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文档简介

解递归方程下面的求解方法，其正确性可阅读组合数学中的相关内容。1、 递推法例：Hanoi塔问题递归算法的时间复杂性，由以下递归方程给出：递推求解如下：所以，Hanoi塔问题递归算法的时间复杂性为：例：分治法实例。设n表示问题的尺寸，n/b表示将问题分成a个子问题后的每个子问题的尺寸，其中a,b为常数。d(n)表示在分解或合成子问题而得到整个问题解决时的时间耗费。则整个问题的时间耗费由下面的递归方程给出：递推求解如下：设：，则，有：当为常数时，有：当为常数时，有：若：，则：若：，则：若：，则：综上所述：2、公式解法K阶常系数齐次递推方程：是常数则对应的特征方程为：特征方程有k个根：，称为齐次方程的特征根。若：k个根中无重根，则齐次方程的通解为：其中的系数为待定系数，由方程的初始条件确定。若：k个根中有r重根，中，则齐次方程的通解为：例：求解递归方程解：递归方程的特征方程为 其特征根为：-1，-1，-1，2递归方程通解为：由初始条件有： 解得：因此递归方程的解为：K阶常系数线性非齐次递推方程：方程通解为： ，其中是对应的齐次方程的通解， 是一个特解。当f(n)是n的t次多项式时，可设特解也是n的t次多项式：，其中是待定系数，将代入原递推方程后即可求出。例：求解递归方程的一个特解解：设特解为，代入原递归方程有：化简有：比较两边的系数，有解得：因此递归方程的特解为：当f(n)是指数函数时，若，其中为给定系数。若不是对应的齐次方程的特征根，则可设特解：，其中P待定。若是对应的齐次方程的e重特征根，则可设特解：，其中P待定。例：求解递归方程解：递归方程对应的齐次方程的特征方程为：，解为-2，-3递归方程对应的齐次方程的通解为：设特解为，代入原递归方程有：解得：，递归方程的特解为：递归方程的解为：由初始条件得：解得：所以递归方程的解为：3、 生成函数法设是一个数列，作形式幂级数：称A(x)是数列的生成函数。当的通项由递归方程的形式给出时，利用生成函数可以求解出的结果。例：Hanoi塔问题中，若：表示移动n个盘子所需要的移动次数，则递归方程有：解：以为系数构造生成函数：其中的系数为，所以有所以，Hanoi塔问题递归算法的时间复杂性为：练习：用公式
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