《正弦和角公式与特殊的正弦》教学设计.doc

走进数学教育 一线串通的初等数学教学课例 四川省数学教育研讨活动 第二站 正弦和角公式（1）教 学 设 计 Sichuansheng chengdushi zongbeizhongxue资源整合渗透数学文化问题探究促进自主发展创新实践提升信息素养成都市棕北中学 阮明雄一线串通的初等数学教学课例 成都市棕北中学七年级数学备课组第二站 正弦和角公式（1）教学设计1、 教材分析一线串通的初等数学从小学知识：三角形的内角和知识及三角形的面积公式出发，举一反三，推陈出新，直观而严谨地给出了正弦的新定义，并在此基础上得到正弦定理、和角公式、勾股定理等一系列三角公式和几何定理，揭示出了几何、代数和三角的基本知识和内在联系，本书旨在以三角为主线，构建新体系下的初等数学。全书分5个部分：正弦和正弦定理、正弦和角公式、余弦和余弦定理、四边形、圆和正多边形，大体覆盖了初中应掌握的几何、代数和三角的基本知识。本课例第二站 正弦和角公式（1）是第二站正弦和角公式第1课时的内容。本课的学习任务包括：探究正弦和角公式及推导过程，运用正弦和角公式计算特殊角的正弦值；熟记特殊角的正弦值并利用求解三角形问题。学生通过正弦和角公式的探究学习过程，理性思维，结合三角形的面积关系，独立思考、推理演绎，能多角度、辩证地分析问题，做出选择和判断。教师在引导学生探究学习的过程中，关注认知的形成过程，激发学生的好奇心和想象力；鼓励学生不畏困难，坚持不懈的探索精神；培养学生勇于探究，能大胆尝试，积极寻求有效的问题解决方法等。在小组合作与交流中大胆创新、批判质疑，形成认识事物的科学的思维方式、解决问题、指导行为等。2、 学情分析前一部分，学生学习了利用单位菱形的面积定义正弦，推导了三角形的“边角边”正弦面积公式，进而得出正弦定理，并利用正弦来求解简单的三角形问题，初步学会了利用面积关系求解问题的基本方法。本节课将在前面学习的基础上，探究正弦和角公式，进一步认识正弦值是怎样计算出来的，并能根据公式求解特殊角的正弦值，得出有关特殊图形的几何结论，并记忆加以运用求解生活中的问题。3、 教学目标1. 探究正弦和角公式及推导过程，运用正弦和角公式计算特殊角的正弦值；2. 熟记特殊角的正弦值和相关的几何结论并利用求解三角形问题；3. 通过数学问题的探究过程，发展学生的核心素养。4、 教学重点、难点推导正弦和角公式，计算特殊角的正弦值并运用解决生活中的三角形问题。5、 教学策略与学法指导教师的作用：激发兴趣、引发思考、培养习惯、提炼方法。沟通与激趣：问题引发思考、追问调动参与、探究解决问题、任务内化认知。发展信息素养：画板演示、直观演绎、突重破难。教材处理：整合、改造、补充、渗透数学文化。教学方式：学生独立思考、小组合作探究、教师启发引导.教具准备：多媒体课件、直尺、三角板.学法指导：问题引领、直观演示、合作探究、互动交流、总结归纳6、 教学环节与活动设计知识回顾问题探究演绎推理练习巩固学以致用课堂小结教学环节教师活动学生活动设计意图及活动说明1、知识回顾唤醒认知知识回顾：第一站正弦与正弦定理我们学习了哪些与正弦有关的知识？1. 的几何含义是什么？ _;_;.2. 的面积公式：；_=_.3. 正弦定理的内容是什么？我们是怎么得到的？ 正弦定理：在任意中,、所对的三边依次为a、b、c，有 _=_=_. 特别地，若,则中，由正弦定理可得_;_. 回顾知识、唤醒认知1. 表示含有的单位菱形的面积（面积意义）。2. 三角形的边角边面积公式。3. 利用三角形的面积得出正弦定理，在直角三角形中得出：（比值意义）。重点：复习利用三角形的面积公式探究问题的方法。 梳理知识，唤醒认知，形成学习意识，理解和掌握学习中所蕴含的数学思想、认识方法和实践方法等。为新课的学习做准备。2、问题探究发现规律探究一：请根据所学的知识完成下列探究过程 已知，如图所示的两个直角三角形，请根据题中的数据下问题：（1）_;_.（2）_；_.（3）仔细观察两个直角三角形，你发现了什么？（4）根据图形的启发，请你尝试计算的值，并说明理由。 探究二：与、有怎样的关系呢？根据探究一的启发，谈谈你的想法吧！并尝试推导你的结论。比一比哪个小组最先探究出结论。解： 归纳：正弦和角公式对于任意两个锐角： 记忆方法：一本二余+二本一余探究一：学生独立完成，体会面积关系在求解和的正弦值中的重要方法。 猜想：=_ 理由：探究二：小组合作完成，展示交流。归纳：推导公式、简化记忆。通过设置探究活动，激发学生的好奇心和想象力；能大胆尝试，积极寻求有效的问题解决方法。设置比一比环节，营造适度紧张的气氛，激励坚持不懈的探索精神。通过线独立思考再小组合作的学习形式，培养学生发现问题、理性思维的能力批判质疑的精神。指导学生科学的记忆方法，缜密思维。三、演绎推理归纳性质运用公式求解特殊角的正弦：教师示范：计算的值（）当时，学生比赛，计算、的值（）当时，（）当时， 结合图形，理解含义：推论1：直角三角形中，若有一个锐角为，那么角所对的直角边是斜边的一半。推论2：正方形的对角线是边长的倍。推论3：等边三角形的高是边长的倍。教师示范求解的值。学生模仿探究、的正弦值。比一比，谁是高手？运用公式，巧妙计算，得出一些特色角的正弦值。比一比看谁算的又快有准。探究几何性质，发散思维。 设置游戏环节，善学乐学，保持学生积极的学习态度和浓厚的学习兴趣；结合图形，发散思维理解几何含义，形成勤于反思，多角度思考问题的习惯，能自主学习，具有终身学习的意识和能力等。四、巩固练习内化知识1. 计算：； 。2. 填空：（1） 如图，一棵树的树干从距地面米处折断，折断部分与地面的夹角为，那么这个树折断前的高度为_米。（2） 一个等边三角形的边长为，则这个三角形的面积为_。3.计算_。 独立完成巩固练习，抢答展示与分享。运用学习中获得的数学经验和科学的思维方式发现本质、解决问题。在练习中内化知识和方法。五、学以致用举一反三国际数学节是为了纪念中国古代数学家祖冲之而将每年的3月14日设立的节日。今年我校九年级数学兴趣小组计划在这一天开展一次课外实践活动。为了测量某景观的高度，设计了如图所示的测量方案。已知该同学的身高为1.6米，请根据图中数据计算假山高度。（）小组合作学习创建生活情境，能自觉、有效地获取、评估、鉴别、使用信息，培养信息意识。6、课堂小结缜密思维1.课后反思（三思）本节课我学会了什么？本节课用了哪些数学的思想方法？我的疑惑（问题)还有哪些？2.作业练习 组织学生畅谈学习收获与体会，引导学生基于知识的理解、方法的归纳、思维的感悟，培养学生应用意识与创新意识，让数学思维真正串起来。反思小结，优化认知，培养学生对学习状态进行审视的意识和习惯，善于总结经验发展数学素养。7、 板书设计：教学反思基于核心素养下的初中数学课程开发与实践阮明雄引言中国学生发展的六大核心素养学生发展核心素养，主要指学生应具备的，能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。研究学生发展核心素养是落实立德树人根本任务的一项重要举措，也是适应世界教育改革发展趋势、提升我国教育国际竞争力的迫切需要。中国学生发展核心素养，以科学性、时代性和民族性为基本原则，以培养“全面发展的人”为核心，分为文化基础、自主发展、社会参与三个方面。综合表现为人文底蕴、科学精神、学会学习、健康生活、责任担当、实践创新六大素养，具体细化为国家认同等十八个基本要点。根据这一总体框架，结合初中生数学学习的具体表现，设计本课例供大家研讨。不当之处还请批评指正。1、 整合资源、渗透数学文化文化是人存在的根和魂。文化基础，重在强调能习得人文、科学等各领域的知识和技能，掌握和运用人类优秀智慧成果，涵养内在精神，追求真善美的统一，发展成为有宽厚文化基础、有更高精神追求的人。一线串通的初等数学是张景中关于基础教育数学的研究成果，本书旨在以三角为主线重构初等数学，从数学本身出发，追求平易，让初中数学学习变的更容易，此课程本身就具有较强的文化底蕴和科学精神。考虑到自身教学经验不足，在设计和开发本课时，我首先查阅了多版本的初中数学教材，发现与三角相关的知识几乎都在九年级时提及，而要在七年级上本节课，我有些惶恐，于是带着问题研读了一线串通的初等数学，越读越是发现其中的魅力。初中数学的学习是有意义的，富有挑战性的。一线串通的初等数学利用三角串通初等数学是数学基本知识和成果的积累，其推理和思维中所蕴含的认识方法和实践方法有着较高的文化情怀，感知出笔者对数学的无比热爱之情和对国家基础数学人才培养的责任担当与爱国情怀。本课例正弦和角公式与特殊角的正弦设计了两个知识目标：探究正弦和角公式及推导过程，运用正弦和角公式计算特殊角的正弦值；熟记特殊角的正弦值并利用求解三角形问题。学生通过正弦和角公式的探究学习过程，理性思维，结合三角形的面积关系，独立思考、推理演绎，能多角度、辩证地分析问题，做出选择和判断。教师在引导学生探究学习的过程中，关注认知的形成过程，激发学生的好奇心和想象力；鼓励学生不畏困难，坚持不懈的探索精神；培养学生勇于探究，能大胆尝试，积极寻求有效的问题解决方法等。在小组合作与交流中大胆创新、批判质疑，形成认识事物的科学的思维方式、解决问题、指导行为等。二、问题探究、促进自主发展数学学习过程的核心体现是“问题解决”，从发现问题，分析问题产生的原因，寻找解决问题的方法，到最后解决问题，强化在问题解决中落实，学习快乐也从问题解决中获得。学生的自主发展体现在学会学习和学生生活两个方面。学生是学习主体，问题探究式学习赋予学生更多的自主性。学生在问题探究中，认识和发现自我价值，发掘自身潜力，汲取科学素养，更佳有利于学生掌握知识，树立自信，成就人生。老师的所有努力，就是用问题引导学习，乐学善学，能正确认识和理解学习的价值，形成积极的学习态度和浓厚的学习兴趣；用问题引发思考，勤于反思，开发学生的思维潜能，具有对自己的学习状态进行审视的意识和习惯，善于总结经验，能够根据不同情境和自身实际，选择或调整学习策略和方法；用问题促进自我管理，能养成良好的学习习惯，掌握适合自身的学习方法，能自主学习，具有终身学习的意识和能力等。三、创新实践、提升信息素养社会性是人的本质属性。社会参与，作为学生中有的核心素养，重在强调能处理好自我与社会的关系，养成现代公民所必须遵守和履行的道德准则和行为规范，增强社会责任感，提升创新精神和实践能力，促进个人价值实现，推动社会发展进步，发展成为有理想信念、敢于担当的人。当今时代是高度信息化的时代，是大数据环境下信息高速交换的时代。信息素养包括能自觉、有效地获取、评估、鉴别、使用信息；具有数字化生存能力，主动适应“互联网+”等社会信息化发展趋势；具有网络伦理道德与信息安全意识等已经成为公民社会参与的基本素养要求。信息素养，简单的来说，就是信息的收集、整理、分析、应用等能力。数学学习对学生信息素养的培养有重要的意义。本教学设计是数学课程、信息技术与学生认知水平的二次整合，最终的目的是为了有效促进学生的学习。而要想促进学习者的学习，就必须使教学方法、媒体和技术与学习者的认知结构与心理特征相匹配。本课例通过整合课程资源，结合网络画板等创新技术，将三角知识在七年级学生中实践，有效地突重破难，有利于塑造学生良好的认知结构，提高公民的信息素质。附件1 导学稿课题2.8正弦和角公式与特殊的正弦授课人：阮明雄1课时 学习目标探究正弦和角公式及推导过程，运用正弦和角公式计算特殊角的正弦值；熟记特殊角的正弦值并利用求解三角形问题。 学习重点推导正弦和角公式，计算特殊角的正弦值并运用解决生活中的三角形问题。 学习难点计算特殊角的正弦函数值并应用解决三角形问题。学法指导问题引领、直观演示、合作探究、互动交流一、知识回顾，唤醒认知 1.的几何含义是什么？_;_;.2.的面积公式：；_=_.3.正弦定理的内容是什么？ 正弦定理：在任意中,、所对的三边依次为a、b、c，有 _=_=_. 特别地，若,则中，由正弦定理可得_;_. 二、探究问题、发现规律探究一：请根据所学的知识完成下列探究过程 已知，如图所示的两个直角三角形，请根据题中的数据下问题：（1）_;_.（2）_；_.（3）仔细观察两个直角三角形，你发现了什么？（4）根据图形的启发，请你尝试计算的值，并说明理由。 解： 探究二：与、有怎样的关系呢？根据探究一的启发，谈谈你的想法吧！并尝试推导你的结论。比一比哪个小组最先探究出结论。 解：构造如图所示，使得, _ _ _ _ _归纳正弦和角公式：对于任意两个锐,则 _记忆方法： _三、演绎推理、归纳性质运用公式求解特殊角的正弦： 例：计算的值 解：当时，_, _ 练习：计算（1） （2)的值 解：(1) 解：（2）结合图形，理解含义： 推论1：直角三角形中，若有一个锐角为，那么角所对的直角边是斜边的_。推论2：正方形的对角线是边长的_倍。推论3：等边三角形的高是边长的_倍。 四、巩固练习，内化知识（巩固卡）1.计算： ； ； （3）计算2.