【创新设计】高考数学一轮复习 第九篇 解析几何1（考点梳理+考点自测+失分警示+专题集训）理 新人教A版.doc

第九篇解析几何第1讲直线方程和两直线的位置关系【2014年高考会这样考】1考查倾斜角的概念、倾斜角与斜率的关系及直线方程的几种形式2考查由两条直线的斜率判定两直线平行与垂直3考查点到直线的距离公式、两平行线间的距离公式及求解等64考点梳理1直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.倾斜角的范围是0，)(2)直线的斜率定义：若直线的倾斜角不是90，则斜率ktan_；计算公式：若由a(x1，y1)，b(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k.2直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy0k(xx0)不含垂直于x轴的直线斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式不含直线xx1(x1x2) 和直线yy1(y1y2)截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式axbyc0(a2b20)平面直角坐标系内的直线都适用3.两直线平行与垂直对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2，l1l2k1k21.4距离公式(1)平面上任意两点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)间的距离为|p1p2|.(2)平面上任意一点p0(x0，y0)到直线l：axbyc0(a，b不同时为0)的距离为d.(3)两条平行直线l1：axbyc10，l2：axbyc20(其中a，b不同时为0，且c1c2)间的距离为d.【助学微博】一条规律与直线axbyc0(a2b20)平行、垂直的直线方程的设法：一般地，平行的直线方程设为axbym0；垂直的直线方程设为bxayn0.两点提醒(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑(2)求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应先化为一般式考点自测1直线xsin y20的倾斜角的取值范围是()a0，) b.c. d.解析设直线的倾斜角为，则有tan sin ，其中sin 1,1，又0，)，所以0或0,324380，所以点p在两条平行直线l1，l2外过p点作直线l，使ll1，则ll2，设垂足分别为g，h，则|gh|就是所求的d的最小值由两平行线间的距离公式，得d的最小值为|gh|3.(2)当直线l与x轴平行时，l的方程为y3，设直线l与直线l1，l2分别交于点a(x1,3)，b(x2,3)，则3x11270,3x21280，所以3(x1x2)15，即x1x25，所以d|ab|x1x2|5.6(13分)已知直线l1：xy30，直线l：xy10.若直线l1关于直线l的对称直线为l2，求直线l2的方程解法一因为l1l，所以l2l，设直线l2：xym0(m3，m1)直线l1，l2关于直线l对称，所以l1与l，l2与l间的距离相等由两平行直线间的距离公式得，解得m5或m3(舍去)所以直线l2的方程为xy50.法二由题意知l1l2，设直线l2：xym0(m3，m1)在直线l1上取点m(0,3)，设点m关于直线l的对称点为m(a，b)，于是有解得即m(4，1)把点m(4，1)代入l2的方程，得m5，所以直线l2的方程为xy50.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.第2讲圆的方程【2014年高考会这样考】1考查圆的标准方程、一般方程及其应用2考查两圆的公共弦及与圆有关的交汇性问题等考点梳理1圆的标准方程(1)确定一个圆最基本的要素是圆心和半径(2)圆的标准方程方程(xa)2(yb)2r2(r0)表示圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程特别地，以原点为圆心，半径为r(r0)的圆的标准方程为x2y2r2.2圆的一般方程方程x2y2dxeyf0可变形为22.故有：(1)当d2e24f0时，方程表示以为圆心，以为半径的圆；(2)当d2e24f0时，方程表示一个点；(3)当d2e24f0时，方程不表示任何图形3点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种：圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点m(x0，y0)(1)点在圆上：(x0a)2(y0b)2r2；(2)点在圆外：(x0a)2(y0b)2r2；(3)点在圆内：(x0a)2(y0b)20，即3a24a40，解得2a，符合条件的a只有一个，a0，原方程只能表示一个圆答案b4过点a(1，1)，b(1,1)，且圆心在直线xy20上的圆的方程是()a(x3)2(y1)24 b(x3)2(y1)24c(x1)2(y1)24 d(x1)2(y1)24解析由题意得，ab的中垂线方程为yx，由得圆心c的坐标为(1,1)，r2|ac|2(11)2(11)24，圆的方程为(x1)2(y1)24.答案c5如果三角形三个顶点分别是o(0,0)，a(0,15)，b(8,0)，则它的内切圆方程为_解析因为三角形aob是直角三角形，所以内切圆半径为r3，圆心坐标为(3,3)，故内切圆方程为(x3)2(y3)29.答案(x3)2(y3)29考向一求圆的方程【例1】(1)已知圆心在x轴上，半径为的圆o位于y轴左侧，且与直线xy0相切，则圆o的方程是_(2)已知圆c过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：yx1被该圆所截得的弦长为2，则圆c的标准方程为_审题视点 (1)设圆心坐标，由直线与圆相切可求；(2)设圆心坐标，由圆的性质可求解析(1)设圆心为(a,0)(a0，b0)，由题意可得b1.又圆心c到直线4x3y0的距离d1，解得a2或a(舍)所以该圆的标准方程为(x2)2(y1)21.(2)因为点p关于直线xy10的对称点也在圆上，所以该直线过圆心，即圆心满足方程xy10，所以110，解得a0，所以圆心坐标为(0,1)答案(1)(x2)2(y1)21(2)(0,1)考向二与圆有关的最值问题【例2】已知实数x，y满足方程x2y24x10.(1)求的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和最小值审题视点 根据代数式的几何意义(斜率、直线、圆)，借助平面几何知识，数形结合求解解原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时，解得k(如图)所以的最大值为，最小值为.(2)yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2(如图)所以yx的最大值为2，最小值为2.(3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图)又圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274. 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题【训练2】 已知m为圆c：x2y24x14y450上任意一点，且点q(2,3)(1)求|mq|的最大值和最小值；(2)若m(m，n)，求的最大值和最小值解(1)由c：x2y24x14y450，可得(x2)2(y7)28，圆心c的坐标为(2,7)，半径r2.又|qc|4.|mq|max426，|mq|min422.(2)可知表示直线mq的斜率，设直线mq的方程为y3k(x2)，即kxy2k30，则k.由直线mq与圆c有交点，所以2.可得2k2，所以的最大值为2，最小值为2.考向三与圆有关的轨迹问题【例3】已知直角三角形abc的斜边为ab，且a(1,0)，b(3,0)，求：(1)直角顶点c的轨迹方程；(2)直角边bc中点m的轨迹方程审题视点 可以先画出草图，结合三角形有关知识寻找动点与定点之间的关系，然后列式化简即可，切记动点与定点之间的约束条件解(1)法一设顶点c(x，y)，因为acbc，且a，b，c三点不共线，所以x3且x1.又kac，kbc，且kackbc1，所以1，化简得x2y22x30.因此，直角顶点c的轨迹方程为x2y22x30(x3且x1)法二设ab中点为d，由中点坐标公式得d(1,0)，由直角三角形的性质知，|cd|ab|2，由圆的定义知，动点c的轨迹是以d(1,0)为圆心，2为半径长的圆(由于a，b，c三点不共线，所以应除去与x轴的交点)所以直角顶点c的轨迹方程为(x1)2y24(x3且x1)(2)设点m(x，y)，点c(x0，y0)，因为b(3,0)，m是线段bc的中点，由中点坐标公式得x(x3且x1)，y，于是有x02x3，y02y.由(1)知，点c在圆(x1)2y24(x3且x1)上运动，将x0，y0代入该方程得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21.因此动点m的轨迹方程为(x2)2y21(x3且x1) 与圆有关的轨迹问题主要是求动点的轨迹方程，其求解的一般步骤是：建系、设点、列式、化简、求解要灵活运用图形的几何性质对于“双动点”问题，即已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程，通常用代入法【训练3】 设定点m(3,4)，动点n在圆x2y24上运动，以om，on为邻边作平行四边形monp，求点p的轨迹解如图所示，设p(x，y)，n(x0，y0)，则线段op的中点坐标为，线段mn的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分，故，.从而n(x3，y4)在圆上，故(x3)2(y4)24.因此所求轨迹为圆：(x3)2(y4)24，但应除去两点和(点p在直线om上时的情况)方法优化12巧设坐标求圆的方程【命题研究】 通过近三年的高考试题分析，单独考查求圆的方程的题目较少，多数考查直线与圆的位置关系问题题型多数是选择题、填空题，题目难度为中等【真题探究】 (2011辽宁)已知圆c经过a(5,1)，b(1,3)两点，圆心在x轴上，则c的方程为_教你审题 思路1 设圆的一般方程，列方程组求解；思路2 设圆心坐标，利用|ca|cb|求解一般解法 设圆的方程为：x2y2dxeyf0，则解得d4，e0，f6.故圆c的方程为x2y24x60.优美解法 设圆心c(x,0)，由|ca|cb|，得，解得：x2，半径r|ca|.故圆c的方程为(x2)2y210.答案 (x2)2y210反思 分析题目中的条件，选择适当的方程形式，利用圆的有关性质解题，往往方便快捷【试一试】 已知圆c的圆心与抛物线y24x的焦点关于直线yx对称，直线4x3y20与圆c相交于a，b两点，且|ab|6，则圆c的方程为_解析设所求圆的半径是r，依题意得，抛物线y24x的焦点坐标是(1,0)，则圆c的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x3y20的距离d1，则r2d2210，因此圆c的方程是x2(y1)210.答案x2(y1)210a级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1(2013济宁一中月考)若直线3xya0过圆x2y22x4y0的圆心，则a的值为 ()a1 b1 c3 d3解析化圆为标准形式(x1)2(y2)25，圆心为(1,2)直线过圆心，3(1)2a0，a1.答案b2(2013太原质检)设圆的方程是x2y22ax2y(a1)20，若0a1，则原点与圆的位置关系是 ()a原点在圆上 b原点在圆外c原点在圆内 d不确定解析将圆的一般方程化为标准方程(xa)2(y1)22a，因为0a0，所以原点在圆外答案b3圆(x2)2y25关于直线yx对称的圆的方程为 ()a(x2)2y25 bx2(y2)25c(x2)2(y2)25 dx2(y2)25解析由题意知所求圆的圆心坐标为(0，2)，所以所求圆的方程为x2(y2)25.答案d4(2013郑州模拟)动点p到点a(8,0)的距离是到点b(2,0)的距离的2倍，则动点p的轨迹方程为 ()ax2y232 bx2y216c(x1)2y216 dx2(y1)216解析设p(x，y)，则由题意可得：2，化简整理得x2y216，故选b.答案b二、填空题(每小题5分，共10分)5以a(1,3)和b(3,5)为直径两端点的圆的标准方程为_解析由中点坐标公式得ab的中点即圆的圆心坐标为(2,4)，再由两点间的距离公式得圆的半径为，故圆的标准方程为(x2)2(y4)22.答案(x2)2(y4)226已知直线l：xy40与圆c：(x1)2(y1)22，则圆c上各点到l的距离的最小值为_解析由题意得c上各点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去半径，即.答案三、解答题(共25分)7(12分)求适合下列条件的圆的方程：(1)圆心在直线y4x上，且与直线l：xy10相切于点p(3，2)；(2)过三点a(1,12)，b(7,10)，c(9,2)解(1)法一设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，则有解得a1，b4，r2.圆的方程为(x1)2(y4)28.法二过切点且与xy10垂直的直线为y2x3，与y4x联立可求得圆心为(1，4)半径r2，所求圆的方程为(x1)2(y4)28.(2)法一设圆的一般方程为x2y2dxeyf0，则解得d2，e4，f95.所求圆的方程为x2y22x4y950.法二由a(1,12)，b(7,10)，得ab的中点坐标为(4,11)，kab，则ab的垂直平分线方程为3xy10.同理得ac的垂直平分线方程为xy30.联立得即圆心坐标为(1,2)，半径r10.所求圆的方程为(x1)2(y2)2100.8(13分)已知以点p为圆心的圆经过点a(1,0)和b(3,4)，线段ab的垂直平分线交圆p于点c和d，且|cd|4.(1)求直线cd的方程；(2)求圆p的方程解(1)直线ab的斜率k1，ab的中点坐标为(1,2)，直线cd的方程为y2(x1)，即xy30.(2)设圆心p(a，b)，则由p在cd上得ab30.又直径|cd|4，|pa|2，(a1)2b240，由解得或圆心p(3,6)或p(5，2)，圆p的方程为(x3)2(y6)240或(x5)2(y2)240.b级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1(2013东莞调研)已知圆c：x2y2mx40上存在两点关于直线xy30对称，则实数m的值为 () a8 b4 c6 d无法确定解析圆上存在关于直线xy30对称的两点，则xy30过圆心，即30，m6.答案c2圆心为c的圆与直线l：x2y30交于p，q两点，o为坐标原点，且满足0，则圆c的方程为 ()a.2(y3)2 b.2(y3)2c.2(y3)2 d.2(y3)2解析法一圆心为c，设圆的方程为2(y3)2r2.设p(x1，y1)，q(x2，y2)由圆方程与直线l的方程联立得：5x210x104r20，x1x22，x1x2.由0，得x1x2y1y20，即：x1x2(x1x2)0，解得r2，经检验满足判别式0.故圆c的方程为2(y3)2.法二圆心为c，设圆的方程为2(y3)2r2，在所给的四个选项中只有一个方程所写的圆心是正确的，即2(y3)2，故选c.答案c二、填空题(每小题5分，共10分)3已知平面区域恰好被面积最小的圆c：(xa)2(yb)2r2及其内部所覆盖，则圆c的方程为_解析由题意知，此平面区域表示的是以o(0,0)，p(4,0)，q(0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，又opq为直角三角形，故其圆心为斜边pq的中点(2,1)，半径为，圆c的方程为(x2)2(y1)25.答案(x2)2(y1)254已知圆c：(x3)2(y4)21，点a(1,0)，b(1,0)，点p是圆上的动点，则d|pa|2|pb|2的最大值为_，最小值为_解析设点p(x0，y0)，则d(x01)2y(x01)2y2(xy)2，欲求d的最值，只需求uxy的最值，即求圆c上的点到原点的距离平方的最值圆c上的点到原点的距离的最大值为6，最小值为4，故d的最大值为74，最小值为34.答案7434三、解答题(共25分)5(12分)(2013大连模拟)已知圆m过两点c(1，1)，d(1,1)，且圆心m在xy20上(1)求圆m的方程；(2)设p是直线3x4y80上的动点，pa，pb是圆m的两条切线，a，b为切点，求四边形pamb面积的最小值解(1)设圆m的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，根据题意得：解得ab1，r2，故所求圆m的方程为(x1)2(y1)24.(2)因为四边形pamb的面积sspamspbm|am|pa|bm|pb|，又|am|bm|2，|pa|pb|，所以s2|pa|，而|pa|，即s2.因此要求s的最小值，只需求|pm|的最小值即可，即在直线3x4y80上找一点p，使得|pm|的值最小，所以|pm|min3，所以四边形pamb面积的最小值为s222.6(13分)(2013南昌模拟)已知圆c过点p(1,1)，且与圆m：(x2)2(y2)2r2(r0)关于直线xy20对称(1)求圆c的方程；(2)设q为圆c上的一个动点，求的最小值解(1)设圆心c(a，b)，则解得则圆c的方程为x2y2r2，将点p的坐标代入得r22，故圆c的方程为x2y22.(2)设q(x，y)，则x2y22，且(x1，y1)(x2，y2)x2y2xy4xy2，令xcos ，ysin ，xy2(sin cos )22sin2，所以的最小值为4. 特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.第3讲直线与圆、圆与圆的位置关系【2014年高考会这样考】1考查直线与圆的相交、相切、相离和弦长问题2考查圆与圆的位置关系考点梳理1直线与圆的位置关系位置关系有三种：相离、相切、相交判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：(2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：dr相交弦长2，dr相切，dr相离2圆与圆的位置关系设c1：(xa1)2(yb1)2r(r10)，c2：(xa2)2(yb2)2r(r20)，则有：|c1c2|r1r2c1与c2相离；|c1c2|r1r2c1与c2外切；|r1r2|c1c2|r1r2c1与c2相交；|c1c2|r1r2|(r1r2)c1与c2内切；|c1c2|r1r2|c1与c2内含【助学微博】一法巧解“相交”直线与圆相交时，适当使用垂径定理(半径、半弦、弦心距满足勾股定理)，可以减少运算量两个重要结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：内含时：0条；内切：1条；相交：2条；外切：3条；外离：4条(2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程考点自测1(2012陕西)已知圆c：x2y24x0，l是过点p(3,0)的直线，则()al与c相交 bl与c相切cl与c相离 d以上三个选项均有可能解析圆c的方程是(x2)2y24，点p到圆心c(2,0)的距离d12，点p在圆c内部，直线l与圆c相交答案a2将圆x2y22x4y10平分的直线是()axy10 bxy30cxy10 dxy30解析圆x2y22x4y10可化为标准方程(x1)2(y2)24，要使直线平分此圆，则直线需过圆心(1,2)因此可通过代入法，看哪一条直线过