第五章 离散傅里叶变换及其快速算法.doc

第五章 离散傅里叶变换及其快速算法1 离散傅里叶变换(DFT)的推导(1) 时域抽样：目的：解决信号的离散化问题。效果：连续信号离散化使得信号的频谱被周期延拓。(2) 时域截断：原因：工程上无法处理时间无限信号。方法：通过窗函数(一般用矩形窗)对信号进行逐段截取。结果：时域乘以矩形脉冲信号，频域相当于和抽样函数卷积。(3) 时域周期延拓：目的：要使频率离散，就要使时域变成周期信号。方法：周期延拓中的搬移通过与的卷积来实现。表示：延拓后的波形在数学上可表示为原始波形与冲激串序列的卷积。结果：周期延拓后的周期函数具有离散谱。(4) 经抽样、截断和延拓后，信号时域和频域都是离散、周期的。过程见图1。图1 DFT推导过程示意图(5) 处理后信号的连续时间傅里叶变换：(i) 是离散函数，仅在离散频率点处存在冲激，强度为，其余各点为0。(ii) 是周期函数，周期为，每个周期内有个不同的幅值。(iii) 时域的离散时间间隔(或周期)与频域的周期(或离散间隔)互为倒数。2 DFT及IDFT的定义(1) DFT定义：设是连续函数的个抽样值，这N个点的宽度为N的DFT为：(2) IDFT定义：设是连续频率函数的个抽样值， 这N个点的宽度为N的IDFT为：(3) 称为N点DFT的变换核函数，称为N点IDFT的变换核函数。它们互为共轭。(4) 同样的信号，宽度不同的DFT会有不同的结果。DFT正逆变换的对应关系是唯一的，或者说它们是互逆的。(5) 引入(i) 用途：(a) 正逆变换的核函数分别可以表示为和。(b) 核函数的正交性可以表示为：(c) DFT可以表示为：(d) IDFT可以表示为：(ii) 性质：周期性和对称性：(a)(b)(c)(d)(e)(f)3 离散谱的性质(1) 离散谱定义：称为离散序列的DFT离散谱，简称离散谱。(2) 性质：(i) 周期性：序列的N点的DFT离散谱是周期为N的序列。(ii) 共扼对称性：如果为实序列，则其N点的DFT关于原点和N/2都具有共轭对称性。即；(iii) 幅度对称性：如果为实序列，则其N点的DFT关于原点和N/2都具有幅度对称性。即；(3) 改写：(i) 简记为(ii) 简记为(iii) DFT对简记为：或(iv)(v)4 DFT总结(1) DFT的定义是针对任意的离散序列中的有限个离散抽样的，它并不要求该序列具有周期性。(2) 由DFT求出的离散谱是离散的周期函数，周期为、离散间隔为。离散谱关于变元k的周期为N。(3) 如果称离散谱经过IDFT所得到的序列为重建信号，则重建信号是离散的周期函数，周期为(对应离散谱的离散间隔的倒数)、离散间隔为(对应离散谱周期的倒数)。(4) 经IDFT重建信号的基频就是频域的离散间隔，或时域周期的倒数，为。(5) 实序列的离散谱关于原点和(如果N是偶数)是共轭对称和幅度对称的。因此，真正有用的频谱信息可以从0范围获得，从低频到高频。(6) 在时域和频域范围内的N点分别是各自的主值区间或主值周期。5 DFT性质(1) 线性性：对任意常数 ()，有(2) 奇偶虚实性：(i) DFT的反褶、平移：先把有限长序列周期延拓，再作相应反褶或平移，最后取主值区间的序列作为最终结果。(ii) DFT有如下的奇偶虚实特性：奇奇；偶偶；实偶实偶；实奇虚奇；实 (实偶) + j(实奇)；实 (实偶)EXP(实奇)。(3) 反褶和共轭性：时域频域反褶反褶共轭共轭反褶共轭反褶共轭(4) 对偶性：(i) 把离散谱序列当成时域序列进行DFT，结果是原时域序列反褶的N倍；(ii) 如果原序列具有偶对称性，则DFT结果是原时域序列的N倍。(5) 时移性：。序列的时移不影响DFT离散谱的幅度。(6) 频移性：(7) 时域离散圆卷积定理：(i) 圆卷积：周期均为N的序列与之间的圆卷积为仍是n的序列，周期为N。(ii) 非周期序列之间只可能存在线卷积，不存在圆卷积；周期序列之间存在圆卷积，但不存在线卷积。(8) 频域离散圆卷积定理：(9) 时域离散圆相关定理：周期为N的序列和的圆相关：是n的序列，周期为N。(10) 。其中表示按k进行DFT运算。(11) 帕斯瓦尔定理：6 快速傅里叶变换FFT(1) FFT不是一种新的变换，而是DFT的快速算法。(2) 直接DFT计算的复杂度：计算DFT需要：次复数乘法；次复数加法。(3) FFT算法推导：(i) 第L次迭代中对偶结点值的计算公式为：，是循环控制变量。(ii) 对偶结点的关系如图2所示：图2 FFT中对偶结点关系图(iii) 旋转因子：被称为旋转因子，可预先算好并保存。(iv) 整序：经过r次迭代后，得到结果，实际结果应是，所以流程的最后一步是按下标的正常二进制顺序对结果进行整序。(4) FFT算法特点：()(i) 共需次迭代；(ii) 第次迭代对偶结点的偶距为，因此一组结点覆盖的序号个数是。(iii) 第次迭代结点的组数为。(iv) 可以预先计算好，而且的变化范围是。(5) FFT算法流程：()(i) 初始化：；(ii) 第次迭代：(a) 下标控制变量初始化；(b) “结点对”的个数初始化;(c) 按对偶结点对的计算公式进行置位运算，得到和的值； ； 跳过已经计算过的结点(即上面所对应的那些结点)：； 如果，转到b)继续计算下一组结点；否则结束本次迭代。(iii) 当次迭代全部完成后，对结果按下标二进制位进行整序，从而得到结果。(6) FFT算法复杂度分析：(，预先算好)(i) 一个对偶结点对的计算