：消去第（1）、（2）、（n-1）中的项，（0）式保持不变。方法：即：注意：j=0可以不算，如果要算，其结果肯定是0。经第一步计算后，方程组变成了如下形式：第1步：在第0步成果的基础上，实现第1列目标：消去第（2）、（3）、（n-1）中的项，（0）、（1）式保持不变。方法：即：经第二步计算后，方程组变成了如下形式：由第一步、第二步的消去过程，不难归纳出任意一步（第k步）的计算通式：Gauss消去法已经将原方程组变形为上三角方程组，逆序回代容易求出最后结果。在第k步Gauss消去法中，要用到做分母，这就严格要求的绝对值不能太小。对于事先无法估计的值，解决办法是：每步消去之前，先考察待消去的几个方程的绝对值大小，并交换方程次序，以保证绝对值最大。程序设计思路：1、 设计数组，其中前面的0至n-1列存放方程组的系数矩阵,第n列存放常数项。2、 设计求列中最大值函数，为选择主元作准备。3、 设计一个交换数据函数，为交换方程做准备，4、 设计一个消去函数，其中要调用求列中最大值函数确定主元，要调用交换数据函数来交换方程5、 调用上三角方程组的求解函数求出最终解。6、 主函数准备数据、调用有关函数、输出结果课堂练习：编程实现用Gauss消去法解任意大小的方程组。#include #include const int n=4;/*下面是求列中最大值函数，考察范围是：akk、ak+1k、an-1k,返回结果是主元的行号，为选择主元作准备。*/int Max(double ann+1,int k)int t=k;double max=fabs(akk);for(int i=k+1;imax)t=i;max=fabs(aik);return t;/*下面是一个交换第k行和第t行方程的函数，选主元的后续工作*/void change(double ann+1,int k,int t)double x;for(int j=k;j=n;j+)x=akj;akj=atj;atj=x;/*下面是高斯消去法的核心函数，其中调用求主元、交换方程函数*/void gauss(double ann+1)for(int k=0;kn-1;k+)int t=Max(a,k);if(t!=k)change(a,k,t);for(int i=k+1;in;i+)for(int j=k+1;j=0;i-) for(int j=i+1;j=n-1;j+) ain-=aij*ajn; ain/=aii; /*主函数void main()double Ann+1=1,1,-1,1,4,1,-1,-1,1,0,2,1,-1,-1,-3,2,2,1,-1,5;gauss(A);LYB(A);for(int i=0;in;i+)coutxi=Ainendl;coutendl; 四、三角分解法解线性方程组1、对于n元线性方程组，其分解目标是：2、分解过程：分n步进行，每一步又拆分成两小步，即有：0.1，0.2步；1.1，1.2步；2.1，2.2步；n-1.1,n-1.2步。请注意：0.1步：观察矩阵A的第0行元素： 0.2步：观察矩阵A的第0列剩余元素（已运算过的元素不再考虑）： 1.1步：观察矩阵A的第1行剩余元素（已运算过的元素不再考虑）： 1.2步：观察矩阵A的第1列剩余元素（已运算过的元素不再考虑）： k.1步：观察矩阵A的第k行剩余元素（已运算过的元素不再考虑）：此时，矩阵A的第k行剩余元素有：注意，矩阵L的第k行元素是： 尾部有n-k个0，0多。矩阵U的第j列元素是： 尾部有n-j个0，0少。所以：所以：k.2步：观察矩阵A的第k列剩余元素（已运算过的元素不再考虑）： 此时，矩阵A的第k列剩余元素有：注意，矩阵L的第i行元素是： 尾部有n-i个0，0少。矩阵U的第j列元素是： 尾部有n-k个0，0多。所以：所以：3、小结：方阵A的LU分解过程可总结为： 4、利用矩阵的LU分解法解线性方程组假若UX=Y，则LY=B即假设：则：程序设计思路：1、设计一个数组，其中前面的0至n-1列存放方程组的系数矩阵,第n列存放常数项。2、对数组的系数矩阵部分(0至n-1列)进行LU分解，常数项(数组的第n列)保持不动。LU分解的结果依然存放在数组中，其中下三角存放L阵的结果（对角线元素均为1，不存放），上三角存放U的结果（含对角线）。3、利用下三角方程组的解法求中间结果，结果存放在常数项列阵的位置(数组的第n列)4、利用上三角方程组的解法求最终结果，最终结果也存放在常数项列阵的位置(数组的第n列)5、主函数的作用的准备数据和函数协调调用、结果输出。#include const int n=4;/*下面函数的作用是系数矩阵的分解*/void LU(double ann+1) for(int k=0;k=n-1;k+) for(int j=k;j=n-1;j+) for(int q=0;q=k-1;q+) akj-=akq*aqj; for(int i=k+1;i=n-1;i+) for(int q=0;q=k-1;q+) aik-=aiq*aqk; aik/=akk; /*解下三角方程组*/void LYB(double Lnn+1) for(int i=0;in;i+) for(int j=0;j=0;i-) for(int j=i+1;j=n-1;j+) ain-=aij*ajn; ain/=ai