高中语文圆锥曲线典型解答题训练.doc

圆锥曲线典型解答题训练1、（2012届黄冈中学5月）设椭圆的焦点分别为、，直线：交轴于点，且 （1）试求椭圆的方程； （2）过、分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于、四点（如图所示），试求四边形面积的最大值和最小值2、如图，四边形为矩形，点的坐标分别为、，点在上，坐标为，椭圆分别以、为长、短半轴，是椭圆在矩形内部的椭圆弧已知直线与椭圆弧相切，且与相交于点（）当时，求椭圆的标准方程；（）圆在矩形内部，且与和线段ea都相切，若直线将矩形分成面积相等的两部分，求圆m面积的最大值3、如图所示，已知椭圆和抛物线有公共焦点, 的中心和的顶点都在坐标原点，过点的直线与抛物线分别相交于两点（1）写出抛物线的标准方程；（2）若，求直线的方程；（3）若坐标原点关于直线的对称点在抛物线上，直线与椭圆有公共点，求椭圆的长轴长的最小值。4、过轴上动点引抛物线的两条切线、，、为切点，设切线，的斜率分别为和. (1)求证：;(2) 试问：直线是否经过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由. 5、 已知椭圆的离心率为其左、右焦点分别为，点p是坐标平面内一点，且（o为坐标原点）。 （1）求椭圆c的方程； （2）过点且斜率为k的动直线交椭圆于a、b两点，在y轴上是否存在定点m，使以ab为直径的圆恒过这个点？若存在，求出m的坐标；若不存在，说明理由。6、已知椭圆：，分别为左，右焦点，离心率为，点在椭圆上， ，过与坐标轴不垂直的直线交椭圆于两点（）求椭圆的方程；（）在线段上是否存在点,使得以线段为邻边的四边形是菱形？若存在,求出实数的取值范围；若不存在，说明理由7、已知定点，b是圆（c为圆心）上的动点，ab的垂直平分线与bc交于点e. （1）求动点e的轨迹方程； （2）设直线与e的轨迹交于p，q两点，且以pq为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求：opq面积的最大值及此时直线的方程. 8、 给定椭圆0，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”。若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为。（1）求椭圆的方程和其“准圆”方程；（2）点是椭圆的“准圆”上的一个动点，过点作直线，使得与椭圆都只有一个交点。求证：. 9、已知实轴长为，虚轴长为的双曲线的焦点在轴上，直线是双曲线的一条渐近线，且原点、点和点）使等式成立. （i）求双曲线的方程； （ii）若双曲线上存在两个点关于直线对称，求实数的取值范围.10、已知点是椭圆的右焦点，点、分别是轴、轴上的动点，且满足若点满足（1）求点的轨迹的方程；（2）设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点，直线、与直线分别交于点、（为坐标原点），试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由11、已知点p（4，4），圆c：与椭圆e：有一个公共点a（3，1），f1f2分别是椭圆的左右焦点，直线pf1与圆c相切（1）求m的值与椭圆e的方程；（2）设q为椭圆e上的一个动点，求的范围12、如图，椭圆方程为，为椭圆上的动点，为椭圆的两焦点，当点不在轴上时，过作的外角平分线的垂线,垂足为，当点在轴上时，定义与重合。（）求点的轨迹的方程；（）已知、，试探究是否存在这样的点：点是轨迹内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且的面积？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由。13、如图所示，椭圆c：的一个焦点为f(1,0)，且过点(2,0)(1)求椭圆c的方程; (2)已知a、b为椭圆上的点，且直线ab垂直于轴，直线：4与轴交于点n，直线af与bn交于点m。()求证：点m恒在椭圆c上； ()求amn面积的最大值14、已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为（）求椭圆的方程；（）设直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求面积的最大值 15、过抛物线c:上一点作倾斜角互补的两条直线,分别与抛物线交于a、b两点。（1）求证：直线ab的斜率为定值；（2）已知两点均在抛物线：上，若的面积的最大值为6，求抛物线的方程。16、是双曲线上一点，m,n分别是双曲线e的左、右顶点，直线pm,pn的斜率之积为 （1）求双曲线的离心率； （2）过双曲线e的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于a,b两点，o为坐标原点，c为双曲线上一点，满足,求的值 17、在直角坐标系xoy中，椭圆c1：的左、右焦点分别为f1、f2f2也是抛物线c2：的焦点，点m为c1与c2在第一象限的交点，且()求c1的方程；()平面上的点n满足，直线lmn，且与c1交于a、b两点，若=0，求直线l的方程 18、圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦。若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦。已知点、是圆锥曲线c上不与顶点重合的任意两点，是垂直于轴的一条垂轴弦，直线分别交轴于点和点。（1）试用的代数式分别表示和；（2）若c的方程为（如图），求证：是与和点位置无关的定值；（3）请选定一条除椭圆外的圆锥曲线c，试探究和经过某种四则运算（加、减、乘、除），其结果是否是与和点位置无关的定值，写出你的研究结论并证明。19、如图,在平面直角坐标系中,已知曲线由圆弧和圆弧相接而成,两相接点均在直线上.圆弧的圆心是坐标原点,半径为13；圆弧过点(29,0).()求圆弧的方程.()曲线上是否存在点,满足？若存在,指出有几个这样的点；若不存在,请说明理由.()已知直线与曲线交于两点,当=33时,求坐标原点到直线的距离.20、如图已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴是短轴的2倍且经过点m（2,1），平行于om的直线在y轴上的截距为m（m0）,且交椭圆于a、b两点. （1）求椭圆的方程； （2）求m的取值范围； （3）求证：直线ma、mb与x轴围成一个等腰三角形。21、（2010襄阳五中）已知动圆过定点，且与直线相切，其中 （1）求动圆圆心的轨迹方程； （2）设是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当，变化且为定值时，直线恒过定点，并求出该点的坐标22、（2013届惠州市一模）已知椭圆(0)的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。(1)求椭圆的方程：(2)设直线与椭圆相交于不同的两点。已知点的坐标为(-，0)，点(0，)在线段的垂直平分线上，且=4。求的值。23、（2013届浙江重点中学摸底）在直角坐标系上取两个定点,再取两个动点 ,且. （）求直线与交点的轨迹的方程； （）已知点()是轨迹上的定点，是轨迹上的两个动点，如果直 线的斜率与直线的斜率满足，试探究直线的斜 率是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由.24、（2012黄石二中5月）抛物线的焦点为f，当抛物线上点n的纵坐标为1时，则|nf|=2（1）求抛物线c的方程；（2）过f做直线l与抛物线c相交于两点a,b，若抛物线c上存在一点m，使得mamb，求直线l的斜率k的取值范围。25、（2012孝感二统）已知椭圆c的离心率，长轴的左右端点分别为.(i)求椭圆c的方程；(ii)设直线与椭圆c交于p,q两点，直线与交于点，试问：当m变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.26、（2011年湖北重点中学高二期末）已知椭圆：的两个焦点分别为,斜率为的直线过左焦点f1且与椭圆的交点为a、b，与轴交点为c，若b为线段cf1的中点，若，求椭圆离心率e的取值范围27、（2011年湖北重点中学高二期末）过抛物线的顶点作互相垂直的两条弦oa、ob.（1）直线是否过定点，若是，求出定点坐标，否则说明理由；（2）抛物线的顶点o在直线ab上的射影为p, 求动点p的轨迹方程.28、（2012届湖北省八校二模）设平面内两定点，直线pf1 和pf2相交于点p,且它们的斜率之积为定值；（）求动点p的轨迹c1的方程；（）设m（0，），n为抛物线c2：上的一动点，过点n作抛物线c2的切线交曲线c1于p、q两点，求面积的最大值29、（2012届湖北襄阳3月）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，过点p（4，0）且不垂直于x轴直线与椭圆c相交于a、b两点。（1）求椭圆c的方程；（2）求的取值范围；（3）若b点在于x轴的对称点是e，证明：直线ae与x轴相交于定点。30、（2012届湖北八市3月）如图:o方程为，点p在圆上，点d在x轴上，点m在dp延长线上，o交y轴于点n，.且（i）求点m的轨迹c的方程；（ii）设，若过f1的直线交（i）中曲线c于a、b两点，求的取值范围第30题图31、（2012届青岛市一模）已知椭圆：的左焦点，若椭圆上存在一点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段相切于线段的中点（）求椭圆的方程；（）已知两点及椭圆:,过点作斜率为的直线交椭圆于两点,设线段的中点为,连结,试问当为何值时,直线过椭圆的顶点?() 过坐标原点的直线交椭圆:于、两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连结并延长交椭圆于，求证：.32、（2012届黄冈市3月）已知椭圆的离心率为，椭圆上任意一点到右焦点f的距离的最大值为。（1）求椭圆的方程；（2）已知点是线段of上一个动点（o为坐标原点），是否存在过点f且与x轴不垂直的直线与椭圆交于a、b点，使，并说明理由。33、（2012届武汉2月）已知a（-2，0）、b（2，0）为椭圆c的左、右顶点，f（1，0）为其右焦点（）求椭圆c的方程；（）过点a的直线l与椭圆c的另一个交点为p（不同于a，b），与椭圆在点b处的切线交于点d当直线l绕点a转动时，试判断以bd为直径的圆与直线pf的位置关系，并加以证明34、（2012孝感高中高二期中）已知点，动点，设直线的斜率分别记为，记（其中可以是四则运算加、减、乘、除中的任意一种运算），坐标原点为 ，点.（）探求动点的轨迹方程；（）若表示乘法，动点的轨迹再加上两点记为曲线，直线平行于直线，且与曲线交于两个不同的点. ()若原点在以为直径的圆的内部，试求出直线在轴上的截距的取值范围.()试求出面积的最大值及此时直线的方程.35、 如图，已知直线与轴交于点，交抛物线于两点，坐标原点是的中点，记直线的斜率分别为.（）若为抛物线的焦点，求的值，并确定抛物线的准线与以为直径的圆的位置关系.（）试证明：为定值. 36、已知抛物线，点关于轴的对称点为，直线过点交抛物线于两点（1）若直线的斜率为1求的面积；（2）证明：直线的斜率互为相反数；圆锥曲线典型解答题参考答案1、 解：（1）由题意， 为的中点 即：椭圆方程为 （2）当直线与轴垂直时，此时，四边形的面积同理当与轴垂直时，也有四边形的面积 当直线，均与轴不垂直时，设:，代入消去得： 设所以，所以，同理所以四边形的面积令因为当，且s是以u为自变量的增函数，所以 综上可知，故四边形面积的最大值为4，最小值为2、解：（1）解：设椭圆的方程为. 由 消去y得. 3分由于直线l与椭圆相切，化简得， 当时，则椭圆的标准方程为. 6分（2）由题意知，于是的中点为. 因为将矩形分成面积相等的两部分，所以过点，即，亦即. 由解得，故直线的方程为 9分.因为圆与线段相切，所以可设其方程为. 因为圆在矩形及其内部，所以 圆与相切，且圆在上方，所以，即. 代入得即 所以圆面积最大时，这时，圆面积的最大值为15分 3、 解：（1）(2)设（3）椭圆设为 消元整理4、解：（）设过与抛物线的相切的直线的斜率是，则该切线的方程为：，由得，则都是方程的解，故。（）法1：设，故切线的方程是：，切线的方程是：，又由于点在上，则，则直线的方程是，则直线过定点. 法2：设，ks5*u 所以,直线：， 5、解：（1）设则由 1分由得 2分即c=1又因为 因此所求椭圆的方程为： （2）动直线的方程为：由得 设则 假设在y上存在定点m（0，m），满足题设，则由假设得对于任意的恒成立，即解得m=1。 因此，在y轴上存在定点m，使得以ab为直径的圆恒过这个点，点m的坐标为（0，1） （另解 令k0 代入 得m1 或m，把其都代入。其中m1时恒成立；m时不恒成立。因此，在y轴上存在定点m，使得以ab为直径的圆恒过这个点， 点m的坐标为（0，1） ） 6、解：（1）由已知，所以，又因为，所以，由余弦定理，-4分所以，所以椭圆方程为（2）假设存在点满足条件，设，直线的方程为，联立：，则 ，由题知，因为，所以，即，则 ，所以 ，又在线段上，则，故存在满足题意7、解：（1）由题知 （2分） 又点e的轨迹是以a，c为焦点，长轴长为4的椭圆，e的轨迹方程为 （4分） （2）设，pq的中点为 将直线与联立得 ，即 又 依题意有，整理得 （6分） 由可得， （7分） 设o到直线的距离为，则 （10分） 当时，的面积取最大值1，此时， 直线方程为 8、解：（1）因为，所以 2分所以椭圆的方程为， 准圆的方程为. 4分（2）当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，当方程为时，此时与准圆交于点此时经过点（或且与椭圆只有一个公共点的直线是(或，即为(或，显然直线垂直；同理可证方程为时，直线垂直. 7分当都有斜率时，设点其中，设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，则，消去得到，即，经过化简得到：， 9分因为，所以有，设的斜率分别为，因为与椭圆都只有一个公共点，所以满足上述方程，所以，即垂直. 13分 9、解：（i）根据题意设双曲线的方程为 2分且, 解方程组得所求双曲线的方程为 6分（ii）当时，双曲线上显然不存在两个点关于直线对称； 7分当时，设又曲线上的两点m、n关于直线对称，.设直线mn的方程为则m、n两点的坐标满足方程组, 消去得显然 即设线段mn中点为 则.在直线 10分即 即的取值范围是. 12分 10、解：（1）椭圆右焦点的坐标为，1分，由，得 3分设点的坐标为，由，有，代入，得 5分（2）(法一)设直线的方程为，、，则， 6分由，得， 同理得8分，则 9分由，得， 11分则 13分因此，的值是定值，且定值为 14分(法二)当时， 、，则， 由 得点的坐标为，则由 得点的坐标为，则 7分当不垂直轴时，设直线的方程为，、，同解法一，得 10分由，得，11分则 13分因此，的值是定值，且定值为 14分【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、向量、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合思想、分类讨论思想、化归与转化思想11、解：（）点a代入圆c方程， 得 m3，m1圆c：设直线pf1的斜率为k，则pf1：，即直线pf1与圆c相切，解得当k时，直线pf1与x轴的交点横坐标为，不合题意舍去当k时，直线pf1与x轴的交点横坐标为4，c4f1（4，0），f2（4，0）2aaf1af2，a218，b22椭圆e的方程为：（），设q（x，y），即，而，186xy18则的取值范围是0，36的取值范围是6，6的取值范围是12，012、解：()当点p不在轴上时，延长与的延长线相交于点n，连结om，,是线段的中点，2分。点p在椭圆上，。4分当点p在轴上时，m与p重合，m点的轨迹方程为。6分（）连结oe，易知轨迹t上有两个点，满足,分别过a,b作直线oe的两条平行线，同底等高的两个三角形的面积相等，符合条件的点均在直线、上。7分 直线、的方程分别为：、。8分设点 （ ）在轨迹t内，。9分分别解与得 与11分为偶数，在上对应的在上，对应的13分满足条件的点存在，共有6个，它们的坐标分别为：。13、方法一：(1)解：由题设，从而， 所以椭圆c的方程为1. 3分(2)(i)证明：由题意得f(1,0)、n(4,0)设，则，.af与bn的方程分别为：. 设，则有由上得由于1.所以点m恒在椭圆c上7分()解：设am的方程为，代入，得ks5u设、，则有，.令，则因为函数在为增函数，所以当即时，函数有最小值4.即时,有最大值3，此时am过点f. amn的面积samn有最大值.14、解：（）因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为，所以，又椭圆的离心率为，即，所以，所以，.所以，椭圆的方程为. （）方法一：不妨设的方程，则的方程为.由得，设，因为，所以，同理可得，所以，设，则，当且仅当时取等号，所以面积的最大值为.方法二：不妨设直线的方程.由 消去得，设，则有，. 因为以为直径的圆过点，所以 .由 ，得 .将代入上式，得 . 将 代入上式，解得 或（舍）.所以（此时直线经过定点，与椭圆有两个交点），所以.设，则.所以当时，取得最大值. 15、解：（1）不妨设5分（2）ab的直线方程为：点m到ab的距离。7分 9分又由且 11分设为偶函数，故只需考虑，所以上递增，当时，。 故所求抛物线的方程为13分 16、解：（1）点在双曲线上，有由题意又有可得 （2）联立设则 （1）设又c为双曲线上一点，即有化简得： （2）又在双曲线上，所以由（1）式又有得： 17、解：()由:知设，在上，因为，所以，得,m在上，且椭圆的半焦距，于是，消去并整理得，解得（不合题意，舍去）故椭圆的方程为（6分）()由知四边形是平行四边形，其中心为坐标原点，因为，所以与的斜率相同，故的斜率设的方程为由消去并化简得设，因为，所以所以此时，故所求直线的方程为，或（14分）18、解 （1）因为是垂直于轴的一条垂轴弦，所以 则 . 2分 令则. 4分 同理可得：，. 6分（3）第一层次：点是圆c：上不与坐标轴重合的任意一点，是垂直于轴的垂轴弦，直线分别交轴于点和点，则。. 16分证明如下：由（1）知： 在圆c：上， 则是与和点位置无关的定值点是双曲线c：上不与顶点重合的任意一点，是垂直于轴的垂轴弦，直线分别交轴于点和点，则。. 16分是与和点位置无关的定值第二层次：点是抛物线c：上不与顶点重合的任意一点，是垂直于轴的垂轴弦，直线分别交轴于点和点，则。. 18分 证明如下：由（1）知： ，在抛物线c：上，则是与和点位置无关的定值 19、解：（）圆弧所在圆的方程为,令x=5,解得m(5,12),n(5,-12) 2分则线段am中垂线的方程为,令y=0,得圆弧所在圆的圆心为(14,0),又圆弧所在圆的半径为=29-14=15,所以圆弧的方程为5分()假设存在这样的点,则由,得8分由,解得(舍去) 9分由,解得(舍去) ,综上知,这样的点p不存在10分()因为,所以两点分别在两个圆弧上.设点o到直线l的距离为d,因为直线l恒过圆弧所在圆的圆心(14,0),所以13分即,解得,所以点o到直线l的距离为 16分 20、（1）设椭圆方程为（ab0）则 椭圆方程 -3分（2） 直线dm且在y轴上的截距为m，y=x+m由与椭圆交于a、b两点=（2m）2-4（2m2-4）0-2m2（m0） -7分 （3）设直线ma、mb斜率分别为k1,k2，则只要证：k1+k2=0设a（x1,y1）,b（x2,y2）,则k1=,k2=由x2+2mx+2m2-4=0得x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4 -9分而k1+k2=+= （*）又y1=x1+m y2=x2+m（*）分子=（x1+m-1）（x2-2）+（ x2+m -1）（x1-2）=x1x2+（m-2）（x1+x2）-4（m-1）=2m2-4+（m-2）（-2m）-4（m-1） =0k1+k2=0, -13分 21、20解：（i）如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为； 4分（ii）如图，设，由题意得（否则）且所以直线的斜率存在，设其方程为，显然，将与联立消去，得由韦达定理知（1）当时，即时，所以，所以由知：所以因此直线的方程可表示为，即所以直线恒过定点 8分（2）当时，由，得=将式代入上式整理化简可得：，所以，此时，直线的方程可表示为即所以直线恒过定点所以由（1）（2）知，当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点 13分22、（1）解：由，得，再由，得-2分由题意可知， 解方程组 得-5分所以椭圆的方程为 -6分(2)解：由（1）可知a（-2,0）。设b点的坐标为（x1,y1）,直线l的斜率为k，则直线l的方程为, -7分于是a,b两点的坐标满足方程组由方程组消去y并整理，得 -8分由得-9分设线段ab是中点为m，则m的坐标为以下分两种情况：（1）当k=0时，点b的坐标为（2,0）。线段ab的垂直平分线为y轴，于是-11分当k时，线段ab的垂直平分线方程为令x=0，解得 由整理得-13分综上。-14分23、解：（）依题意知直线的方程为： 2分直线的方程为： 3分设是直线与交点，得由整理得 4分不与原点重合点不在轨迹m上5分轨迹m的方程为（）6分（）点()在轨迹m上解得，即点a的坐标为7分设，则直线ae方程为：，代入并整理得9分 设, 点在轨迹m上， , 11分又得，将、式中的代换成，可得，12分直线ef的斜率13分即直线ef的斜率为定值，其值为15分24、25、26、.解：设，则直线的方程为，令的，点坐标为，从而点，点b在椭圆上，即即，.8分又即，解得又.13分27、解：（1）设由消去y得：，.oa ob，所以,b0， b1， 直线ab过定点m(0, 1),7分（2）opab，点p的轨迹是以om为直径的圆（不含原点o），点p的轨迹方程为.14分28、（1）设点p（x,y）,依题意则有，整理得：4分（2）设，则pq的方程为：，联立方程组，消去y整理得：，有，8分而11分由代入化简得： 即；当且仅当时，取到最大值。13分29、(1)解：由题意知，即又，故椭圆的方程为2分(2)解：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为由得：4分由得：设a(x1，y1)，b (x2，y2)，则6分30、19（i）设， 3分 代入得 5分（ii）当直线ab的斜率不存在时，显然； 6分当直线ab的斜率存在时，不妨设ab的方程为： 不妨设 则： 8分 10分 11分综上所述的范围是 12分31、解：（）连接为坐标原点,为右焦点），由题意知：椭圆的右焦点为因为是的中位线，且,所以所以，故2分在中，即,又,解得所求椭圆的方程为4分 () 由（）得椭圆:设直线的方程为并代入整理得:由得: 5分设则由中点坐标公式得:6分当时,有,直线显然过椭圆的两个顶点;当时,则,直线的方程为此时直线显然不能过椭圆的两个顶点;若直线过椭圆的顶点,则即所以,解得:(舍去)8分若直线过椭圆的顶点,则即所以,解得:(舍去) 9分综上