空间向量 - 副本.doc

新希望教育培训学校资料空间向量一 重点难点：法向量的求法二 知识点：1、空间向量的概念：在空间，具有大小和方向的量称为空间向量向量可用一条有向线段来表示有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向向量的大小称为向量的模（或长度），记作模（或长度）为的向量称为零向量；模为的向量称为单位向量与向量长度相等且方向相反的向量称为的相反向量，记作方向相同且模相等的向量称为相等向量2、空间向量的加法和减法：3、实数与空间向量的乘积是一个向量，称为向量的数乘运算当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，为零向量，记为的长度是的长度的倍4、设，为实数，是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律分配律：；结合律：5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使7、平行于同一个平面的向量称为共面向量8、向量共面定理：空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任一定点，有；或若四点，共面，则9、已知两个非零向量和，在空间任取一点，作，则称为向量，的夹角，记作两个向量夹角的取值范围是：10、对于两个非零向量和，若，则向量，互相垂直，记作11、已知两个非零向量和，则称为，的数量积，记作即零向量与任何向量的数量积为12、等于的长度与在的方向上的投影的乘积13若，为非零向量，为单位向量，则有；，；14量数乘积的运算律：；15、空间向量基本定理：若三个向量，不共面，则对空间任一向量，存在实数组，使得16、三个向量，不共面，则所有空间向量组成的集合是这个集合可看作是由向量，生成的，称为空间的一个基底，称为基向量空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底17、设，为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以，的公共起点为原点，分别以，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系则对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量存在有序实数组，使得把，称作向量在单位正交基底，下的坐标，记作此时，向量的坐标是点在空间直角坐标系中的坐标18、设，则 若、为非零向量，则若，则，则19、在空间中，取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置可以用向量来表示向量称为点的位置向量20、空间中任意一条直线的位置可以由上一个定点以及一个定方向确定点是直线上一点，向量表示直线的方向向量，则对于直线上的任意一点，有，这样点和向量不仅可以确定直线的位置，还可以具体表示出直线上的任意一点21、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定设这两条相交直线相交于点，它们的方向向量分别为，为平面上任意一点，存在有序实数对，使得，这样点与向量，就确定了平面的位置22、直线垂直，取直线的方向向量，则向量称为平面的法向量23、若空间不重合两条直线，的方向向量分别为，则，24、若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则，25、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为，则，26、设异面直线，的夹角为，方向向量为，其夹角为，则有27、设直线的方向向量为，平面的法向量为，与所成的角为，与的夹角为，则有28、设，是二面角的两个面，的法向量，则向量，的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小若二面角的平面角为，则29、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算30、在直线上找一点，过定点且垂直于直线的向量为，则定点到直线的距离为31、点是平面外一点，是平面内的一定点，为平面的一个法向量，则点到平面的距离为考点：1、利用空间向量证明线线平行、线线垂直 2、利用空间向量证明线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直 3、利用空间向量证明线线角、线面角、面面角问题例题1. 在下列命题中：若向量共线，则向量所在的直线平行；若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；若三个向量两两共面，则向量共面；已知是空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x,y,z使得；其中正确的命题的个数是 （ A ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3练习. 与向量（-3，-4，5）共线的单位向量是 （ A ）（A）（）和（）； （B）（）；（C）（）和（）； （D）（）；例题2. 已知点B是点A（3，7，-4）在xOz平面上的射影，则等于 （ B ） （A）（9，0，16） （B）25 （C）5 （D）13练习. 在平面直角坐标系中, ,沿x轴把平面直角坐标系折成120的二面角后,则线段AB的长度为（ B ） A B C D例题3. 设平面内两个向量的坐标分别为（1，2，1）、（-1，1，2），则下列向量中是平面的法向量的是（ B ）A（-1，-2，5） B（-1,1,-1） C（1, 1,1） D（1，-1，-1）练习. 若空间三点A（1，5，-2），B（2，4，1），C（p,3,q+2）共线，则p=_,q=_。11. 3，2例题4. 如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB=BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为 （ B ）（A）60 （B）90 （C）105 （D）75练习. 已知均为单位向量,它们的夹角为60,那么等于（ C ）A B C D4家庭作业一、选择题（每小题5分，共50分）1.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点.若=a，=b，=c，则下列向量中与相等的向量是A.a+b+c B.a+b+cC.ab+c D.ab+c2.下列等式中，使点M与点A、B、C一定共面的是A. B.C. D.3.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点，则等于A. B. C. D.4.若，与的夹角为，则的值为A.17或-1 B.-17或1 C.-1 D.15.设，则线段的中点到点的距离为A. B. C. D.6.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是正方体圆锥三棱台正四棱锥A B C D7.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是俯视图正(主)视图侧(左)视图2322A.B.C.D.8.如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是A.BD平面CB1D1B.AC1BDC.AC1平面CB1D1D.异面直线AD与CB1所成的角为609.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为A. B. C. D.10.ABC的三个顶点分别是，则AC边上的高BD长为A.5 B. C.4 D.二、填空题（每小题5分，共20分）11.设，且，则 .12.已知向量，且，则=_.13.在直角坐标系中，设A（-2，3），B（3，-2），沿轴把直角坐标平面折成大小为的二面角后，这时，则的大小为 14.如图，PABCD是正四棱锥，是正方体，其中，则到平面PAD的距离为 .三、解答题（共80分）15.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于600，是PC的中点，设（1）试用表示出向量；（2）求的长16.（本小题满分14分）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）.（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结，证明：面EFG.17.（本小题满分12分）如图，在四面体中，点分别是的中点求证：（1）直线面；（2）平面面18.（本小题满分14分）如图，已知点P在正方体的对角线上，PDA=60.（1）求DP与所成角的大小；（2）求DP与平面所成角的大小.19.（本小题满分14分）已知一四棱锥PABCD的三视图如下，E是侧棱PC上的动点（1）求四棱锥PABCD的体积；（2）是否不论点E在何位置，都有BDAE？证明你的结论;（3）若点E为PC的中点，求二面角DAEB的大小20.（本小题满分14分）如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，分别是的中点（1）证明：；PBECDFA（2）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值一、选择题1.=c+(a+b)=a+b+c，故选A.2.故选D.3.,故选B.4.B 5.B 6.D 7.D 8.D 9.D10.由于，所以,故选A二、填空题11.9 12.313.作ACx轴于C，BDx轴于D，则14.以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系设平面PAD的法向量是，取得，到平面PAD的距离.三、解答题15.解：（1）是PC的中点，（2）.16.解：（1）如图（2）所求多面体体积ABCDEFG（3）证明：在长方体中，连结，则因为分别为，中点，所以，从而又平面，所以面17.证明：（1）E,F分别是的中点，EF是ABD的中位线，EFAD，AD面ACD，EF面ACD，直线EF面ACD；（2）ADBD，EFAD，EFBD，CB=CD，F是的中点，CFBD又EFCF=F, BD面EFC，BD面BCD，面面.18.解：如图，以为原点，为单位长建立空间直角坐标系则，连结，在平面中，延长交于设，由已知，由，可得ABCDPxyzH解得，所以（1）因为，所以，即与所成的角为（2）平面的一个法向量是因为，所以，可得与平面所成的角为19.解：（1）由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC底面ABCD，且PC=2.(2)不论点E在何位置，都有BDAE证明如下：连结AC，ABCD是正方形，BDACPC底面ABCD 且平面BDPC又BD平面PAC不论点E在何位置，都有AE平面PAC 不论点E在何位置，都有BDAE(3)解法1：在平面DAE内过点D作DGAE于G，连结BGCD=CB,EC=EC，ED=EBAD=AB，EDAEBA，BGEA为二面角DEAB的平面角BCDE，ADBC，ADDE在RADE中=BG在DGB中，由余弦定理得=，二面角DAEB的大小为.解法2：以点C为坐标原点，CD所在的直线为轴建立空间直角坐标系如图示：则,从而设平面ADE和平面ABE的法向量分别为由法向量的性质可得：，令，则，设二面角DAEB的平面角为，则，二面角DAEB的大小为.20.（1）证明：由四边形为菱形，可得为正三角形因为为的中点，所以又，因此因为平面，平面，所以而平面，平面且，所以平面又平面，所以（2）解：设，为上任意一点，连接由（1）知平面，则为与平面所成的角在中，