直线圆的方程考试难点总结.doc

普通高中课程标准实验教科书数学 人教版 高三新数学第一轮复习教案（讲座13）直线、圆的方程一课标要求：1直线与方程（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；（3）根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系；2圆与方程回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。二命题走向直线方程考察的重点是直线方程的特征值（主要是直线的斜率、截距）有关问题，可与三角知识联系；圆的方程，从轨迹角度讲，可以成为解答题，尤其是参数问题，在对参数的讨论中确定圆的方程。预测2007年对本讲的考察是：（1）2道选择或填空，解答题多与其他知识联合考察，本讲对于数形结合思想的考察也会是一个出题方向；（2）热点问题是直线的倾斜角和斜率、直线的几种方程形式和求圆的方程。三要点精讲1倾斜角：一条直线L向上的方向与X轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为。2斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称其正切值为该直线的斜率，即k=tan;当直线的倾斜角等于900时，直线的斜率不存在。过两点p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1x2)的直线的斜率公式:k=tan（若x1x2，则直线p1p2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为900）。4直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件。确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。名称方程说明适用条件斜截式y=kx+bk斜率b纵截距倾斜角为90的直线不能用此式点斜式y-y0=k(x-x0)(x0，y0)直线上已知点，k斜率倾斜角为90的直线不能用此式两点式=(x1，y1)，(x2，y2)是直线上两个已知点与两坐标轴平行的直线不能用此式截距式+=1a直线的横截距b直线的纵截距过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式一般式Ax+By+C=0，分别为斜率、横截距和纵截距A、B不能同时为零直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。5圆的方程圆心为，半径为r的圆的标准方程为：。特殊地，当时，圆心在原点的圆的方程为：。圆的一般方程，圆心为点，半径，其中。二元二次方程，表示圆的方程的充要条件是：、项项的系数相同且不为0，即；、没有xy项，即B=0；、。四典例解析图题型1：直线的倾斜角例1（1995全国，5）图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（ ）Ak1k2k3Bk3k1k2Ck3k2k1Dk1k3k2答案：D解析：直线l1的倾斜角1是钝角，故k10，直线l2与l3的倾斜角2、3均为锐角，且23，所以k2k30，因此k2k3k1，故应选D。点评：本题重点考查直线的倾斜角、斜率的关系，考查数形结合的能力。例2过点P（2，1）作直线分别交x轴、y轴的正半轴于A、B两点，求的值最小时直线的方程。 解析：依题意作图，设BAO， 则， ， 当，即时的值最小，此时直线的倾斜角为135， 斜率。故直线的方程为，即。点评：求直线方程是解析几何的基础，也是重要的题型。解这类题除用到有关概念和直线方程的五种形式外，还要用到一些技巧。题型2：斜率公式及应用例3（1）（05年江西高考）设实数x，y满足，则的最大值是_。（2）（1997全国文，24）已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数ylog2x的图象交于C、D两点。（1）证明点C、D和原点O在同一条直线上。（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标。解析：（1）如图，实数x，y满足的区域为图中阴影部分（包括边界），而表示点（x，y）与原点连线的斜率，则直线AO的斜率最大，其中A点坐标为，此时，所以的最大值是。 点评：本题还可以设，则，斜率k的最大值即为的最大值，但求解颇费周折。（2）证明：设A、B的横坐标分别为x1，x2，由题设知x11，x21，点A（x1，log8x1），B（x2，log8x2）.因为A、B在过点O的直线上，所以，又点C、D的坐标分别为（x1，log2x1），（x2，log2x2）由于log2x13log8x1，log2x23log8x2，所以OC的斜率和OD的斜率分别为。由此得kOCkOD，即O、C、D在同一条直线上。由BC平行于x轴，有log2x1log8x2，解得 x2x13将其代入，得x13log8x13x1log8x1.由于x11，知log8x10，故x133x1，x1，于是点A的坐标为（，log8）.点评：本小题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查运算能力和分析问题的能力。例4（05年全国高考）当时，函数的最小值是（ ）A2 B C4 D解析：原式化简为，则y看作点A（0，5）与点的连线的斜率。因为点B的轨迹是即过A作直线，代入上式，由相切（0）可求出，由图象知k的最小值是4，故选C。点评：也可用三角函数公式变换求最值或用求导的方法求最值等。但将问题转化为直线与椭圆的位置关系使问题解决的十分准确与清晰。题型3：直线方程例5已知直线的点斜式方程为，求该直线另外三种特殊形式的方程。 解析：（1）将移项、展开括号后合并，即得斜截式方程。 （2）因为点（2，1）、（0，）均满足方程，故它们为直线上的两点。 由两点式方程得： 即 （3）由知：直线在y轴上的截距 又令，得 故直线的截距式方程点评：直线方程的四种特殊形式之间存在着内在的联系，它是直线在不同条件下的不同表现形式，要掌握好它们之间的互化。在解具体问题时，要根据问题的条件、结论，灵活恰当地选用公式，使问题解得简捷、明了。例6直线经过点P（-5，-4），且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线的方程。 解析：设所求直线的方程为， 直线过点P（-5，-4），即。 又由已知有，即， 解方程组，得：或 故所求直线的方程为：，或。 即，或 点评：要求的方程，须先求截距a、b的值，而求截距的方法也有三种： （1）从点的坐标或中直接观察出来； （2）由斜截式或截距式方程确定截距；（3）在其他形式的直线方程中，令得轴上的截距b；令得出x轴上的截距a。总之，在求直线方程时，设计合理的运算途径比训练提高运算能力更为重要。解题时善于观察，勤于思考，常常能起到事半功倍的效果。题型3：直线方程综合问题例5（2003北京春理，12）在直角坐标系xOy中，已知AOB三边所在直线的方程分别为x=0，y=0，2x+3y=30，则AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（ ）A95 B91 C88 D75答案：B解析一：由y=10x（0x15，xN）转化为求满足不等式y10x（0x15，xN）所有整数y的值.然后再求其总数.令x=0，y有11个整数，x=1，y有10个，x=2或x=3时，y分别有9个，x=4时，y有8个，x=5或6时，y分别有7个，类推：x=13时y有2个，x=14或15时，y分别有1个，共91个整点.故选B。图解析二：将x=0，y=0和2x+3y=30所围成的三角形补成一个矩形.如图所示。对角线上共有6个整点，矩形中（包括边界）共有1611=176.因此所求AOB内部和边上的整点共有=91（个）点评：本题较好地考查了考生的数学素质，尤其是考查了思维的敏捷性与清晰的头脑，通过不等式解等知识探索解题途径。例6（2003京春理，22）已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=1相切，点C在l上。（）求动圆圆心的轨迹M的方程；（）设过点P，且斜率为的直线与曲线M相交于A、B两点。（i）问：ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；（ii）当ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围。（）解法一，依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y2=4x.图解法二：设M（x，y），依题意有|MP|=|MN|，所以|x+1|=。化简得：y2=4x。（）（i）由题意得，直线AB的方程为y=（x1）.由消y得3x210x+3=0，解得x1=，x2=3。所以A点坐标为（），B点坐标为（3，2），|AB|=x1+x2+2=。假设存在点C（1，y），使ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即由得42+（y+2）2=（）2+（y）2，解得y=。但y=不符合，所以由，组成的方程组无解。因此，直线l上不存在点C，使得ABC是正三角形。（ii）解法一：设C（1，y）使ABC成钝角三角形，由得y=2，即当点C的坐标为（1，2）时，A、B、C三点共线，故y2。又|AC|2=（1）2+（y）2=+y2，|BC|2=（3+1）2+（y+2）2=28+4y+y2，|AB|2=（）2=。当CAB为钝角时，cosA=|AC|2+|AB|2，即，即y时，CAB为钝角。当|AC|2|BC|2+|AB|2，即，即y|AC|2+|BC|2，即，即。该不等式无解，所以ACB不可能为钝角。因此，当ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是。解法二：以AB为直径的圆的方程为（x）2+（y+）2=（）2。圆心（）到直线l：x=1的距离为，所以，以AB为直径的圆与直线l相切于点G（1，）。当直线l上的C点与G重合时，ACB为直角，当C与G点不重合，且A、B、C三点不共线时，ACB为锐角，即ABC中，ACB不可能是钝角。因此，要使ABC为钝角三角形，只可能是CAB或CBA为钝角。过点A且与AB垂直的直线方程为。令x=1得y=。过点B且与AB垂直的直线方程为y+2（x3）。令x=1得y=。又由解得y=2，所以，当点C的坐标为（1，2）时，A、B、C三点共线，不构成三角形。因此，当ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是y（y2）。点评：该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了“注重学科知识的内在联系”.题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力。比较深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想.该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度。题型4：圆的方程例7（1）已知ABC的三个项点坐标分别是A（4，1），B（6，3），C（3，0），求ABC外接圆的方程。 分析：如果设圆的标准方程，将三个顶点坐标分别代入，即可确定出三个独立参数a，b，r，写出圆的标准方程；如果注意到ABC外接圆的圆心是ABC三边垂直平分线的交点，由此可求圆心坐标和半径，也可以写出圆的标准方程。解法一：设所求圆的方程是因为A（4，1），B（6，3），C（3，0）都在圆上，所以它们的坐标都满足方程，于是 可解得所以ABC的外接圆的方程是。解法二：因为ABC外接圆的圆心既在AB的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，所以先求AB、BC的垂直平分线方程，求得的交点坐标就是圆心坐标。，线段AB的中点为（5，1），线段BC的中点为，图41AB的垂直平分线方程为，BC的垂直平分线方程解由联立的方程组可得 ABC外接圆的圆心为（1，3），半径。故ABC外接圆的方程是点评：解法一用的是“待定系数法”，解法二利用了圆的几何性质。（2）求过A（4，1），B（6，3），C（3，0）三点的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。分析：细心的同学已经发现，本题与上节例1是相同的，在那里我们用了两种方法求圆的方程现在再尝试用圆的一般方程求解（解法三），可以比较一下哪种方法简捷。解析：设圆的方程为因为三点A（4，1），B（6，3），C（3，0）都在圆上，所以它们的坐标都是方程的解，将它们的坐标分别代入方程，得到关于D，E，F的一个三元一次方程组： ，解得。所以，圆的方程是。圆心是坐标（1，3），半径为。点评：“待定系数法”是求圆的方程的常用方法一般地，在选用圆的方程形式时，若问题涉及圆心和半径，则选用标准方程比较方便，否则选用一般方程方便些。例8若方程。 （1）当且仅当在什么范围内，该方程表示一个圆。 （2）当在以上范围内变化时，求圆心的轨迹方程。 解析：（1）由， ， 当且仅当时， 即时，给定的方程表示一个圆。 （2）设圆心坐标为，则（为参数）。消去参数，为所求圆心轨迹方程。点评：圆的一般方程，圆心为点，半径，其中。题型5：圆的综合问题例9如图2，在平面直角坐标系中，给定y轴正半轴上两点A（0，a），B（0，b）（），试在x轴正半轴上求一点C，使ACB取得最大值。解析：设C是x轴正半轴上一点，在ABC中由正弦定理，有。其中R是ABC的外接圆的半径。可见，当R取得最小值时，ACB取得最大值。在过A、B两定点且与x轴正向有交点C的诸圆中，当且仅当点C是圆与x轴的切点时，半径最小。故切点C即为所求。由切割线定理，得：所以 ，即点C的坐标为时，ACB取得最大值。点评：圆是最简单的二次曲线，它在解析几何及其它数学分支中都有广泛的应用。对一些数学问题，若能作一个辅助圆，可以沟通题设与结论之间的关系，从而使问题得解，起到铺路搭桥的作用。例10已知O过定点A(0，p)(p0)，圆心O在抛物线x2=2py上运动，MN为圆O截x轴所得的弦，令|AM|=d1，|AN|=d2，MAN=。（1）当O点运动时，|MN|是否有变化？并证明你的结论；（2）求+的最大值，并求取得最大值的值。解析：设O(x0，y0)，则x02=2py0 (y00)，O的半径|OA|=，O的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=x02+(y0-p)2。令y=0，并把x02=2py0代入得x22x0x+x02p2=0，解得xM=x0 p，xN=x0+p，|MN|=| xN xM|=2p为定值。（2）M(x0-p，0) ，N(x0+p，0) d1=，d2=，则d12+d22=4p2+2x02，d1d2=，+=2=22=2。当且仅当x02=2p2，即x=p，y0=p时等号成立，+的最大值为2。此时|OB|=|MB|=|NB|（B为MN中点），又OM=ON，OMN为等腰直角三角形，MON=90，则=MON=45。点评：数形结合既是数学学科的重要思想，又是数学研究的常用方法。五思维总结抓好“三基”，把握重点，重视低、中档题的复习，确保选择题的成功率。本讲所涉及到的知识都是平面解析几何中最基础的内容.它们渗透到平面解析几何的各个部分，正是它们构成了解析几何问题的基础，又是解决这些问题的重要工具之一.这就要求我们必须重视对“三基”的学习和掌握，重视基础知识之间的内在联系，注意基本方法的相互配合，注意平面几何知识在解析几何中的应用，注重挖掘基础知识的能力因素，提高通性通法的熟练程度，着眼于低、中档题的顺利解决。在解答有关直线的问题时，应特别注意的几个方面：（1）在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次要注意倾角的范围；（2）在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零截距”造成丢解的情况.如题目条件中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的m倍（m0）”等时，采用截距式就会出现“零截距”，从而丢解.此时最好采用点斜式或斜截式求解；（3）在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止由于“无斜率”，从而造成丢解.如在求过圆外一点的圆的切线方程时或讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，或讨论两直线的平行、垂直的位置关系时，一般要分直线有无斜率两种情况进行讨论；（4）首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终。普通高中课程标准实验教科书数学 人教版 高三新数学第一轮复习教案（讲座12）空间中的夹角和距离一课标要求：1掌握两条直线所成的角和距离的概念及等角定理；（对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离）。2掌握点、直线到平面的距离，直线和平面所成的角；3掌握平行平面间的距离，会求二面角及其平面角；二命题走向高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道, 解答题1道), 共计总分27分左右,考查的知识点在20个以内。随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点计算”的发展，从历年的考题变化看, 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热门话题。预测07年高考试题：（1）单独求夹角和距离的题目多为选择题、填空题，分值大约5分左右；解答题中的分步设问中一定有求夹角、距离的问题，分值为6分左右；（2）选择、填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提。三要点精讲1距离空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的。求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。（1）两条异面直线的距离两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度。（2）点到平面的距离平面外一点P 在该平面上的射影为P，则线段PP的长度就是点到平面的距离；求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。等体积法。（3）直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；（4）平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：找出或作出表示有关距离的线段；证明它符合定义；归到解某个三角形若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之。异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线a 、b 所成的角为q ，它们的公垂线AA的长度为d ，在a 上有线段AE m ，b 上有线段AF n ，那么EF （“”符号由实际情况选定）2夹角空间中的各种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，要理解各种角的概念定义和取值范围，其范围依次为0，90、0，90和0，180。（1）两条异面直线所成的角求法：先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是，向量所成的角范围是，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角。（2）直线和平面所成的角求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。除特殊位置外，主要是指平面的斜线与平面所成的角，根据定义采用“射影转化法”。（3）二面角的度量是通过其平面角来实现的解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手，所以作二面角的平面角就成为解题的关键。通常的作法有：（）定义法；（）利用三垂线定理或逆定理；（）自空间一点作棱垂直的垂面，截二面角得两条射线所成的角，俗称垂面法此外，当作二面角的平面角有困难时，可用射影面积法解之，cos q ，其中S 为斜面面积，S为射影面积，q 为斜面与射影面所成的二面角。3等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。四典例解析题型1：直线间的距离问题例1已知正方体的棱长为1，求直线DA与AC的距离。 解法1：如图1连结AC，则AC面ACD，连结DA、DC、DO，过O作OEDO于E因为AC面BBDD，所以ACOE。又ODOE，所以OE面ACD。 因此OE为直线DA与AC的距离。在RtOOD中，可求得点评：此题是异面直线的距离问题：可作出异面直线的公垂线。图2 解法2：如图2连接AC、DC、BC、ABA，得到分别包含DA和AC的两个平面ACD和平面ABC， 又因为ACAC，ADBC，所以面ACD面ABC。 故DA与AC的距离就是平面ACD和平面ABC的距离，连BD分别交两平面于两点，易证是两平行平面距离。 不难算出，所以，所以异面直线BD与之间的距离为。点评：若考虑到异面直线的公垂线不易做出，可分别过两异面直线作两平面互相平行，则异面直线的距离就是两平面的距离。题型2：线线夹角例2如图1，在三棱锥SABC中，求异面直线SC与AB所成角的余弦值。图1 解法1：用公式 当直线平面，AB与所成的角为，l是内的一条直线，l与AB在内的射影所成的角为，则异面直线l与AB所成的角满足。以此为据求解。 由题意，知平面ABC，由三垂线定理，知，所以平面SAC。 因为，由勾股定理，得 。 在中，在中，。 设SC与AB所成角为，则， 解法2：平移过点C作CD/BA，过点A作BC的平行线交CD于D，连结SD，则是异面直线SC与AB所成的角，如图2。又四边形ABCD是平行四边形。由勾股定理，得：。图2在中，由余弦定理，得：。点评：若不垂直，可经过如下几个步骤求解：（1）恰当选点，作两条异面直线的平行线，构造平面角；（2）证明这个角（或其补角）就是异面直线所成角；（3）解三角形（常用余弦定理），求出所构造角的度数。题型3：点线距离例3（2002京皖春，15）正方形ABCD的边长是2，E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角（如图所示）.M为矩形AEFD内一点，如果MBE=MBC，MB和平面BCF所成角的正切值为，那么点M到直线EF的距离为 。解析：过M作MOEF，交EF于O，则MO平面BCFE.如图所示，作ONBC，设OM=x，图又tanMBO=，BO=2x又SMBE=BEMBsinMBE=BEMESMBC=BCMBsinMBC=BCMNME=MN，而ME=，MN=，解得x=。点评：该题较典型的反映了解决空间几何问题的解题策略：化空间问题为平面问题来处理。题型4：点面距离例4（2006福建理，18）如图，四面体ABCD中，O、E分别BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2。（）求证：AO平面BCD；（）求异面直线AB与CD所成角的大小；（）求点E到平面的距离。(1)证明：连结OC。BO=DO,AB=AD, AOBD。BO=DO,BC=CD, COBD。在AOC中，由已知可得AO=1,CO=。而AC=2，AO2+CO2=AC2,AOC=90,即AOOC。AB平面BCD。（）解：取AC的中点M,连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知MEAB,OEDC。直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角。在OME中，是直角AOC斜边AC上的中线，异面直线AB与CD所成角的大小为（）解：设点E到平面ACD的距离为h.,SACD =AOSCDE.在ACD中，CA=CD=2,AD=,SACD=而AO=1, SCDE=h=点E到平面ACD的距离为。点评：本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。题型5：线面距离例5斜三棱柱ABCA1B1C1中，底面是边长为4cm的正三角形，侧棱AA1与底面两边AB、AC均成600的角，AA1=7。（1）求证：AA1BC；（2）求斜三棱柱ABCA1B1C1的全面积；（3）求斜三棱柱ABCA1B1C1的体积；（4）求AA1到侧面BB1C1C的距离。解析：设A1在平面ABC上的射影为0。 A1AB=A1AC， O在BAC的平行线AM上。 ABC为正三角形， AMBC。又AM为A1A在平面ABC上的射影， A1ABC （2） B1BA1A， B1BBC，即侧面BB1C1C为矩形。 又， S全= （3） cosA1AB=cosA1AOcosOAB， cosA1AO= sinA1AO=， A1O=A1AsinA1AO= （4）把线A1A到侧面BB1C1C的距离转化为点A或A1到平面BB1C1C的距离为了找到A1在侧面BB1C1C上的射影，首先要找到侧面BB1C1C的垂面设平面AA1M交侧面BB1C1C于MM1 BCAM，BCA1A BC平面AA1M1M 平面AA1M1M侧面BCC1B1在平行四边形AA1M1M中过A1作A1HM1M，H为垂足则A1H侧面BB1C1C 线段A1H长度就是A1A到侧面BB1C1C的距离 点评：线面距离往往转化成点面距离来处理，最后可能转化为空间几何体的体积求得，体积法不用得到垂线。题型6：线面夹角例6（2006浙江理，17）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，ADBC,BAD=90,PA底面ABCD，且PAAD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点。()求证：PBDM; ()求CD与平面ADMN所成的角的正弦值。解析：（I）因为是的中点，所以。因为平面，所以，从而平面.因为平面，所以.（II）取的中点，连结、，则，所以与平面所成的角和与平面所成的角相等。因为平面，所以是与平面所成的角。在中，。点评：本题主要考查几何体的概念、线面夹角、两平面垂直等。能力方面主要考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。题型7：面面距离例7在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，如图：（1）求证：平面A1BC1平面ACD1；（2）求(1)中两个平行平面间的距离；（3）求点B1到平面A1BC1的距离。（1）证明：由于BC1AD1，则BC1平面ACD1，同理，A1B平面ACD1，则平面A1BC1平面ACD1。（2）解：设两平行平面A1BC1与ACD1间的距离为d，则d等于D1到平面A1BC1的距离。易求A1C1=5，A1B=2，BC1=，则cosA1BC1=，则sinA1BC1=，则S=。由于，则Sd=BB1，代入求得d=，即两平行平面间的距离为。（3）解：由于线段B1D1被平面A1BC1所平分，则B1、D1到平面A1BC1的距离相等，则由（2）知点B1到平面A1BC1的距离等于。点评：立体几何图形必须借助面的衬托，点、线、面的位置关系才能显露地“立”起来。在具体的问题中，证明和计算经常依附于某种特殊的辅助平面即基面。这个辅助平面的获取正是解题的关键所在，通过对这个平面的截得，延展或构造，纲举目张，问题就迎刃而解了。题型8：面面角例8（2006四川理，19）如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，。（）求证：面；（）求二面角的大小。（）求三棱锥的体积。解析：（）证明：取的中点，连结 分别为的中点，面，面 面面 面（）设为的中点为的中点 面作，交于，连结，则由三垂线定理得。从而为二面角的平面角。在中，从而。在中，故二面角的正切值为。（），作，交于，由面得，面，在中，。点评：求角和距离的基本步骤是作、证、算。此外还要特别注意融合在运算中的推理过程，推理是运算的基础，运算只是推理过程的延续。如求二面角，只有根据推理过程找到二面角后，进行简单的运算，才能求出。因此，求角与距离的关键还是直线与平面的位置关系的论证。五思维总结空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决1空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值范围，如两异面直线所成的角(0，)，直线与平面所成的角，二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角(0，)。对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力（1）求异面直线所成的角，一般是平移转化法。方法一是在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线；或过空间任一点分别作两异面直线的平行线，这样就作出了两异面直线所成的角，构造一个含的三角形，解三角形即可。方法二是补形法：将空间图形补成熟悉的、完整的几何体，这样有利于找到两条异面直线所成的角。（2）求直线与平面所成的角，一