2014年山东省青岛市高考数学一模试卷(理科).doc

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公测期间二维码查看解析免扣优点，对试卷的使用方面的意见和建议，欢迎通过“意见反馈”告之。2014年山东省青岛市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）（2014青岛一模）若集合A=x|0x2，B=x|x21，则AB=（）Ax|0x1Bx|x0或x1Cx|1x2Dx|0x22（5分）（2014九江三模）已知向量，=（3，m），mR，则“m=6”是“”的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件3（5分）（2015广东模拟）如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为（）A11B11.5C12D12.54（5分）（2014枣庄一模）双曲线=1的渐近线方程为（）Ay=xBy=xCy=xDy=x5（5分）（2015广东模拟）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A5B7C9D116（5分）（2014枣庄一模）函数图象的一条对称轴方程可以为（）ABCDx=7（5分）（2014赣州二模）过点P（1，）作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A和B，则弦长|AB|=（）AB2CD48（5分）（2014枣庄一模）已知实数x，y满足约束条件，则的最小值是（）A2B2C1D19（5分）（2014枣庄一模）由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积为（）AB2ln3C4+ln3D4ln310（5分）（2014枣庄一模）在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，bR，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意aR，a*0=a；（2）对任意a，bR，a*b=ab+（a*0）+（b*0）关于函数f（x）=（ex）*的性质，有如下说法：函数f（x）的最小值为3；函数f（x）为偶函数；函数f（x）的单调递增区间为（，0其中所有正确说法的个数为（）A0B1C2D3二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11（5分）（2014枣庄一模）已知（a，bR），其中i为虚数单位，则a+b=_12（5分）（2014许昌三模）已知随机变量服从正态分布N（0，1），若P（1）=a，a为常数，则P（10）=_13（5分）（2014大庆三模）二项式（）6的展开式中，常数项为_14（5分）（2014枣庄一模）如图所示是一个四棱锥的三视图，则该几何体的体积为_；15（5分）（2014枣庄一模）已知函数，g（x）=|xk|+|x1|，若对任意的x1，x2R，都有f（x1）g（x2）成立，则实数k的取值范围为_三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16（12分）（2014枣庄一模）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC（tanAtanC1）=1（）求B的大小；（）若，求ABC的面积17（12分）（2014枣庄一模）2013年6月“神舟”发射成功这次发射过程共有四个值得关注的环节，即发射、实验、授课、返回据统计，由于时间关系，某班每位同学收看这四个环节的直播的概率分别为、，并且各个环节的直播收看互不影响（）现有该班甲、乙、丙三名同学，求这3名同学至少有2名同学收看发射直播的概率；（）若用X表示该班某一位同学收看的环节数，求X的分布列与期望18（12分）（2014枣庄一模）如图几何体中，四边形ABCD为矩形，AB=2BC=4，BF=CF=AE=DE，EF=2，EFAB，AFCF（）若G为FC的中点，证明：AF面BDG；（）求二面角ABFC的余弦值19（12分）（2014枣庄一模）已知an是等差数列，首项a1=3，前n项和为Sn令，cn的前20项和T20=330数列bn是公比为q的等比数列，前n项和为Wn，且b1=2，q3=a9（）求数列an、bn的通项公式；（）证明：20（13分）（2014枣庄一模）已知椭圆C1的中心为原点O，离心率，其一个焦点在抛物线C2：y2=2px的准线上，若抛物线C2与直线相切（）求该椭圆的标准方程；（）当点Q（u，v）在椭圆C1上运动时，设动点P（2vu，u+v）的运动轨迹为C3若点T满足：，其中M，N是C3上的点，直线OM与ON的斜率之积为，试说明：是否存在两个定点F1，F2，使得|TF1|+|TF2|为定值？若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由21（14分）（2014潍坊模拟）已知函数f（x）=ax+lnx，函数g（x）的导函数g（x）=ex，且g（0）g（1）=e，其中e为自然对数的底数（）求f（x）的极值；（）若x（0，+），使得不等式成立，试求实数m的取值范围；（）当a=0时，对于x（0，+），求证：f（x）g（x）22014年山东省青岛市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）（2014青岛一模）若集合A=x|0x2，B=x|x21，则AB=（）Ax|0x1Bx|x0或x1Cx|1x2Dx|0x2考点：交集及其运算菁优网版权所有专题：集合分析：求出集合B中不等式的解集，找出A与B的公共部分即可确定出交集解答：解：x21解得：x1或x1，B=x|x1或x1，A=x|0x2，AB=x|1x2 故选：C点评：此题考查了交集及其运算，熟练交集的定义是解本题的关键2（5分）（2014九江三模）已知向量，=（3，m），mR，则“m=6”是“”的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件考点：平面向量共线（平行）的坐标表示菁优网版权所有专题：平面向量及应用分析：由1（2+m）22=0，即可得出解答：解：=（1，2）+（3，m）=（2，2+m）由1（2+m）22=0，m=6因此“m=6”是“”的充要条件故选：A点评：本题考查了向量的共线定理、充要条件，属于基础题3（5分）（2015广东模拟）如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为（）A11B11.5C12D12.5考点：众数、中位数、平均数菁优网版权所有专题：概率与统计分析：由题意，0.065+x0.1=0.5，所以x为2，所以由图可估计样本重量的中位数解答：解：由题意，0.065+x0.1=0.5，所以x为2，所以由图可估计样本重量的中位数是12故选：C点评：本题考查频率分布直方图，考查样本重量的中位数，考查学生的读图能力，属于基础题4（5分）（2014枣庄一模）双曲线=1的渐近线方程为（）Ay=xBy=xCy=xDy=x考点：双曲线的标准方程菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：在双曲线的标准方程中，利用渐近线方程的概念直接求解解答：解：双曲线的渐近线方程为：，整理，得4y2=5x2，解得y=x故选：B点评：本题考查双曲线的标准方程的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质5（5分）（2015广东模拟）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A5B7C9D11考点：程序框图菁优网版权所有专题：空间位置关系与距离分析：根据框图的流程依次计算运行的结果，直到不满足条件S20，计算输出k的值解答：解：由程序框图知：第一次运行S=1+2=3，k=1+2=3；第二次运行S=1+2+6=9k=3+2=5；第三次运行S=1+2+6+10=19，k=5+2=7；第四次运行S=1+2+6+10+14=33，k=7+2=9；此时不满足条件S20，程序运行终止，输出k=9故选：C点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算运行的结果是解答此类问题的常用方法6（5分）（2014枣庄一模）函数图象的一条对称轴方程可以为（）ABCDx=考点：二倍角的余弦；余弦函数的图象菁优网版权所有专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：先利用二倍角公式化简，再利用三角函数的性质，可得结论解答：解：=，令2x=k，x=（kZ），函数图象的一条对称轴方程可以为x=故选：D点评：本题考查二倍角公式、考查三角函数的性质，周期化简是关键7（5分）（2014赣州二模）过点P（1，）作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A和B，则弦长|AB|=（）AB2CD4考点：圆的切线方程菁优网版权所有专题：计算题；直线与圆分析：由圆的方程找出圆心坐标和半径r，确定出|OA|与|OB|的长，由切线的性质得到OA与AP垂直，OB与PB垂直，且切线长相等，由P与O的坐标，利用两点间的距离公式求出|OP|的长，在直角三角形AOP中，利用勾股定理求出|AP|的长，同时得到APO=30，确定出三角形APB为等边三角形，由等边三角形的边长相等得到|AB|=|OP|，可得出|AB|的长解答：解：由圆的方程x2+y2=1，得到圆心O（0，0），半径r=1，|OA|=|OB|=1，PA、PB分别为圆的切线，OAAP，OBPB，|PA|=|PB|，OP为APB的平分线，P（1，），O（0，0），|OP|=2，在RtAOP中，根据勾股定理得：|AP|=，|OA|=|OP|，APO=30，APB=60，PAB为等边三角形，|AB|=|AP|=故选A点评：本题考查了直线与圆的位置关系，直线与圆的位置关系由d与r的大小关系确定，当dr时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当dr时，直线与圆相交（d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径）8（5分）（2014枣庄一模）已知实数x，y满足约束条件，则的最小值是（）A2B2C1D1考点：简单线性规划菁优网版权所有分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义为点（x，y）到定点A（0，1）之间的斜率，即可得到结论解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：的几何意义是区域内的点P（x，y）到定点A（0，1）之间的斜率，由图象可知当P位于点D（1，0）时，直线AP的斜率最小，此时的最小值为，故选：D点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义以及两点间的斜率公式是解决本题的关键9（5分）（2014枣庄一模）由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积为（）AB2ln3C4+ln3D4ln3考点：定积分在求面积中的应用菁优网版权所有专题：计算题分析：由题意利用定积分的几何意义知，欲求由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积曲边梯形ABD的面积与直角三角形BCD的面积，再计算定积分即可求得解答：解：根据利用定积分的几何意义，得：由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积：S=（3）dx+=（3xlnx）+2=3ln31+2=4ln3故选D点评：本题主要考查定积分求面积用定积分求面积时，要注意明确被积函数和积分区间，属于基本运算10（5分）（2014枣庄一模）在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，bR，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意aR，a*0=a；（2）对任意a，bR，a*b=ab+（a*0）+（b*0）关于函数f（x）=（ex）*的性质，有如下说法：函数f（x）的最小值为3；函数f（x）为偶函数；函数f（x）的单调递增区间为（，0其中所有正确说法的个数为（）A0B1C2D3考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明菁优网版权所有专题：综合题；新定义；函数的性质及应用分析：根据新定义的运算表示出f（x）的解析式，然后逐项研究函数的性质即可作出判断解答：解：由定义的运算知，f（x）=）=（ex）*=1+ex+，f（x）=1+ex+=3，当且仅当，即x=0时取等号，f（x）的最大值为3，故正确；f（x）=1+=1+=f（x），f（x）为偶函数，故正确；f（x）=，当x0时，f（x）=0，f（x）在（，0上单调递减，故错误故正确说法的个数是2，故选C点评：本题是一个新定义运算型问题，考查了函数的最值、奇偶性、单调性等有关性质以及同学们类比运算解决问题的能力本题的关键是对f（x）的化简二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11（5分）（2014枣庄一模）已知（a，bR），其中i为虚数单位，则a+b=1考点：复数相等的充要条件菁优网版权所有专题：计算题；数系的扩充和复数分析：先对等式化简，然后根据复数相等的充要条件可得关于a，b的方程组，解出可得解答：解：，即=2ai=b+i，由复数相等的条件，得，解得，a+b=1，故答案为：1点评：本题考查复数相等的充要条件，属基础题，正确理解复数相等的条件是解题关键12（5分）（2014许昌三模）已知随机变量服从正态分布N（0，1），若P（1）=a，a为常数，则P（10）=考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义菁优网版权所有专题：计算题；概率与统计分析：随机变量服从正态分布N（0，1），得到曲线关于x=0对称，根据曲线的对称性及概率的性质得到结果解答：解：随机变量服从正态分布N（0，1），曲线关于x=0对称，P（1）=P（1）=a，则P（10）=故答案为：点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题13（5分）（2014大庆三模）二项式（）6的展开式中，常数项为15考点：二项式系数的性质菁优网版权所有专题：计算题分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于零求得r的值，即可求得常数项解答：解：二项式（）6的展开式中通项公式为 Tr+1=x6rx2r=x63r令63r=0，可得 r=2，故展开式的常数项为 =15，故答案为 15点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题14（5分）（2014枣庄一模）如图所示是一个四棱锥的三视图，则该几何体的体积为4；考点：由三视图求面积、体积菁优网版权所有专题：计算题；空间位置关系与距离分析：根据三视图判断几何体有两部分组成，左边部分是四棱锥，且四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为2；右边部分是三棱锥，且三棱锥的高为2，底面是直角边长为2的等腰直角三角形，把数据代入棱锥的体积公式计算解答：解：由三视图知几何体的左边部分是四棱锥，且四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为2；几何体的右边部分是三棱锥，且三棱锥的高为2，底面是直角边长为2的等腰直角三角形，其直观图如图：几何体的体积V=222+222=4故答案为：4点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量是解答本题的关键15（5分）（2014枣庄一模）已知函数，g（x）=|xk|+|x1|，若对任意的x1，x2R，都有f（x1）g（x2）成立，则实数k的取值范围为或考点：分段函数的应用菁优网版权所有专题：综合题；函数的性质及应用分析：求出函数的最大值为，g（x）=|xk|+|x1|的最小值为|1k|，可得|1k|，即可求出实数k的取值范围解答：解：由题意函数的最大值为，g（x）=|xk|+|x1|的最小值为|1k|，对任意的x1，x2R，都有f（x1）g（x2）成立，|1k|，或故答案为：或点评：本题考查分段函数的应用，考查函数的最值，确定函数的最值是关键三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16（12分）（2014枣庄一模）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC（tanAtanC1）=1（）求B的大小；（）若，求ABC的面积考点：余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理菁优网版权所有专题：三角函数的求值分析：（）已知等式括号中利用同角三角函数间基本关系切化弦，去括号后利用两角和与差的余弦函数公式化简，再由诱导公式变形求出cosB的值，即可确定出B的大小；（）由cosB，b的值，利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b以及b的值代入求出ac的值，再由cosB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积解答：解：（）由2cosAcosC（tanAtanC1）=1得：2cosAcosC（1）=1，2（sinAsinCcosAcosC）=1，即cos（A+C）=，cosB=cos（A+C）=，又0B，B=；（）由余弦定理得：cosB=，=，又a+c=，b=，2ac3=ac，即ac=，SABC=acsinB=点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键17（12分）（2014枣庄一模）2013年6月“神舟”发射成功这次发射过程共有四个值得关注的环节，即发射、实验、授课、返回据统计，由于时间关系，某班每位同学收看这四个环节的直播的概率分别为、，并且各个环节的直播收看互不影响（）现有该班甲、乙、丙三名同学，求这3名同学至少有2名同学收看发射直播的概率；（）若用X表示该班某一位同学收看的环节数，求X的分布列与期望考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式菁优网版权所有专题：概率与统计分析：（）设“这3名同学至少有2名同学收看发射直播”为事件A，利用n次重复独立试验中事件A恰好发生k次的概率公式能求出这3名同学至少有2名同学收看发射直播的概率（）由已知条件知X可能取值为0，1，2，3，4分别求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3），P（X=4），由此能求出X的分布列和数学期望解答：解：（）设“这3名同学至少有2名同学收看发射直播”为事件A，则（4分）（）由条件可知X可能取值为0，1，2，3，4；X的分布列X01234P（10分）X的期望（12分）点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要注意n次重复独立试验中事件A恰好发生k次的概率公式的灵活运用18（12分）（2014枣庄一模）如图几何体中，四边形ABCD为矩形，AB=2BC=4，BF=CF=AE=DE，EF=2，EFAB，AFCF（）若G为FC的中点，证明：AF面BDG；（）求二面角ABFC的余弦值考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定菁优网版权所有专题：空间位置关系与距离分析：（）连接AC交BD于O点，利用三角形中位线定理得到OGAF，由此能证明AF面BDG（）以P为原点，PF为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角ABFC的余弦值解答：（）证明：连接AC交BD于O点，则O为AC的中点，连接OG，因为点G为FC中点，所以OG为AFC的中位线，所以OGAF（2分）AF面BDG，OG面BDG，所以AF面BDG（4分）（）解：取AD中点M，BC的中点Q，连接MQ，则MQABEF，所以MQFE共面，作FPMQ于P，ENMQ于N，则ENFP且EN=FP，AE=DE=BF=CF，AD=BC，ADE和BCF全等，EM=FQ，ENM和FPQ全等，MN=PQ=1BF=CF，Q为BC中点，BCFQ，又BCMQ，FQMQ=Q，BC面MQFE，PFBC，PF面ABCD，（6分）以P为原点，PF为z轴建立空间直角坐标系如图所示，则A（3，1，0），B（1，1，0），C（1，1，0），设F（0，0，h），则，AFCF，设面ABF的法向量，由，令z1=1，得（8分）设面CBF的法向量，由，令z2=1，得（10分）设二面角ABFC的平面角为，则（12分）点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用19（12分）（2014枣庄一模）已知an是等差数列，首项a1=3，前n项和为Sn令，cn的前20项和T20=330数列bn是公比为q的等比数列，前n项和为Wn，且b1=2，q3=a9（）求数列an、bn的通项公式；（）证明：考点：数列与不等式的综合；等差数列的性质菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列分析：（）由已知条件推导出a2+a4+a6+a20=330，解得d=3，由此利用题设条件能求出数列an、bn的通项公式（）由（）知，要证（3n+1）WnnWn+1，只需证3n2n+1，用数学归纳法证明即可解答：（）解：设等差数列的公差为d，T20=S1+S2S3+S4+S20=330，a2+a4+a6+a20=330，解得d=3，an=3+3（n1）=3n，（4分）q3=a9=27，q=3，（6分）（）证明：由（）知，要证（3n+1）WnnWn+1，只需证（3n+1）（3n1）n（3n+11），即证：3n2n+1（8分）当n=1时，3n=2n+1，下面用数学归纳法证明：当n2时，3n2n+1，（1）当n=2时，左边=9，右边=5，左右，不等式成立，（2）假设n=k（k2），3k2k+1，则n=k+1时，3k+1=33k3（2k+1）=6k+32（k+1）+1，n=k+1时不等式成立根据（1）（2）可知：当n2时，3n2n+1，综上可知：3n2n+1对于nN*成立，（12分）点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意数学归纳法的合理运用20（13分）（2014枣庄一模）已知椭圆C1的中心为原点O，离心率，其一个焦点在抛物线C2：y2=2px的准线上，若抛物线C2与直线相切（）求该椭圆的标准方程；（）当点Q（u，v）在椭圆C1上运动时，设动点P（2vu，u+v）的运动轨迹为C3若点T满足：，其中M，N是C3上的点，直线OM与ON的斜率之积为，试说明：是否存在两个定点F1，F2，使得|TF1|+|TF2|为定值？若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）先确定抛物线的方程，再求出该椭圆的标准方程；（）先确定运动轨迹为C3的方程，由得M，N，P坐标之间的关系，根据直线OM与ON的斜率之积为，可知：T点是椭圆上的点，即可得出结论解答：解：（I）由，抛物线C2：y2=2px与直线相切，（2分）抛物线C2的方程为：，其准线方程为：，离心率，a=2，b2=a2c2=2，故椭圆的标准方程为（5分）（II）设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x，y），T（x，y）则，当点Q（u，v）在椭圆C1上运动时，动点P（2vu，u+v）的运动轨迹C3，x2+2y2=12，C3的轨迹方程为：x2+2y2=12（7分）由得（x，y）=（x2x1，y2y1）+2（x1，y1）+（x2，y2）=（x1+2x2，y1+2y2），x=x1+2x2，y=y1+2y2设kOM，kON分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知，因此x1x2+2y1y2=0，（9分）点M，N在椭圆x2+2y2=12上，故=x2+2y2=60，从而可知：T点是椭圆上的点，存在两个定点F1，F2，且为椭圆的两个焦点，使得|TF1|+|TF2|为定值，其坐标为 （13分）点评：本题考查椭圆、抛物线的标准方程，考查代入法求轨迹方程，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题21（14分）（2014潍坊模拟）已知函数f（x）=ax+lnx，函数g（x）的导函数g（x）=ex，且g（0）g（1）=e，其中e为自然对数的底