第 三 节 全微分及其应用.doc

第 三 节 全微分及其应用教学目的：学习和掌握多元函数（以二元函数为主）全微分的定义，掌握二元函数可微与偏导数存在之间的关系，会求多元函数的全微分教学重点：可微与偏导数存在之间的关系，多元函数的全微分教学难点：计算多元函数的全微分教学内容： 一、全微分的定义我们已经知道，二元函数对某个自变量的偏导数表示当另一个自变量固定时，因变量相对于该自变量的变化率根据一元函数微分学中增量与微分的关系，可得，上面两式的左端分别叫做二元函数对和对的偏增量，而右端分别叫做二元函数对和对的偏微分设函数在点的某一邻域内有定义，并设为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差为函数在点P对应于自变量增量、的全增量，记作，即 （1）一般说来，计算全增量比较复杂与一元函数的情形一样，我们希望用自变量的增量、的线性函数来近似的代替函数的全增量,从而引入如下定义定义 如果函数在点的全增量可表示为 ， （2）其中、不依赖于、而仅与有关，则称函数在点可微分，而称为函数在点的全微分，记作，即在第二节中曾指出，多元函数在某点的各个偏导数即使都存在，却不能保证函数在该点连续但是，如果函数在点可微分，由（2）式可得 ，从而因此，函数在点处连续下面讨论函数在点可微分的条件定理1（必要条件） 如果函数在点可微分，则该函数在点的偏导数、必定存在，且函数在点的全微分为 =+ （3）证 设函数在点可微分于是， ，（2）式总成立特别当 时（2）式也应成立，这时，所以（2）式成为 上式两边各除以，再令而取极限，就得 ，从而偏导数存在且等于 同理可证=所以（3）式成立证毕我们知道，一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件但对于多元函数来说，情形就不同了当函数的各偏导数都存在时，虽然能形式地写出 +，但它与之差并不一定是较高阶的无穷小，因此它不一定是函数的全微分换句话说，各偏导数的存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件例如，函数=在点处有 及 ，所以=,如果考虑点沿着直线 趋于，则,这表示时，并不是较高阶的无穷小，因此函数在点处的全微分并不存在，即函数在点处是不可微分的由定理1及这个例子可知，偏导数存在是可微分的必要条件而不是充分条件但是，如果再假定函数的各个偏导数连续，则可以证明函数是可微分的，即有下面定理定理2（充分条件） 如果函数的偏导数、在点连续，则函数在该点可微分证 我们只讨论在某一区域内有定义的函数（对于偏导数也如此），所以假定偏导数在点连续，就含有偏导数在该点的某一邻域内必然存在的意思（以后凡说到偏导数在某一点连续均应如此理解）设点为这邻域内任意一点，考察函数的全增量 应用拉格朗日中值定理，得到 又假设在点连续，所以上式可写为 （4）其中为、的函数，且当， 时， 同理可证第二个方括号内的表达式可写为 ， （5）其中为 的函数，且当时， 由（4）、（5）式可见，在偏导数连续的假定下，全增量可以表示为 （6）容易看出 ，它是随着，即而趋于零 这就证明了 在点是可微分的以上关于二元函数全微分的定义及微分的必要条件和充分条件，可以完全类似的推广到三元和三元以上的多元函数习惯上，我们将自变量的增量、分别记作、，并分别称为自变量的微分这样，函数的全微分就可以写为 =+ (7) 我们称与分别为函数对自变量的偏微分，那么二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和，这一结论也称为二元函数的微分符合叠加原理叠加原理也适用于二元以上的函数如果三元函数可以微分，那么它的全微分就等于它的三个偏微分之和，即 例1 计算函数在点处的全微分解 因为 , , , 所以=例2 计算函数的全微分解 因为 , , ,所以 =( ) +小结与思考：本节在一