第3讲 平行四边形.doc

第 3 讲 平行四边形探究复习新思路【考点串讲】一、平行四边形的特征和识别两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形是中心对称图形,对称中心是其对角线的交点.1、平行四边形的特征:平行四边形的平行线之间的距离处处相等2、平行四边形的识别:的四边形是平行四边形.二、几种特殊的平行四边形平行四边形与特殊的平行四边形的关系如下图: 1、（1）矩形的定义：有一个直角的平行四边形叫矩形。（2）。 矩形的特征(具有平行四边形的一切特征)：矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，有两条对称轴；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分（3）识别一个四边形是矩形的方法：有一个内角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等且互相平分的四边形是矩形2、（1）菱形的定义；邻边相等的平行四边形叫菱形。（2）菱形特征(具有平行四边形的一切特征)：菱形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，菱形也是轴对称图形，对称轴为它的对角线所在的直线，有两条对称轴；菱形的四条边相等； 菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角（3）菱形的识别方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 四边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形3、（1）正方形的定义：正方形概念的三个要点：(1)是平行四边形；(2)有一个角是直角；(3)有一组邻边相等正方形的特征和识别方法又是怎样的呢？（2）正方形的特征：正方形是中心对称图形，对称轴是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线，共有四条对称轴；正方形四条边都相等； 正方形四个角都是直角；对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角，对角线与边的夹角等于45（3）正方形的识别方法：有一个角是直角的菱形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形说明：掌握这部分内容,首先搞清平行四边形与矩形、菱形、 正方形之间的包含关系.注重把握特殊平行四边形与一般平行四边形的异同点,才能准确地、灵活地运用.中考中以矩形为主,也可与相似、圆的知识综合运用.（典型1）【典例探究】典例1(2004郴州)如图，在平行四边形ABCD中，DEBF.求证：四边形AFCE是平行四边形解析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以DCAB,DC/AB又因为DE=BF所以DC-DE=AB-FB所以EC=AF而DC/AB所以EC/AF且EC=AF所以四边形AFCE是平行四边形.ABCD1234（拓展1）领悟整合：从中考试卷来看,平行四边形这一节主要考查平行四边形的特征及识别方法综合运用.大家必须清楚特征和识别的条件和结论。拓展1：(2005苏州)如图，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（ ）A B C D典例2 (2004.重庆)如图,在菱形ABCD中,BAD=80,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,E为垂足,连结DF,则CDF等于( )（典型2）A.80 B.70 C.65 D.60 解析：由菱形可知AC平分BAD，由垂直平分线得AF=FB，可求CFB的度数，再由全等得CFB=CFD=80，利用内角和求CDF=60连结BF,由FE是AB的中垂线,知FB=FA,于是FBA=FAB=40.CFB=40+40=80,由菱形ABCD知,DC=CB.DCF=BCF,CF=CF,于是DCFBCF,因此CFD=CFB=80,在CDF中, CDF=180-40-80=60.答案:D.（拓展2）领悟整合：本题主要考查菱形的特征,并借助全等解决问题,常与等边三角形，垂直平分线等综合考查。 平时应对重点知识注意积累.拓展2：（2005南通)已知：如图,菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,OEDC交BC于点E,AD=6cm,则OE的长为（ ）A、6 cmB、4 cmC、3 cmD、2 cmADBFEC（典型3）典例3 (2004河北)已知：如图8，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EAAF.求证：DE=BF.解析：要证线段相等的常规思路是考虑全等形，结合图形，能否证RtABFRtADE，全等条件能找到。四边形ABCD是正方形，AB=AD，BAD=ADE=ABF=90EAAF，BAF+BAE=BAE+DAE=90，BAF=DAE， RtABFRtADE，DE=BF.领悟整合：考查正方形的特征,常常与全等三角形、相似三角形等结合，以求角的度数、证全等从而求线段相等、证相似求线段比.应注意平时多总结. 拓展3：(2005建湖)将一张正方形ABCD的纸片按下图所示的方式连续折叠三次，折叠后再按图所示沿MN裁剪，则可得（ ） A. 多个等腰直角三角形 B. 一个等腰直角三角形和一个正方形（典例4）C. 四个相同的正方形 D. 两个相同的正方形 典例4 (2004广东深圳市)如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O, 过O点作OEBC于E,连结DE交AC于点P,过P作PFBC于F,则的值是_.解析：利用矩形的性质对角线相等且互相平分得：AO=OC，再求POEPCD得（由中位线得DC=2EO），再求CPFCAB可得： ABCDPEFM（拓展4）领悟整合：矩形的对角线互相平分且相等是一个重要的知识点,考题常用于等量代换，或者用它成的等腰三角形解决问题。应熟练掌握.拓展4：已知如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上一动点，PEMC，PFBM，垂足分别为E、F。（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形，请猜想并证明。（2）当P点运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形？请说明理由。展示课改新题型真题1 ( 2005年天津)如图，在ABCD中，EF/AB，GH/AD，EF与GH交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有( )（A）7 个 （B）8个 （C）9个 （D）11个解析：根据平行四边形的的概念,两组对边分别平行的四边形是平行四边形,由题中的已知条件就能得出图中的平行四边形共有9个,所已选C。（真题1）评价：只要对平行四边形的的概念和识别方法熟悉,考查重点是平行四边形识别方法，本题易错的是考虑问题不全面而漏答案。中考题中考查思维的全面性的题是较常见的。ABCDEF（真题2）真题2 已知如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF，且BEC=60，求EFD的度数。解析：由CE=CF，得CEF=CFE=45，再证BCEDCF，得BEC=DFC=60，因为CFE=45，DFC=60所以EFD=15评价：本题考查了正方形、全等形、等腰三角形的知识，是一道较好的综合题。大家注意分析已知条件的作用，与所求相联系，这样就容易找到思路。真题3 (2004北京)已知：如图所示，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF.。求证：ABEADF过点C作CG/EA交AF于H，交AD于G。若BAE=25，BCD=130，求AHC的度数。（真题3图1）解析：要证全等，需要三个条件，有两个很明显，只要利用CE=CF，从而求得BE=DF就够了四边形ABCD是菱形，AB=AD=BC=DC，B=DCE=CF，BE=DFABEADF； 要求AHC，关键是DAF的度数，再求EAF的度数，利用平行线的性质可求。解：ABEADF，（真题3图2）DAF=BAE=25四边形ABCD是菱形，BAD=BCD =130EAF=80CG/EA，EAH+AHC=180AHC=100.评价:本题是菱形的特征与三角形全等、平行线的性质的综合运用，此类题一定要注重分析已知条件，充分挖掘条件的作用。分析所求与已知条件之间的关系，寻求最简洁的方法。优化考题新演练A课标样题集训（满分100分，考试时间45分钟）一、选择题(每题6分，共36分)1.(2004年四川)下列说法中,错误的是( )A.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B.两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形C.四个角都相等的四边形是矩形（第2题）D.邻边相等的四边形是正方形 2. ( 2005年杭州 )在平行四边形ABCD中, B=110O,延长AD至F,延长CD至E,连接EF,则E+F=:（ ）(A)110O (B)30O (C)50O (D)70OFEDCBA（第4题）3. (2004郴州)在一个四边形ABCD中，依次连结各边中点的四边形是菱形，则对角线AC与BD需要满足条件 （ ） A. 垂直 B. 相等 C.垂直且相等 D. 不再需要条件4. (2005年黄冈)如图，在平行四边形ABCD中，EFAB，DEEA = 23，EF = 4，则CD的长为（ ）（第5题）AB8C10D165.(2005杭州)在平行四边形ABCD中, B=110O,延长AD至F,延长CD至E,连结EF,则E+F=（）(A)110O (B)30O (C)50O (D)70O6.(2005日照) 如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S1、S2 ，那么S1、S2的大小关系是（） (A) S1 S2 (B) S1 = S2 (C) S1S2 (D) S1、S2 的大小关系不确定二、填空题(每题6分，共36分) 7.(2004.河南)如图,一张矩形纸片,要折叠出一个最大的正方形, 小明把矩形的一个角沿折痕AE翻折上去,使AB和AD边上的AF重合,则四边形ABEF就是一个最大的正方形,他的判定方法是_ _ _.8.(2004.河北)如图4, 若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状,并使其面积为矩形面积的一半,则这个平行四边形的一个最小内角的值等于_.（第7题）（第8题）（第9题） ADC B（第10题图）FE9.如图,在菱形ABCD中,B=EAF=60,AEBC，AFCD，则CEF的大小为_.10. (2004深圳) 已知：在ABCD中，AB=4cm,AD=7cm,ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF= cm.11. (2005年南通)矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AOB=2BOC.若AC=18cm,则AD=_cm.DABCEF12. (2005深圳)如图，口ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若FDE的周长为8，FCB的周长为22，则FC的长为_。（第12题）三、解答题(13题16分,14题12分,共28分)13.(2004.常德)如图,已知等腰ABC中,AB=BC,在AC边上取一点D, 延长DC至E,使AD=CE,作EFAB,EF=AB,连结DF、DB、FC.(1)求证:ABCEFD.(2)四边形BDFC是平行四边形吗?若是平行四边形请证明;若不是请说明理由.（第13题）14.（2005浙江）如图，在ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF求证：BE=DF（第14题）B.课标新题探究1.如图,矩形ABCD中,O是AC与BD的交点,过O点的直线EF 与AB、CD的延长线分别交于E、F.(1)求证:BOEDOF.(2)当EF与AC满足什么条件时,四边形AECF是菱形,并证明你的结论.（1题）2.学完“平行四边形的判定”后,小明说:“在四边形ABCD中,若AB=CD,B=D,则四边形ABCD是平行四边形”.你认为小明的说法对吗?如果正确,请给出证明;如果不正确,请画出反例图形.3.如图,在ABCD中,点E、F在对角线AC上,且AE=CF, 请你以F为一个端点,和图中已标有字母的某一点连成一条新线段, 猜想并证明它和图中已有的某一线段相等.(只需证明一组线段相等即可).(1)连结_,(2)猜想_=_.(3)证明:（3题）答案:拓展1：选D 拓展2：选C（提示：用三角形中位线定理）拓展3：选C（提示：动手做一做）拓展4：解（1）当BC=2AB时，四边形PEMF为矩形，先证明ABM，DCM为等腰直角三角形，得BMC=90，从而四边形PEMF为矩形；（2）当P运动到BC的中点时矩形PEMF为正方形，需证PE=PF。 (A)课标样题集训一、1.D .（提示：平行四边形对角相等）.（提示：满足条件的是矩形）4.（提示：用比例线段）5.6.A（提示：可假设大正方形的边长为1，分别计算可得）二、7.对角线平分内角的矩形是正方形(或一组邻边相等的矩形是正方形) 8.30（提示：平行四边形的高是矩形宽的一半） 9.30（提示：可求AEF为等边三角形） 10.3（提示：先由等角对等边求FC=BC=AD=7） 11. 9 12.7（提示：翻折的三角形对应边相等，可通过方程求解）三、13.(1)证明:在ABC与EFD中,AB=EF,由EFAB得BAC=FED.由AD= CE得AC=ED.ABCEFD.(2)四边形BDFC是平行四边形.证明:ABCEFD,BC=FD,BCA=EDF.BCFD.四边形BDFC是平行四边形.14.证法一： 四边形ABCD是平行四边形， ABCD， AB=CD BAE=DCF AE=CF， ABECDF BE=DF 证法二： 四边形ABCD是平行四边形， ADBC，AD=BC