导数及其应用.doc

导数及其应用 导数及其应用知识点1.平均变化率把称为函数从到的平均变化率.习惯上用表示，即，可把看作是相对于的一个增量，可以用代替；类似地，.于是，平均变化率可以表示为.2.导数的定义 一般地，函数在处的瞬时变化率是， 我们称它为函数在处的导数，记作，即. 能根据导数的定义，求函数的导数.(课标和10考纲)3.导数的几何意义 函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即4.导函数 从求函数在处导数的过程可以看到，当时，是一个确定的数.这样，当变化时，便是的一个函数，我们称它为的导函数(简称导数).的导函数有时也记作，即5.基本初等函数的导数公式 (1)若； (2)若； (3)若； (4)若；(5)若；(6)若；(7)若；(8)若.1、若_；试题分析：根据题意，由于,故可知答案为2、已知且，则实数的值等于；试题分析：根据题意，由于，那么可知3、若，则等于（）ABCDD4、函数的导数为.根据题意，由于，所以，那么可知答案为。5、已知，则=( )ABCD试题分析：根据题意，则可知，故可知=，选B.6.导数运算法则 (1)；(2)， 特别地，；(3). 一般地，对于两个函数和，如果通过变量可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作. 复合函数的导数和函数，的导数间的关系为 即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积. 仅限于形如的导数.(课标和10考纲)但是高考会超纲，如2010辽宁理10.III. 求导的常见方法：常用结论：.形如或两边同取自然对数，可转化求代数和形式.无理函数或形如这类函数，如取自然对数之后可变形为，对两边求导可得.6、已知若,则a的值等于( )ABCD试题分析：根据题意，由于，则可知且，可知3a-18+6=4,解得a=,故答案为B.7、函数导数是（）ABCD解析试题分析：根据函数，故可知答案为B.8、下列求导运算正确的是（）ABCD试题分析：A项，C项，D项9、已知=，则=（）A+ cos1Bsin1+cos1Csin1-cos1Dsin1+cos1试题分析：=考点：函数求导数点评：基本公式的考查10、函数y=x2cosx的导数为（）.Ay=2xcosxx2sinxBy=2xcosx+x2sinxC y=x2cosx2xsinxDy=xcosxx2sinx试题分析：因为y=x2cosx，所以，故选A11、知函数f(x)的导函数为，且满足f(x)2xln x，则 ()AeB1C1De答案B12、若函数，则=_答案13、已知，则等于ABCDB14、若函数在上可导，且满足，则ABCD试题分析：由于，恒成立，因此在上时单调递减函数，即，故答案为B15、已知函数的导数为，且满足关系式，则的值等于（）AB2CD试题分析：因为，所以，所以，解之得故应选C16、若，则等于（）A2B4C2D0试题分析：,则，所以，可知，那么17、函数,则（）ABCD试题分析：因为函数,所以，则2e故选A18、已知函数，是它的导函数，则。试题分析：因为函数，所以因此19、已知函数，则=（）A1B2C3D4试题分析：对函数求导得，令x=1，得，故选B7.函数的单调性与导数 (1)在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递间. (2)判断函数单调性的步骤： 因为 ，所以 . 当，即 时，函数单调递增； 当，即 时，函数单调递减. 函数的单调增区间为 ，单调减区间为 . (3)一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图像就“平缓”一些.8.函数的极值与导数 (1)如果函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，那么点叫做的极小值点，叫做函数的极小值；如果函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，那么点叫做的极大值点，叫做函数的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值. (2)求函数的极值的方法(充分条件)： 解方程.当时： 如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值； 如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值. 必要条件:函数在一点取得极值的必要条件是函数在这一点的导数值为0. (3)函数的最大(小)值与导数 一般地，如果在区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. 求函数在上的最大值与最小值的步骤： 求函数在内的极值；将函数的各极值与断点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.题型一、求切线方程分两类： 1.求曲线在某点(切点)处的切线 步骤：1)求； 2)点斜式求方程2.求过某点(非切点)的切线 步骤：1)设切点，则 2)， 3)解， 4)点斜式求方程20、过点恰可以作曲线的两条切线，则的值为；试题分析：设切点，则有所以或.因为过点恰可以作曲线的两条切线，所以方程有不等于零的两个等根或包含零的两个不等根.由得或，此时方程的根非零.当方程有零根时，此时方程还有另一根21、函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是（）ABCD试题分析：直线的斜率为2，且，令得，因为，则，所以.故正确答案为B.22、设曲线在点（1，）处的切线与直线平行，则.试题分析：，在点（1，）处的切线斜率为2a，由切线与直线平行得2a=2,解得a=123、已知函数，若函数的图像在点P（1，m）处的切线方程为，则m的值为( )ABCD试题分析：因为，所以，由“过曲线上点的切线斜率，就是该点处的导数值”，得14a=3,a=1,f(1)=m=,故选C。二 单调性24、已知函数。（1）求函数的单调区间；（2）求在曲线上一点的切线方程。试题分析：(1)函数求导，令得或，令得，所以增区间：，减区间：(2)，所以过点的切线斜率为0，切线方程为考点：函数导数求单调区间求切线斜率点评：函数导数可得增区间，可得减区间，函数在某点处的导数值等于该点处的切线斜率25、定义在R上的函数满足：的导函数，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为ABCD试题分析：令，则，即，恒成立，g(x)在R上单调递增，又，不等式，不等式的解集为，故选B26、如图是函数的导函数的图象，给出下列命题是函数的极值点是函数的极小值点在处切线斜率大于在区间上单调递减则正确命题的序号是试题分析：根据原函数和导函数的关系，本题中导函数的图像可知：在单调递减；单调递增；当时取得极小值，无极大值，当时，在处切线斜率大于，综上正确命题的序号是：.27、曲线在点处的切线方程为.试题分析：，则，所以曲线在处的切线方程为，即.28、已知定义域为R的函数，且对任意实数x，总有/（x）3则不等式3x15的解集为()A(，4）B（，4）C（，4）（4，）D（4，）试题分析：设,则所求的不等式解集可理解为使的解集.的导函数为,根据题意可知对任意实数恒成立,所以在上单调递减.则,令,则根据单调递减可知:.29、已知为定义在（-）上的可导函数，对于R恒成立，且e为自然对数的底数,则（）A.B.=.C.D.与.大小不确定试题分析：令，则因为对于R恒成立，所以在上恒成立，因此函数在上为减函数，于是有，所以所以，.，故选A.30、函数是单调函数，则的取值范围（）ABCD试题分析：因为函数在上为单调函数，所以31、已知函数（I）若，判断函数在定义域内的单调性；（II）若函数在内存在极值，求实数m的取值范围。试题分析：（I）显然函数定义域为（0，+）若m=1，由导数运算法则知令当单调递增；当单调递减。（II）由导数运算法则知，令当单调递增；当单调递减。故当有极大值，根据题意32、已知函数（1）试判断函数的单调性，并说明理由；（2）若恒成立，求实数的取值范围试题分析：解：（1）故在递减4分2）记 7分再令在上递增。 10分，从而故在上也单调递增32、已知实数a满足1a2，设函数f (x)x3x2a x() 当a2时，求f (x)的极小值；() 若函数g(x)4x33bx26(b2)x (bR) 的极小值点与f (x)的极小值点相同，求证：g(x)的极大值小于或等于10() 极小值为f (2)()证明如下解析试题分析：()解：当a2时，f (x)x23x2(x1)(x2)列表如下：x(，1)1(1，2)2(2，)f (x)00f (x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，f (x)的极小值为f (2)() 解：f (x)x2(a1)xa(x1)(xa)由于a