【师说系列】高考数学三轮专题分项模拟 立体几何质量检测试题 理（含解析） (2)(1).doc

专题质量检测(四)立体几何一、选择题1下列命题中正确的是()a在空间中，垂直于同一个平面的两个平面平行b已知，表示两个不同平面，m为平面内的一条直线，则“”是“m”的充要条件c在三棱锥sabc中，sabc，sbac，则点s在平面abc内的射影是abc的垂心da，b是两条异面直线，p为空间一点，过点p总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一条平行解析：a错误，垂直于同一个平面的两个平面也可能相交；b错误，“”是“m”的必要不充分条件；d错误，只有当异面直线a，b垂直时才可以作出满足要求的平面；易知c正确答案：c2某几何体的三视图如图所示，则它的体积是()a8b12c204d208解析：由三视图可知此几何体是一个边长为2的正方体上面放置一个半径为1，高为的圆锥，其体积vv正方体v圆锥238.答案：a3已知m，n为不同的直线，为不同的平面，若mn，n；mn，n；m，m，；m，则其中能使m成立的充分条件有()a3个b2个c1个 d0个解析：mn，n，不能推得m，这是因为m可能在平面内；mn，n，不能推得m，这是因为m可能在平面内；m，m，能推得m；m，不能推得m，这是因为m可能在平面内答案：c4已知直线l、m，平面、，且l，m，则“”是“lm”的()a充要条件b充分不必要条件c必要不充分条件d既不充分也不必要条件解析：若，由l，得l，又m，所以lm；若lm，不妨设，m，满足l，但、不平行，所以选b.答案：b5如图所示的三个几何体依次是一个长方体、一个直三棱柱、一个过圆柱上下底面圆心切下的圆柱的四分之一部分，这三个几何体的主视图和俯视图是相同的长方形，则它们的体积之比为()a42 b43c23 d32解析：如图，由题意知，长方体的底面是正方形，三棱柱的底面是等腰直角三角形，这三个几何体的高都相等，所以它们的体积之比等于它们的底面积之比设长方体的底面正方形的边长为a，则三棱柱的底面是腰长为a的等腰直角三角形，四分之一圆柱的底面是半径为a的圆的四分之一，所以它们的底面积之比为a242，即它们的体积之比为42.答案：a6在空间内，设l，m，n是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中为假命题的是()a，l，则lbl，l，m，则lmcl，m，n，lm，则lnd，则或解析：对于a，如果两个相交平面均垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，该命题是真命题；对于b，如果一条直线平行于两个相交平面，那么该直线平行于它们的交线，该命题是真命题；对于c，如果三个平面两两相交，有三条交线，那么这三条交线交于一点或相互平行，该命题是真命题；对于d，当两个平面同时垂直于第三个平面时，这两个平面可能不垂直也不平行，d不正确综上所述，选d.答案：d7已知某几何体的体积为，它的正视图、侧视图均为边长为1的正方形(如图所示)，则该几何体的俯视图可以为() a b c d解析：对于a，该几何体为正方体，其体积v1，a不正确；对于b，该几何体是一个圆柱，其体积v21，b正确；对于c，该几何体为一个三棱柱，其体积v111，c不正确；经验证d也不正确故选b.答案：b8四棱锥pabcd的所有侧棱长都为，底面abcd是边长为2的正方形，则cd与pa所成角的余弦值为()a. b. c. d.解析：如图所示，因为四边形abcd为正方形，故cdab，则cd与pa所成的角即为ab与pa所成的角pab，在pab内，pbpa，ab2，利用余弦定理可知：cospab，故选b.答案：b9在三棱锥abcd中，abcd6，acbdadbc5，则该三棱锥的外接球的表面积为()a2 b4c21 d43解析：依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，设该长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且其外接球的半径为r，则得a2b2c243，即(2r)2a2b2c243，易知r即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接球的表面积为4r243.答案：d10一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为()a. b. c4 d2解析：根据三视图还原几何体为一个如图所示的三棱锥dabc，其中平面adc平面abc，adc为等边三角形取ac的中点为e，连接de、be，则有deac，所以de平面abc，所以deeb.由图中数据知aeeceb1，de，ad2dcdb，abbc，ac2.设此三棱锥的外接球的球心为o，则它落在高线de上，连接oa，则有ao2ae2oe21oe2，aododeoeoe，所以ao，故球o的半径为，故所求几何体的外接球的表面积s42，故选b.答案：b11已知三棱柱abca1b1c1的底面是边长为的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面积为12，则该三棱柱的体积为()a2 b3c4 d5解析：如图，设三棱柱的外接球的球心为o，正三棱柱的高为2h，则o为此正三棱柱上下底面中心的连线的中点易知ao，则该三棱柱的外接球的半径ao，由题意可得4()212，故h1，从而该三棱柱的体积为()223.答案：b12已知四棱锥sabcd的底面是中心为o的正方形，且so底面abcd，sa2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为()a1 b.c2 d3解析：依题意，设四棱锥sabcd的底面正方形abcd的边长为2a，高为h，则有2h2sa2，即2a2h212，则有a2a2h233，即123，a4h243，当且仅当a2h24，即ah2时取等号，此时a2h取得最大值，该棱锥的体积v(2a)2ha2h也取得最大值，因此当该四棱锥的体积最大时，它的高为2，选c.答案：c二、填空题13在长方体abcda1b1c1d1中，aa1ad2ab.若e，f分别为线段a1d1，cc1的中点，则直线ef与平面abb1a1所成角的余弦值为_解析：取bb1的中点m，连接fm、a1m，易知fm平面abb1a1，ea1平面abb1a1，所以线段a1m是线段ef在平面abb1a1上的射影连接c1e，设ab1，直线ef与平面abb1a1所成的角是，则有ef，a1m，因此cos，即直线ef与平面abb1a1所成角的余弦值是.答案：14某盛有水的圆柱形容器的底面半径为5 cm(厚度不计)，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下降_cm.解析：依题意，设水面下降的高度为h，则52h23，解得h.故填.答案：15如图所示，正方体abcda1b1c1d1的棱长为6，则以正方体abcda1b1c1d1的中心为顶点，以平面ab1d1截正方体外接球所得的圆为底面的圆锥的全面积为_解析：设o为正方体外接球的球心，则o也是正方体的中心，o到平面ab1d1的距离是体对角线长的，即为；又球的半径是正方体体对角线长的一半，即为3，由勾股定理可知，截面圆的半径为2，圆锥底面面积为s1(2)224；圆锥的母线即为球的半径3，圆锥的侧面积为s22318.因此圆锥的全面积为ss1s21824(1824).答案：(1824)16已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120的等腰三角形，则该三棱锥的外接球体积为_解析：由三视图可得，该三棱锥的底面是底边长为2，高为1的等腰三角形，该三棱锥的高为2，其直观图如图所示，ac平面abd，作出三棱锥的外接球，则由正弦定理可得，abd的外接圆的直径ae4，则外接球的直径ce2，该三棱锥的外接球体积为v球3()3.答案：三、解答题17如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图，在直观图中，m是bd的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示(1)求该几何体的体积；(2)求证：em平面abc.解析：(1)ea平面abc，eaab，又abac，ab平面acde，从俯视图中可见四棱锥bacde的高ab为2，又梯形acde的面积s(42)26，vbacde624，即该几何体的体积为4.(2)证明：取bc的中点g，连接em，mg，ag.m为bd的中点，mgcd且mgcd，于是mgae，且mgae，四边形agme为平行四边形，emag，em平面abc.18如图甲，在直角梯形abcd中，abcdab90，cab30，bc1，adcd，把dac沿对角线ac折起后如图乙所示(点d记为点p)，点p在平面abc上的正投影e落在线段ab上，连接pb.(1)求直线pc与平面pab所成的角的大小；(2)求二面角pacb的余弦值的大小甲乙解析：方法一：(1)在图甲中，abcdab90，cab30，bc1，图甲ab，ac2，dac60.adcd，dac为等边三角形adcdac2.在图乙中，图乙点e为点p在平面abc上的正投影，pe平面abc.bc平面abc，pebc.cba90，bcab.peabe，pe平面pab，ab平面pab.bc平面pab.cpb为直线pc与平面pab所成的角在rtcbp中，bc1，pcdc2，sincpb.0cpb90，cpb30.直线pc与平面pab所成的角为30.(2)取ac的中点f，连接pf，ef.papc，pfac.pe平面abc，ac平面abc，peac.pfpep，pf平面pef，pe平面pef，ac平面pef.ef平面pef，efac.pfe为二面角pacb的平面角在rtefa中，afac1，fae30，efaftan30，ae.在rtpfa中，pf.在rtpef中，cospfe.二面角pacb的余弦值的大小为.方法二：在图甲中，图甲abcdab90，cab30，bc1，ab，ac2，dac60.adcd，dac为等边三角形adcdac2.在图乙中，图乙点e为点p在平面abc上的射影，pe平面abc.bc平面abc，pebc.cba90，bcab.peabe，pe平面pab，ab平面pab，bc平面pab.连接ec，在rtpea和rtpec中，papc2，pepe，rtpeartpec.eaec.ecaeac30，ceb60.在rtcbe中，eb.aeabeb.在rtpea中，pe.以点e为原点，eb所在直线为x轴，与bc平行的直线为y轴，ep所在直线为z轴，建立空间直角坐标系exyz，则e(0,0,0)，a，b，c，p.(0,1,0)，(，1,0)，.(1)cos，60.直线pc与平面pab所成的角为60.(2)设平面pac的法向量为n(x，y，z)，由得令x1，得y，z.n为平面pac的一个法向量为平面abc的一个法向量，cosn，.二面角pacb的平面角为锐角，二面角pacb的平面角的余弦值为.19如图，四棱锥pabcd的底面abcd是正方形，侧棱pd底面abcd，pddc，e是pc的中点(1)证明：pa平面bde；(2)求二面角bdec的正切值解析：方法一：(1)证明：连接ac，设ac与bd交于o点，连接eo.底面abcd是正方形，o为ac的中点，又e为pc的中点，oepa，oe平面bde，pa平面bde，pa平面bde.(2)pd底面abcd，pdbc，又bccd，bc平面pcd，又pddc，e为pc的中点，depc，由debc，depc，bcpcc知de平面pbc，从而debe，bec是二面角bdec的平面角设正方形abcd的边长为a，则pda，ecpca，在rtbce中，tanbec，二面角bdec的正切值为.方法二：(1)以d为坐标原点，分别以da，dc，dp所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设pddc2，则a(2,0,0)，p(0,0,2)，e(0,1,1)，b(2,2,0)(2,0，2)，(0,1,1)，(2,2,0)设n1(x，y，z)是平面bde的一个法向量，则由得取y1，得n1(1，1,1)n1220，n1，又pa平面bde，pa平面bde.(2)由(1)知n1(1，1,1)是平面bde的一个法向量，又n2(2,0,0)是平面dec的一个法向量设二面角bdec的平面角为，由图可知n1，n2，coscosn1，n2.cos，sin.tan，故二面角bdec的正切值为.20如图，长方体abcda1b1c1d1中，aa1，ab1，adm，e为bc的中点，且a1ed90.(1)求直线a1e与直线cd所成的角；(2)点m满足，问是否存在实数，使得，且mn平面a1ed同时成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由解析：建立空间直角坐标系axyz，则a(0,0,0)，a1(0,0，)，b(1,0,0)，d(0，m,0)，e.(1)，又a1ed90，10.m2.(1，1，)，(1,0,0)，cos，即直线a1e与cd所成的角为60.(2)依题意m，n(0,2，0)，.设平面a1ed的法向量为n(p，q,1)，则即得n.n0，即(1)210，解得，故当时，使得，且mn平面a1ed同时成立21如图，矩形abcd和梯形befc所在平面互相垂直，becf，bccf，ad，ef2，be3，cf4.(1)求证：ef平面dce；(2)当ab的长为何值时，二面角aefc的大小为60.解析：(1)证明：在bce中，bccf，bcad，be3，ec2.在fce中，cf2ef2ce2，efce.由已知条件知，dc平面efcb，dcef，又dc与ec相交于c，ef平面dce.(2)方法一：过点b作bhef交fe的延长线于h，连接ah.由平面abcd平面befc，平面abcd平面befcbc，abbc，得ab平面befc，从而ahef.所以ahb为二面角aefc的平面角在rtcef中，因为ef2，cf4，ec2，ecf30，ceb30，得beh60，又在rtbhe中，be3，bhbesinbeh.由二面角aefc的平面角ahb60，在rtahb中，解得abbhtanahb，所以当ab时，二面角aefc的大小为60.方法二：如图，以点c为坐标原点，以cb，cf和cd分别作x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系cxyz.设aba(a0)，则c(0,