3.函数的值域.doc

第三讲:函数的值域一知识点1函数的值域的定义在函数y=f(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.2确定函数的值域的原则当函数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合；当函数y=f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定.3. 基本初等函数的值域的值域为R.当a0时，值域为；当a0时，值域为.值域为.值域为.值域为R.值域为-1,1;值域为R4求函数值域的方法直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围.配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如的函数的值域问题，均可使用配方法；对于有范围限制的，往往是配方、画图、取段、看值域.反表示法：对形如的函数，可先用y反表示f(x),再利用f(x)本身的有界性求y的取值范围；此种类型较简单时也可采用“分离常数”的办法直接看值域.判别式法：把函数转化成关于x的二次方程F(x,y)=0，通过方程有实根，从而求得原函数的值域，对形如（a、d不同时为0）的函数求值域常用此法，但前提是定义域是R,且分子分母无公因子可约.换元法：运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域.一般的无理函数常用此法求值域.不等式法：利用基本不等式，求值域，使用后者时应注意正、定、等三要素.单调性法：确定函数在定义域上的单调性求出函数的值域.求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值，再写出值域；数形结合法：当一个函数图象可作时，可通过其图象来确定函数的值域；若函数表达式具有典型的几何意义如直线的斜率、两点间的距离等，则可借助几何方法求函数的值域.二应用举例例1求下列函数的值域解：配方法：由得当时,.当或3时,换元法：令,则,当即时,无最小值.三角换元法：函数的定义域是,设,则化为,原来的函数的值域是 .点评：求值域要注意在函数的定义域范围内求值域求值域最后应写成集合或区间的形式；对形如的函数可令，则转化为关于t的有范围限制的二次函数求值；对于含有的结构的函数，可考虑用三角换元令x=acos求解.例2求下列函数的值域 解:分离常数法：函数的值域为 反表示法：，函数的值域为（-1，1）判别式法：由得，当时，当时，由得，函数定义域为R,函数的值域为点评：对形如的函数，可先用y反表示f(x),再利用f(x)本身的有界性求y的取值范围；此种类型较简单时也可采用“分离常数”的办法直接看值域.对形如（a、d不同时为0）的函数求值域常用判别式法；注意使用前提：定义域是R且分子分母无公因子可约.此外求解过程中需兼顾二次项系数是否可能为0，以避免求解过程对而不全.例3求下列函数的值域 解:不等式法：,又,则函数的值域为-3,0) 令 ,故不能使用不等式，但是在时为增函数. .函数的值域为点评：利用基本不等式求值域，应注意正、定、等三要素.定值条件往往需要自己来构造;等号能否取到需要切实地验证.对形如的函数，用它在上递减，在上递增，求值域.例4求下列函数的值域 解:借助函数式的几何意义(直线的斜率): 平方整理得 故， 借助函数式的几何意义(两点间的距离)：可化为表示直角坐标平面内x轴上的点到两定点的距离之和，如图2-3-2，有 求导法:y=5x4-20x3+15x2,令y=0,得5x4-20x3+15x2=0得x2(x2-4x+3)=0,解得x1=0,x2=3,x3=1,由于3-1,2,故比较f(0),f(1),f(-1),f(2)可知f(x)最大值为3,最小值为-9,所以值域为-9,3点评：对形如的函数,可转化为直线的斜率或用去分母合一变形后三角函数有界性求解；若函数表达式有典型的几何意义如直线的斜率、两点间的距离等，则可借助几何方法求函数的值域.高次函数求值域可考虑导数方法求值域.例5.已知函数的定义域为R，值域为0，2，求m,n的值.解:设.因为方程中的x,所以时,由=(-8)2-4(-m)(-n)0,即有,又因为f(x)=log3的值域为0,2,所以1,9,所以关于的方程2-(m+n) +(mn-6)=0的两根为1和9,所以解得:m=n=5,下面检验当-m=0是否成立.若-m=0即=m,因为 m=n=5,所以=m=n=5,此时x=0,所以当-m=0时,m=n=5也成立,综上可知,m=n=5点评：求解本题的首要任务是将两个已知条件正确的等价转化,最终将问题转化为一个方程的根与系数的关系问题.或选: 若函数的值域为-1,5,求实数a,c.解:由得,x2y-ax+cy-1=0,当y=0时,ax=1,所以a0,当y0时,因为xR,所以=a2-4y(cy-1)0,所以4cy2-4y-a20,因为 -1y5,所以-1,5是方程4cy2-4y-a2=0的两根,所以点评:求形如（a、d不同时为0）的函数的值域时,常利用函数的定义域非空这个隐含的条件,将函数转化为方程,利用0转化为关于函数值的不等式,求解时,要注意二次项系数为字母时要讨论.例6甲乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a元，把全程运输成本y元表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域，为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？分析：全程成本=每小时成本时间 每小时成本=可变成本+固定成本 实际问题注意定义域解：由题意，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程成本为： 由题意知S、a、b、v都为正数，故有，当且仅当时“=”成立.若时，全程运输成本最小；若当v(0, c时有当且仅当v=c时“=”成立即v=c时全程运输成本最小;综上所述：当时，全程运输成本最小；当时v=c时全程运输成本最小.点评：在解决实际问题时，建立函数关系别忘了结合变元的实际意义确定函数的定义域；利用不等式求值域时应注意正、定、等三要素.对于何时取道最值，本题需要作合理的分类讨论.或选:设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm2,画面的宽与高的比为(1),画面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求，那么为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？解 设画面高为x cm,宽为x cm,则x2=4840,设纸张面积为S cm2,则S=(x+16)(x+10)=x2+(16+10)x+160,将x=代入上式得 S=5000+44 (8+),当8=,即=1)时S取得最小值 此时高 x=88 cm,宽 x=88=55 cm 如果，可设10,S(1)S(2)0,S()在区间内单调递增 从而对于,当=时，S()取得最小值 答 画面高为88 cm,宽为55 cm时，所用纸张面积最小 如果要求,当=时，所用纸张面积最小 三小结1熟练掌握求函数值域的各种方法，并能灵活选用；2求值域时要务必注意定义域的制约；3对含字母参数或参数区间的值域问题要注意合理地分类讨论；4用基本不等式求值域时要特别注意“=”成立的条件.四作业 1.走向高考P29-35同步阅读并练习2.补充作业:1.求下列函数的值域(1) (2) (4) (5)答案:(1) ;(2); (3) ;(4