13.4 课题学习 最短路径问题.doc

数学教学设计 13.4课题学习 最短路径问题 赵 洪 斌 营口南楼经济开发区中学2017年6月19日13.4课题学习 最短路径问题 教学设计一、教学背景分析：1、教学设计说明：本设计是营口南楼经济开发区中学赵洪斌老师，经过对这一节教学内容研究，确定了教学的三维目标、教学的重点、难点和教学突破的关键，按照“问题情景建立模型求解解释与应用”这一基本过程，设计每一课时的教学程序，每一程序按教师活动、学生活动情况和设计意图栏三个方面进行设计。2、教材分析：（1）、教学内容设计意图分析：义务教育教科书（人教版）数学八年级上册第十三章轴对称第三小节。 随着课改的深入，数学更贴近生活，更着眼于解决生产、经营中的问题，于是就出现了为省时、省财力、省物力而希望寻求最短路径的数学问题。这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”，由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别。初中数学中路径最短问题，体现了数学来源于生活，并用数学解决现实生活问题的数学应用性。 （2）、教学内容设计思路分析：针对八年级学生的认知结构和心理特征，以及他们的学习基础，本节课内容属于“三不讲”（学了就会的知识不讲；讲了不会的知识不讲；不学也会的知识不讲）中的学了就会的知识，因此，本课的教学以“自主学习，同伴互助”教学法为主，辅之教师点拨引导、讨论交流，让学生动脑思考，动口交流，动心关注。3、学校及学生状况分析：(1)辽宁大石桥南楼中学是一所初级农村中学。学校共有1600多名学生，地处举世闻名的镁都大石桥毗邻。本节课授课班级共有50名学生，该班是学校对七年级所学生在进行入学情况调查后，根据学生的学业成绩、兴趣特长以及性格特征平行分班组成的一个班级。在“新课改”的教育模式下，该班学生性格活泼好动，热爱动手操作，对新教材有较强的适应性。（2）教学对象是八年级学生，在学习本节前，学生已学习过研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”以及“三角形的第三边大于另两边之差，小于另两边之和”等的问题和轴对称知识。八年级学生观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、结密性、灵活性比较欠缺，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步加强和引导，思维水平仍以经验型为主，理论型思维尚处于萌芽阶段，动手探究、实践认知的能力还未完善培养形成，因此，在推理论证方面须坚持遵循“特殊一般特殊”规律，注重对学生动手实践的指导及创新创造激发培养。二、教学目标：1、知识与技能目标：（1）结合具体实例，能灵活的运用轴对称、线段公理解决实际问题（2）初步学会思考，逐步提高思维技能和思维的有效性，初步学会探究问题2、过程与方法目标：（1）经历问题的探究，学会从中提取有用信息，善于思考，善于提问，善于归纳总结，培养良好思维习惯（2）经历运用已有的生活经验，已有的数学知识，培养思维能力、推理能力和有条理的表达能力3、情感、态度与价值观目标：（1）鼓励学生大胆思考，善于思考，初步养成自觉思考的好习惯（2）鼓励学生大胆尝试，勇于探索，从中获得成功的体验，激发学生的学习热情（3）通过提供丰富的，生活中的问题，引导学生要积极思考，渗透德育教育三、重点与难点及关键：1、重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题2、难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题3关键：利用轴对称性质，作任意已知点的对称点，连接对称点和已知点，得到一条线段，利用两点之间线段最短来解决.四、教学支持条件分析：活动能使学生主动探索、实践、交流，达到掌握知识的目的，本节课更是一节难得的探索实践活动课，在课前制作教学课件，按新课程标准和叶圣陶先生所倡导的“解放学生的手，解放学生的大脑，解放学生的时间”及七年级学生的特点，我确定如下教法和学法。1、教法：针对八年级学生的认知结构和心理特征，以及他们的学习基础，本课的教学以“自主学习，同伴互助”教学法为主，辅之教师点拨引导、讨论交流，让学生动脑思考，动口交流，动心关注。引导学生在实践中探索规律，师生互助互动，精诚合作，共同探索，体现以学生为主体、教师为主导的作用，提高学生分析和解题的能力，采取分组讨论法、实践操作法和发现法。2、学法：本节课注重调动学生积极思考、主动探索，鼓励学生经历观察、操作、推理、想象等过程，尽可能地增加学生参与数学活动的时间和空间。通过本课的教学，在教师的引导下，能归纳概括发现新知；以学生自主学习为主，采取课前要求学生自主自学的预习方法；课堂体验、观察分析、归纳综合的学习方法。五、教学媒体：1、学习环境 多媒体教室2、学习资源 课件3、资源采集 农远、互连网六、教学程序设计：1、采用自主探究式的教学方法，本着贯彻启发性、直观性、理论联系实际的教学原则，体现以教师为主导，学生为主体的教学思想，确定本节课的教学方法如下：采用引导发现法：逐步呈现教学信息，突出教师的主导作用和学生的主体作用；突出独立性、又体现合作性。通过学生自主学习、交流，师生互动，让学生自主获取知识。 设问题情境：营造和谐的教学氛围，引导学生的学习兴趣，激发求知欲望。 练结合、步步设疑、逐渐深入、引导猜想、归纳总结、实验验证的探究式思维训练。2、观察分析探索概括七、13.4课题学习 最短路径问题教学设计 第一环节：创设问题情境，引入新课问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？BAl 精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马问题”你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 第二环节：【回顾思考】回顾思考提出问题追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线 追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？ （1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； B.AL（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A、B 连接起来的两条线段的长度之和,就是从A 地到饮马地点,再回到B 地的路程之和 BAlC（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图） 第三环节：【回顾思考】AC 与CB 的和最小？ 问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ 追问1对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB的长度相等？ BlA追问2你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B吗？ 作法：（1）作点B 关于直线l 的对称 点B；（2）连接AB，与直线l 相交于点C则点C 即为所求 BlABC第四环节：【回顾思考】证明AC +BC最短问题3你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 证明：如图，在直线l 上任取一点C（与点C 不重合），连接AC，BC，BC由轴对称的性质知，BlABCC BC =BC，BC=BC AC +BC = AC +BC = AB， AC+BC= AC+BC证明：在ABC中， ABAC+BC， AC +BCAC+BC即AC +BC 最短第五环节：【类比探究，引出新知】这里的“C”的作用是什么追问1证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上任取一点C（与点C 不重合），证明AC +BC AC+BC？这里的“C”的作用是什么？ BlABCC若直线l 上任意一点（与点C 不重合）与A，B 两点的距离和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小 追问2回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？第六环节：【应用新知解决问题】例1如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返 回P 处，请画出旅游船的最短路径ABCPQ山河岸大桥基本思路：1、由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR 的和最小” 2、作Q关于直线BC的对称点Q，连接PQ交BC于R，旅游船线路：PQRP.第六环节：【应用新知解决问题】造桥选址问题如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)路径：从A到B要走的路线是AMNB，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AMBN最短即可选址造桥问题1、解：在直线a上取任意一点M，作MNb于点N，平移AM，使点M移动到点N的位置，点A移动到点A的位置，连接AB交直线b于点N，过点N作MNa于点M，则路径AMNB最短2、解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法将河的宽度为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法(如利用轴对称或平移等)转化在一条线段上，从而解决这个问题3、连接AE交河对岸与点M,则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。证明：由平移的性质，得 BNEM 且BN=EM, MN=CD, BDCE, BD=CE,所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE,则AB两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在ACE中，AC+CEAE, AC+CE+MNAE+MN,即AC+CD+DB AM+MN+BN所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。小组讨论：回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？反思小结：解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法将河的宽度为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法(如利用轴对称或平移等)转化在一条线段上，从而解决这个问题第七环节：【课堂练习】1、如图，台球桌上有一个黑球，一个白球，如何用球杆去击白球使其撞到AB边反弹后再撞到黑球？第八环节【课堂测试】1要在河边修建一个水泵，分别向张村、李庄送水，修在河边什么地方，可使所用水管最短？2.如图，四边形ABCD中，BAD120，BD90，在BC，CD上分别找一点E和F，使AEF周长最小，求AEFAFE的度数解：如图，分别作点A关于CD、BC的对称点A1，A2， 连接A1A2，分别交CD、BC于点F，E， 即此时AEF周长最小 由对称可知A1DAF，A2BAE， 因为A1A2180BAD60， 所以DAFBAEA1A260， 所以EAF 60， 所以AEFAFE180EAF1202、某中学八(2)班举行文艺3、晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？解：如图b.(1)作C点关于OA的 对称点C1，作D点关于 OB的对称点D1，(2)连接C1D1，分别交OA，OB于P，Q，那么小明沿CPQD的路线行走，所走的总路程最短第九环节：【课堂小结】总结提炼（1）本节课研究问题的基本过程是什么？ （2）轴对称在所研究问题中起什么作用？第十环节：【布置作业】 推荐作业，深化发展 1、必做题：教科书复习题13第15题 2、 选做题：已知：如图A是锐角MON内部任意一点，在MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.第十一环节：【教学反思】 本节“课题学习”，主要是让学生多动手、多实践、多猜想、多论证、多总结。对于其中一些结论，大胆地鼓励学生进行说理甚至证明，说理证明的形式多样，可口述，可书写，可交流探讨，注重对学生