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1 江苏省江苏省 2014 届一轮复习数学试题选编届一轮复习数学试题选编 27 概率 教师版 概率 教师版 填空题 1 袋中装有 2 个红球 2 个白球 除颜色外其余均相同 现从中任意 摸出 2 个小球 则摸出的两球颜色不同的概率为 答案 2 3 2 在集合 1 2 10 6 n Mx xn 中任取一个元素 所取元素恰好满足方程 1 cos 2 x 的概率是 答案 0 2 3 盒子中有大小相同的 3 只白球 2 只黑球 若从中随机地摸出两只球 则两只球颜色相同的概率是 答案 2 5 4 现有在外观上没有区别的 5 件产品 其中 3 件合格 2 件不合格 从中任意抽检 2 件 则一件合格 另一 件不合格的概率为 答案 3 5 5 从 1 2 3 4 这四个数中一次随机取两个数 则其中一个数是另一个的两倍的概率是 答案 命题立意 本题主要考查了古典概型的概念以及古典概型概率的求法 解析 从四个数中随机取两个数 共有 1 2 1 3 1 4 2 1 2 3 2 4 3 1 3 2 3 1 3 4 4 1 4 2 4 3 12 个基本事件 一个数是另一个数的两倍包括 1 2 2 1 2 4 4 2 这四 个基本事件 因此所求概率为 1 3 6 已知某拍卖行组织拍卖的 10 幅名画中 有 2 幅是膺品 某人在这次拍卖中随机买入了一幅画 则此人 买入的这幅画是膺品的事件的概率为 答案 8 15 7 现有 10 个数 它们能构成一个以 1 为首项 3 为公比的等比数列 若从这 10 个数中随机抽取一个数 则它小于8 的概率是 答案 以 1 为首项 3 为公比的等比数列的10 个数为 1 3 9 27 其中有 5 个负数 1 个正 数 1 计 6 个数小于8 从这 10 个数中随机抽取一个数 它小于 8 的概率是 63 105 8 有 5 个数成公差不为零的等差数列 这 5 个数的和为 15 若从这 5 个数中随机抽取一个数 则它小于 3 的概率是 答案 2 5 9 在 4 次独立重复试验中 随机事件 A 恰好发生 l 次的概率不大于其恰好发生两次的概率 则事件 A 在 2 一次试验中发生的概率 p 的取值范围是 答案 0 41P 10 已知数字发生器每次等可能地输出数字 或中的一个数字 则连续输出的个数字之和能被 3 整除124 的概率是 答案 3 8 11 现有 5 根竹竿 它们的长度 单位 m 分别为 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 若从中一次随机抽取 2 根竹竿 则它们的长度恰好相差 0 3m 的概率为 答案 答案 0 2 解析 略 12 江苏省泰州市 2012 2013 学年度第一学期期末考试高三数学试题 如图 ABCD 是 45 的方格纸 向此 四边形 ABCD 内抛撒一粒豆子 则豆子恰好落在阴影部分内的概率为 答案 0 2 13 正四面体的四个面上分别写有数字 0 1 2 3 把两个这样的四面体抛在桌面上 则露在外面的 6 个数字恰好是 2 0 1 3 0 3 的概率为 答案 1 8 14 在大小相同的 4 个小球中 2 个是红球 2 个是白球 若从中随机抽取 2 个球 则所抽取的球中至少有一 个红球的概率是 答案 13 28 15 从集合中任取两个不同的数 则其中一个数恰是另一个数的 3 倍的概率为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 1 12 16 已知一组抛物线 其中 a 为 1 3 5 7 中任取的一个数 b 为 2 4 6 8 中任取的 2 yaxbxc 一个数 从这些抛物线中任意抽取两条 它们在与直线交点处的切线相互平行的概率是 1 2 x 答案 7 60 17 一个质地均匀的正四面体 侧棱长与底面边长相等的正三棱锥 骰子四个面上分别标有 1 2 3 4 这四 个数字 抛掷这颗正四面体骰子 观察抛掷后能看到的数字 若连续抛掷两次 两次朝下面上的数字之 积大于 6 的概率是 3 答案 3 8 18 现在某类病毒记作 其中正整数 可以任意选取 则都取到奇数的 nmY Xmn7 m9 nnm 概率为 答案 解析 m取到奇数的有 1 3 5 7 共 4 种情况 n取到奇数的有 1 3 5 7 9 共 5 种情况 则 都取到奇数的概率为 nm 63 20 97 54 19 苏从 0 1 2 3 这四个数字中一次随机取两个数字 若用这两个数字组成无重复数字的两位数 则所得 两位数为偶数的概率是 答案 5 9 20 从集合 1 1 2 3 中随机选取一个数记为 m 从集合 1 1 2 中随机选取一个数记为 n 则方程 22 xy mn 1 表示双曲线的概率为 答案 5 12 21 已知某一组数据8 9 11 12 x 若这组数据的平均数为 10 则其方差为 若以连续掷两次骰子得到的点数nm 分别作为点P的横 纵坐标 则点P在直线4xy 上的概率 为 答案 2 22 在数字 1 2 3 4 四个数中 任取两个不同的数 其和大于积的概率是 答案 1 2 23 连续抛掷一个骰子 一种各面上分别标有 1 2 3 4 5 6 个点的正方体玩具 两次 则出现向上点数之和 大于 9 的概率是 答案 6 1 24 若将一颗质地均匀的骰子 一种各面上分别标有 1 2 3 4 5 6 个点的正方体玩具 先后抛掷两次 则 出现向上的点数之和为6的概率是 答案 5 36 25 已知甲 乙 丙三人在 3 天节日中值班 每人值班 1 天 那么甲排在乙前面值班的概率是 答案 1 2 26 在闭区间 1 1 上任取两个实数 则它们的和不大于 1 的概率是 答案 8 7 27 有 3 个兴趣小组 甲 乙两位同学各参加其中一个小组 且他们参加各个兴趣小组是等可能的 则甲 乙 两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 4 答案 1 3 28 有一个容量为 66 的样本 数据的分组及各组的频数如下 分组 1 5 3 5 3 5 5 5 5 5 7 5 7 5 9 5 9 5 11 5 频数 614162010 根据样本的频率分布估计 数据落在 5 5 9 5 的概率约是 答案 11 6 29 先后抛掷两枚均匀的正方体骰子 它们的六个面分别标有点数 1 2 3 4 5 6 骰子朝上的面的 点数分别为x y 则xy2 的概率为 答案 12 1 30 抽样统计甲 乙两位设计运动员的 5 此训练成绩 单位 环 结果如下 运 动 员 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 甲 8791908993 乙 8990918892 则成绩较为稳定 方差较小 的那位运动员成绩的方差为 答案 解析 易得乙较为稳定 乙的平均值为 90 5 9288919089 x 方差为 2 5 9092 9088 9091 9090 9089 22222 2 S 31 在一个袋子中装有分别标注数字 1 2 3 4 的四个小球 这些小球除标注的数字外完全相同 现从中随 机取出 2 个小球 则取出的小球标注的数字之和为 5 的概率是 答案 1 3 32 在不等式组所表示的平面区域内所有的格点 横 纵坐标均为整数的点称为格点 中任取03 1 yx x y x 3 个点 则该 3 点恰能成为一个三角形的三个顶点的概率为 答案 9 10 33 设数列 an 满足 则 a1的值大于 20 的概率为 311 8220 nnnn aaaaan N 答案 答案 1 4 34 盒子中有大小相同的 3 只小球 1 只黑球 若从中随机地摸出两只球 两只球颜色不同的概率是 5 答案 1 2 35 在一个盒子中有分别标有数字 1 2 3 4 5 的 5 张卡片 现从中一次取出 2 张卡片 则取到的卡片上的 数字之积为偶数的概率是 答案 7 10 36 当 A B 1 2 3 时 在构成的不同直线 Ax By 0 中 任取一条 其倾斜角小于 45 的概率是 答案 3 7 37 某学校有两个食堂 甲 乙 丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐 则他们在同一个食堂用餐 的概率为 答案 1 4 解答题 38 某厂生产甲 乙两种产品 生产甲产品一等品 80 二等品 20 生产乙产品 一等品 90 二等品 10 生产一件甲产品 如果是一等品可获利 4 万元 若是二等品则要亏损 1 万元 生产一件乙产品 如果是 一等品可获利 6 万元 若是二等品则要亏损 2 万元 设生产各种产品相互独立 1 记 x 单位 万元 为生产 1 件甲产品和件乙产品可获得的总利润 求 x 的分布列 2 求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率 答案 解 1 X1052 3 P0 720 180 080 02 2 依题意 至少需要生产 3 件一等品 334 4 0 80 20 80 8192PC 39 设 为随机变量 从棱长为1 的正方体的12 条棱中任取两条 当两条棱相交时 0 当两条棱平行时 的值为两条棱之间的距离 当两条棱异面时 1 1 求概率 0 P 2 求 的分布列 并求其数学期望 E 答案 解 1 若两条棱相交 则交点必为正方体 8 个顶点中的一个 过任意 1 个顶点恰有 3 条棱 共有 2 3 8C对相交棱 2 3 2 12 88 34 0 6611 C P C 2 若两条棱平行 则它们的距离为 1 或2 其中距离为2的共有6 对 2 12 661 2 6611 P C 416 1 1 0 2 1 1111 11 PPP 6 随机变量 的分布列是 01 2 P 4 11 6 11 1 11 其数学期望 6162 12 111111 E 40 1 山水城市镇江有 三山 金山 焦山 北固山 一位游客游览这三个景点的概率都是 0 5 且该游客是否游览这三个景点相互独立 用表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝 对值 求的分布列和数学期望 2 某城市有 为奇数 个景点 一位游客游览每个景点的概率都是 且该游客是否游览n n3n 0 5 这个景点相互独立 用表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值 求的分布列n 和数学期望 答案 41 如图 已知面积为 1 的正三角形 ABC 三边的中点分别为 D E F 从 A B C D E F 六个点中任取 三个不同的点 所构成的三角形的面积为 X 三点共线时 规定 X 0 1 求 1 2 P X 2 求 7 E X 答案 解 从六点中任取三个不同的点共有 3 6 C20 个基本事件 事件 1 2 X 所含基本事件有2317 从而 17 220 P X X的分布列为 X0 1 4 1 2 P 3 20 10 20 6 20 1 20 则 311016113 01 204202202040 E X 答 17 220 P X 13 40 E X 10 分 42 设 10 件同类型的零件中有 2 件不合格品 从所有零件中依次不放回地取出 3 件 以X表示取出的 3 件中不合格品的件数 1 求 第一次取得正品且第二次取得次品 的概率 2 求X的概率分布和数学期望 E X 答案 43 在一个盒子中有大小一样的 7 个球 球上分别标有数字 1 1 2 2 2 3 3 现从盒子中同时摸出 3 个球 设随机变量X为摸出的 3 个球上的数字和 1 求概率P X 7 2 求X的概率分布列 并求其数学期望E X D F E C B A 9 2013 届高三学情调研卷 答案 解 1 P X 7 P X 8 8 35 3 35 所以 P X 7 11 35 2 P X 6 P X 5 P X 4 13 35 8 35 3 35 所以随机变量X的概率分布列为 X45678 P 3 35 8 35 13 35 8 35 3 35 所以E X 4 5 6 7 8 6 3 35 8 35 13 35 8 35 3 35 44 某高校设计了一个实验学科的实验考查方案 考生从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 题 按照题目要 求独立完成全部实验操作 规定 至少正确完成其中 2 题的便可提交通过 已知 6 道备选题中考生甲有 4 道题能正确完成 2 道题不能完成 1 求出甲考生正确完成题数的概率分布列 并计算数学期望 2 若考生乙每题正确完成的概率都是 2 3 且每题正确完成与否互不影响 试从至少正确完成 2 题的概 率分析比较两位考生的实验操作能力 答案 解 设考生甲正确完成实验操作的题数分别为X 则 3 4 6 XH 所以 3 42 3 6 kk C C P Xk C 1 2 3k 所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为 X123 P 1 5 3 5 1 5 131 1232 555 E X 设考生乙正确完成实验操作的题数为Y 则 2 3 3 YB 所以 3 3 21 33 kkk P YkC 0 1 2 3k 12820 2 272727 P Y 又 314 2 555 P X 且 2 2 P XP Y 从至少正确完成 2 题的概率考察 甲通过的可能性大 因此可以判断甲的实验操作能力较强 10 45 某银行的一个营业窗口可办理四类业务 假设顾客办理业务所需的时间互相独立 且都是整数分钟 经 统计以往 100 位顾客办理业务所需的时间 t 结果如下 注 银行工作人员在办理两 项业务时的间隔时间忽略 不计 并将频率视为概率 求银行工作人员恰好在第 6 分钟开始办理第三位顾客的业务的概率 用 X 表示至第 4 分钟末已办理完业务的顾客人数 求 X 的分布列及数学期望 答案 46 对于正整数 2 用表示关于的一元二次方程有实数根的有序数组的n n Tx 2 20 xaxb a b 组数 其中 和可以相等 对于随机选取的 和可以相 1 2 a bn ab 1 2 a bn ab 等 记为关于的一元二次方程有实数根的概率 n Px 2 20 xaxb 1 求和 2 n T 2 n P 2 求证 对任意正整数 2 有n 1 1 n P n 类别A 类B 类C 类D 类 顾客数 人 20304010 时间 t 分钟 人 2346 11 答案 解析 必做题 本小题主要考查概率的基本知识和记数原理 考查探究能力 满分 10 分 47 某校组织一次篮球投篮测试 已知甲同学每次投篮的命中率均为 1 2 1 若规定每投进 1 球得 2 分 求甲同学投篮 4 次得分 X 的概率分布和数学期望 2 假设某同学连续 3 次投篮未中或累计 7 次投篮未中 则停止投篮测试 问 甲同学恰好投篮 10 次后 被 停止投篮测试的概率是多少 答案 解 1 X 的概率分布列为 X02468 P 1 16 1 4 3 8 1 4 1 16 E X 0 2 4 6 8 4 或E X 8 4 1 16 1 4 3 8 1 4 1 16 1 2 2 连续 3 次投篮未中 不同投法为 1 C C C 4 C C 44 种 1 6 2 6 3 6 1 3 1 3 累计 7 次投篮未中 不同投法为 C 1 4 种 1 3 所以 该同学恰好投篮 10 次停止投篮测试的概率为P 48 1024 3 64 48 在某社区举办的 有奖知识问答比赛 中 甲 乙 丙三人同时回答某一道题 已知甲回答对这道题 的概率是 甲 丙二人都回答错的概率是 乙 丙二人都回答对的概率是 3 4 1 124 1 求乙 丙二人各自回答对这道题的概率 设乙 丙二人中回答对该题的人数为 X 求 X 的分布列和数学期望 答案 解 设甲 乙 丙回答对这道题分别为事件 则 且有ABC 4 3 AP 12 即 4 1 12 1 CPBP CPAP 4 1 12 1 1 4 3 1 CPBP CP 解得 8 3 BP 3 2 CP 由题意 2 1 0 X 4 1 2 XP 24 5 3 1 8 5 0 CPBPXP 24 13 2 0 1 1 XPXPXP 所以随机变量的分布列为 X 24 25 4 1 2 24 13 1 24 5 0 XE 49 袋中有 4 个红球 3 个黑球 从袋中随机地抽取 4 个球 设取到一个红球得 2 分 取到一个黑球得 1 分 1 求得分X不大于6的概率 2 求得分X的数学期望 答案 解 1 13 43 4 7 4 5 35 C C P X C 22 43 4 7 18 6 35 C C P X C 22 6 5 6 35 P XP XP X 2 得分X的所有可能值为 5 6 7 8 13 43 4 7 4 5 35 C C P X C 22 43 4 7 18 6 35 C C P X C 31 43 4 7 12 7 35 C C P X C 40 43 4 7 1 8 35 C C P X C 得分X的分布列为 X5678 P 4 35 18 35 12 35 1 35 EX 41812144 5678 353535357 50 某中学从高中三个年级选派 2 名教师和 10 名学生去外校考察学习 学生的名额分配如下 高一年级高二年级高三年级 3 人5 人2 人 1 若从 10 名学生中选出 2 人做组长 求他们中恰好有 1 人是高二年级学生的概率 2 若将 2 名教师安排到三个年级 假设每名教师加入各年级是等可能的 且各位教师的选择是相互独 立的 记安排到高二年级的教师人数为 X 求随机变量 X 的分布列和数学期望 答案 解 1 设 他们中恰好有 1 人是高一年级学生 为事件 则 11 55 2 10 C C P A C 255 459 故所求概率为 5 9 13 2 解法 1 的所有取值为 0 1 2 由题意可知 每位教师选择高二年级的概率均为 3 1 所以 02 0 2 124 0 339 PC 11 1 2 124 1 339 PC 20 2 2 121 2 339 PC 随机变量 的分布列为 012 4 9 4 9 1 9 51 某射击小组有甲 乙两名射手 甲的命中率为 1 P 3 2 乙的命中率为 2 P 在射击比武活动中每人 射击两发子弹则完成一次检测 在一次检测中 若两人命中次数相等且都不少于一发 则称该射击 小组为 先进和谐组 若 2 P 2 1 求该小组在一次检测中荣获 先进和谐组 的概率 计划在 2013 年每月进行 1 次检测 设这 12 次检测中该小组获得 先进和谐组 的次数为 如果 5 E 求 2 P 的取值范围 答案 解 1 可得 2 1 2 1 3 2 3 2 2 1 2 1 3 1 3 2 1 2 1 2 CCP 3 1 2 该小组在一次检测中荣获 先进和谐组 的概率为 14 2 22 2 222 1 2 1 2 9 4 9 8 3 2 3 2 1 3 1 3 2 PPPPPCCP 而 12 PB 所以 PE12 由 5 E 知 512 9 4 9 8 2 22 PP 解得 1 4 3 2 P 52 袋中装着标有数字 1 2 3 4 的卡片各 1 张 甲从袋中任取 2 张卡片 每张卡片被取出的可能性都相等 并 记下卡面数字和为X 然后把卡片放回 叫做一次操作 1 求在一次操作中随机变量X的概率分布和数学期望E X 2 甲进行四次操作 求至少有两次X不大于E X 的概率 答案 解 1 由题设知 X可能的取值为 3 4 5 6 7 随机变量X的概率分布为 X34567 P 1 6 1 6 1 3 1 6 1 6 因此X的数学期望E X 3 4 6 7 5 5 1 6 1 3 2 记 一次操作所计分