数学分析精品课程系列讲座.doc

数学分析精品课程系列讲座如何撰写数学分析论文(三) 郎 开 禄(2010年4月7日)一类隐函数的极限与累次极限研究一 选题背景选题背景1在毛羽辉编著:数学分析选讲.科学出版社.2003.9.中有下列重要结论:定理1 设在某邻域内连续 ,且存在,使得 (1) (中值公式)则.证明 由中值定理,存在,使得.故由( 1 )式,有 . (2)又由中值定理, 存在,使得 . (3 )故由( 2 )式和( 3 )式,得 =. =. (4)于是,在( 4 )式中,令趋于, 得 选题背景2在刘玉琏 傅仁沛编:数学分析讲义(上).高等教育出版社.1992.7.有下列重要结论:定理2 设在某邻域内连续 ,且存在,使得 (5)(中值公式)则.证明 由中值定理,存在,使得.故由( 5 )式,有 (6 )又由中值定理,存在,使得 . (7 )故由( 6 )式和( 7 )式,得 (8)于是,在( 8 )式中,令趋于,得.二 选题背景启示在一函数中,有上述重要结论,在多元函数中,是否有上述相对应的重要结论呢?一般地,我们可考虑研究下列问题:问题1设在某邻域内有二阶连续偏导数,且存在,使得 (中值公式)研究估计研究目标 ,.问题2设在某邻域内有阶连续偏导数,且存在,使得 (中值公式)研究估计研究目标 ,.问题3设在某邻域内有阶连续偏导数,且存在,使得 + (中值公式)研究,其中是的一个全排列.估计研究目标 , ,其中是的一个全排列.问题4设在某邻域内有阶连续偏导数, ,且存在,使得 + (中值公式)研究,其中是的一个全排列.估计研究目标 , ,其中是的一个全排列.三 选题完成的基本条件完成以上问题研究应具有以下五个基本条件(一) 应掌握较坚实的数学分析多元函数偏导数和一元中值公式及多元中值公式的基本理论和基础知识.(二) 应具有较好的思维、创造和判断能力.(三) 应具有的坚强意志.四 选材-搜集、整理、分析研究资料1.进一步搜集资料数学分析多元函数偏导数和一元函数中值公式、一元函数中值公式 、多元函数中值公式、多元函数中值公式.2.深入研读定理1和定理2的证明,找出获得定理1和定理2实质方法和关键步骤及关键细节.3.深入研读一元函数中值公式、一元函数中值公式 、多元函数中值公式、多元函数中值公式.4.逐一研究上述四个问题.五 写出初稿 经仔细的深入研究,我们获得了一下四个结果:定理3 设在某邻域内有二阶连续偏导数,且存在,使得 (9)(中值公式)则.推论1 在定理3的假设下,若存在,则=.定理4 设在某邻域内有阶连续偏导数,且存在,使得 (12) (中值公式)则.推论2 在定理4的假设下,若存在,则=.我们有下面更一般的结果:定理5 设在某邻域内有阶连续偏导数,且存在,使得 + (中值公式)则,其中是的一个全排列.推论3 在定理5的假设下,若存在,则.其中是的一个全排列.定理6设在某邻域内有阶连续偏导数, ,且存在,使得 + (中值公式)则,其中是的一个全排列.推论4 在定理5的假设下,若存在,则,其中是的一个全排列.五 修改加工定稿初稿写出后，经反复进行修改.获得论文.一类函数的极限与累次极限 郎开禄 (楚雄师范学院,云南 楚雄 675000)摘要 在本文中,我们讨论了一类函数的极限与累次极限,得到了这类函数的极限与累次极限. 关键词 函数 极限 累次极限 定理1 设在某邻域内连续 ,且存在,使得 (1) (中值公式)则.证明 由中值定理,存在,使得.故由( 1 )式,有. (2)又由中值定理, 存在,使得 . (3)故由( 2 )式和( 3 )式,得 . (4)于是,在( 4 )式中,令趋于,得定理2 设在某邻域内连续 ,且存在,使得 (5)(中值公式)则.证明 由中值定理,存在,使得.故由( 5 )式,有 (6) 又由中值定理,存在,使得 . (7)故由( 6 )式和( 7 )式,得 (8)于是,在( 8 )式中,令趋于,得.引理 若在某邻域内存在偏导数,则存在,使得.定理3 设在某邻域内有二阶连续偏导数,且存在,使得 (9)(中值公式)则.证明 由引理,存在,使得.存在,使得.故由( 9 )式,有 . + (10)又由中值定理,存在,使得 . (11)故由( 10 )式和( 11)式,有+=于是,在上式中,令趋于,再令趋于,或令趋于,再令趋于分别有 , .推论1 在定理3的假设下,若存在,则=.定理4 设在某邻域内有阶连续偏导数,且存在,使得 (12) (中值公式)则. 证明 =(13)由引理,存在,使得.故,由(13)式我们有=+于是,由(12)式我们有+又由中值定理,存在,使得 于是,由上两式我们有=,即=.令,则有=,=.令,则有.同理, 我们有.推论2 在定理4的假设下,若存在,则=.我们有下面更一般的结果:定理5 设在某邻域内有阶连续偏导数,且存在,使得 + (中值公式)则,其中是的一个全排列.推论3 在定理5的假设下,若存在,则.其中是的一个全排列.定理6设在某邻域内有阶连续偏导数, ,且存在,使得 + (中值公式)则,其中是的一个全排列.推论4 在定理5的假设下,若存在,则,其中是的一个全排列.主要参考书:1.毛羽辉编著.数学分析选讲.科学出版社.2003.9.2.刘玉琏 傅仁沛编.数学分析讲义(上).高等教育出版社.1992.7.3.刘玉琏 傅仁沛编.数学分析讲义(下).高等教育出版社.1992.7. Limits and Iterated Limits of a kind Functions LANG kailu (Department of mathematics ,Chuxiong Normal University ,Yunnan Chuxiong 675000 China)Abstract:In the paper ,we discussed limits and iterated limits of a kind functions, a generation result of limits and iterated limits of the kind functions is obtained.Key words: function limit iterated limit(楚雄师范学院学报.2007.3:1-5.)六 论文研读一类隐函数的极限与累次极限杨子兰 (楚雄师范学院数学系04级2班)指导老师 郎开禄摘要：在本文中，我讨论了一类二元和元隐函数的极限与累次极限，并得到了这类二元和元隐函数的极限与累次极限.关键词：函数；极限；累次极限Limits and Iterated Limits of a kind implicit of FunctionYangZiLan (Class 2 grade 2004 Department of Math ,Chuxiong normal university, Yun Nan,675000)Abstract: This thesis discussed the limits and iterated limits of some implicit of functions of two variables and n-varibles thus conclusions the limits and iterated limits of them.Key words: function;limit;iterated limit 导师评语： 文3(3.谢惠民,恽自求,易法槐,钱定边编著. 数学分析习题课讲义（上）M.高等教育出版社. 2003.7.)中给出了一类一元隐函数的极限.杨子兰同学的毕业论文讨论并获得了这类二元和元隐函数的极限与累次极限.杨子兰同学的毕业论文选题具有理论与实际意义,通过深入研究,该论文获得了一类二元和元隐函数的极限与累次极限(文中的定理6至定理9及其推论).该论文完成有相当的技巧性和难度,其结果在理论与实际上都有重要意义.论文语言流畅,打印行文规范,是一篇创新型的毕业论文.该同学在作论文过程中,悟性好,能吃苦,独立性较强.一类隐函数的极限与累次极限前言在文5中，讨论了一类二元和元隐函数的极限与累次极限，并获得了有意义的结果.在本文中受文3和文5的启发，我们讨论了另一类二元和元隐函数的极限与累次极限，同样获得了有意义的结果.1泰勒公式定理1 若在某邻域内有直至阶的连续导数,且，则存在,使得 .（中值公式）定理2 若在某邻域内存在一阶连续偏导数, ,则存在（）,使得.（中值公式）定理3若在某邻域内存在一阶连续偏导数, ,则存在（）,使得 , （中值公式）其中 .2一元隐函数的极限定理4 设在某邻域内存在3阶连续导数,且，,存在（）,使得 ,（中值公式）则 .证明 在某邻域内存在3阶连续导数,且，,存在,故由中值定理，存在,使得. （1）又由定理1,存在,使得, 即. （2）把（2）式代入（1）式，得, （3）再由定理1，存在,使得 ,即. （4）故由（3）式、（4）式，得 ,即, （5）令，得.定理5 设在某邻域内存在阶连续导数,且=0,存在,使得 ,（中值公式）则 .证明 因在某邻域内存在阶连续导数,且=0,故由中值定理,存在,使得, （1）又由定理1,存在,使得 ,即, （2） 把（2）式代入（1）式，得 , （3）再由定理1，存在,使得 ,即 . （4）故由（3）式，（4）式得=,即=. （5）令,得. 3二元隐函数的极限与累次极限定理6 设在某邻域内存在阶连续的偏导数,且. ,若存在,使得 ,（中值公式） 则， . 证明 由定理2，有 ,（1）由定理3,存在,使得 .即, （2）,即, （3）把（2）式、（3）式代入(1)式，得 , （4）又由定理3,存在,使得 ,即 （5） 故由（4）式、（5）式，得 ,即 , （6）在（6）式中令,再令,或令,再令,则分别有，.推论1 在定理6的假设下,若存在,则= .定理7 设在某邻域内存在阶连续的偏导数，且点处所有的2至阶的偏导数都等于0 ，而,且,存在,使得 .（中值公式） 则, .证明 由定理2，存在,使得 （1）由定理3,存在，使得 , （2） , （3）把（2）式、（3）式代入（1）式，得 , （4）又由定理3,存在,使得 , （5）故由（4）式、（5）式，得,即 , （6）在式中令,再令,或令,再令,则分别有 ，.推论2 在定理7的假设下,若存在，则 .4元隐函数的极限与累次极限定理8 设在某邻域内存在阶连续的偏导数，且在点处所有的2阶偏导数都等于0,而.且 ,存在,使得 , （中值公式）则,其中是的一个全排列.推论3 在定理8的假设下，若 存在，则 =.其中是的一个全排列.定理9 设在某邻域内存在阶连续的导数,且在点处所有的2至阶的偏导数都等于0,而,且，存在,使得 .（中值公式） 则,其中是的一个全排列.推论4 在定理9的假设下，若存在,则 .,其中是的一个全排列.参