单调性及幂函数.doc

函数的单调性知能点全解：知能点一： 函数单调性的定义1、图形描述：从函数的图象（图1）看到：图象在轴的右侧部分是从左向右连续上升的，也就是说，当在区间0，+)上取值时，随着的增大,相应的值也随着增大，即如果任取，得到=,=,那么当时，有。这时我们就说函数=在0,+ )上是增函数。图象在轴的左侧部分是从左向右连续下降的，也就是说， 当在区间上取值时，随着的增大，相应的值反而随着减小，即如果任取，得到=,=,那么当。这时我们就说函数=在(-,0)上是减函数. 2、定量描述对于函数的定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，（1）若当时，都有,则说在区间D上是增函数；（2）若当,则说在区间D上是减函数。3、单调性与单调区间若函数=在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。特别提醒：1、函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数（图1），当0,+)时是增函数，当(-,0)时是减函数。而有的函数在整个定义域上都是单调的，如图2。2、函数的单调区间是其定义域的子集；3、应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）。例 1 如图是定义在闭区间-5，5上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数。知能点二：用定义证明函数的单调性例 2 ：证明函数是增函数。例 3：证明函数在上是减函数特别提醒：定义法证明函数在某个区间上是增（减）函数是最基本方法其步骤是： （1）取值，即设是区间上的任意两个实数，且1），则。如果q是奇数，定义域是R； 如果q是偶数，定义域是0,)。 （3）当指数n是负整数时，设显然x不能为零，所以定义域是 （4）当指数n是负分数时，设（p,q是互质的正整数，q1），则。 如果q是奇数，定义域是； 如果q是偶数，定义域是（0,）。2. 幂函数的图象与性质幂函数部分的内容是学习的难点，要突破这个难点，关键是如何快速地画出能基本反映幂函数图象特征的草图，因为有了草图，有关幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等函数性质就会一目了然，而且也有利于培养、形成数形结合的思维习惯。（1）第一象限内图象规律总结（结合图形）： n1时，过（0，0）、（1，1）的抛物线型，下凸递增。 n1时，过（0，0）、（1，1）的射线。 0n1时，过（0，0）、（1，1）的抛物线型，上凸递增。 n0时，变形为y1(x0)，平行于x轴的射线。 n0时，过（1，1），双曲线型，递减，与两坐标轴的正半轴无限接近。通过观察图象，我们还可以发现：在直线x1的右侧，各种幂函数的图象随着指数n的增大从下向上排列；且直线y1和yx把第一象限内直线x1右侧部分分成3个部分，n0的幂函数的图象都在号部分里，0n1的图象都在号部分里，分布得相当有规律。在直线x1的左侧，同样有类似的规律，同学们可以自己发现。其实有上面的规律足够用了。（2）整个图象的规律：设（p,q是互质，pZ，qN） 任何幂函数在第一象限必有图象，在第四象限必无图象； 时，函数非奇非偶，只在第一象限有图象； 时，函数是偶函数，图象在第一、二象限都有图象（坐标轴上也可能有）并关于y轴对称。 时，函数是奇函数，图象在第一、三象限都有图象（坐标轴上也可能有）并关于原点对称。（3）快速作幂函数图象的步骤：不管n取什么有理数，幂函数的公共定义域为（0，），可见幂函数在第一象限内总有图象，因此作幂函数图象应先从第一象限入手： 先作出第一象限内的图象； 若幂函数的定义域为（0，）或0，作图已经完成；若幂函数在（，0）或（，0）上也有意义，则应先判断函数的奇偶性，再利用奇函数或偶函数的性质作出在（，0）或（，0）部分的图象。（4）掌握下面几个典型的幂函数的图象和性质是很有必要的：函数yxnn 0n 0定义域x|x0(0,+)x|x0x|x0值域y|y0(0,+)(0,+)y|y1奇偶性奇函数非奇非偶偶函数偶函数单调性(-,0)，(0,+)(0,+)(-,0)，(0,+)不增不减图象0 n 1R0,+)RRRR0,+)R0,+)R奇函数非奇非偶奇函数偶函数奇函数(-,+)0,+)(-，+)(-,0,0,+)(-,+)1、 判断下列函数是否是幂函数：（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、 幂函数求m=_3、幂函数经过点（2，），求函数f(x)的解析式4已知函数，当 为何值时，：（1）是幂函数，且是上的增函数；（2）是正比例函数；（3）是反比例函数；（4）是二次函数；变式训练：已知函数，当 为何值时，在第一象限内它的图像是上升曲线。5比较大小：（1） （2）（3）变式训练：比较下列各组中两个数的大小：（1），；（2）0.71.5，0.61.5；（3），小结：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为