北京市东城区2012届高三下学期综合练习(二)理科数学(2012东城二模).doc

北京市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习（二）数学（理科）本试卷分第卷和第卷两部分，第卷1至2页，第卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）下列命题中，真命题是（A）, （B）, （C） （D）（2）将容量为的样本中的数据分成组，若第一组至第六组数据的频率之比为，且前三组数据的频数之和等于，则的值为（A） （B） （C） （D）（3）的展开式中的常数项为 （A） （B） （C） （D）（4）若一个三棱柱的底面是正三角形，其正（主）视图如图所示，则它的体积为 （A） （B）（C）（D）（5）若向量，满足，且，则与的夹角为（A） （B） （C） （D）（6）已知和是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出 的是（A），且 （B），且 （C），且 （D），且（7）若是和的等比中项，则圆锥曲线的离心率为（A） （B） （C）或 （D）或 （8）定义：，已知数列满足：，若对任意正整数，都有成立，则的值为（A） （B） （C） （D） 第卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。(9) 设，且为正实数，则的值为 . (10) 若圆的参数方程为（为参数），则圆的圆心坐标为，圆与直线的交点个数为 . (11)在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，那么点的坐标为_， 若直线的倾斜角为，则的值为 (12) 如图，直线与相切于点，割线经过圆心， 弦于点，则 (13) 已知函数的最大值为，最小值为，则的值为_.(14) 已知点与点在直线的两侧，给出下列说法： ； 当时,有最小值，无最大值；当且，时，的取值范围为.其中，所有正确说法的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题共13分）已知函数（其中，）的部分图象如图所示.（）求函数的解析式； （）已知在函数的图象上的三点的横坐标分别为，求的值.（16）（本小题共13分）某公园设有自行车租车点， 租车的收费标准是每小时2元（不足1小时的部分按1小时计算）.甲、乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过三小时.（）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望.（17）（本小题共13分） 如图,矩形所在的平面与直角梯形所在的平面互相垂直，,，且，（）求证：平面；（）求二面角的余弦值. （18）（本小题共14分） 已知抛物线：，为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为,.（）当的坐标为时，求过三点的圆的方程； （）证明：以为直径的圆恒过点.（19）（本小题共13分）已知函数（）（）试讨论在区间上的单调性；（）当时，曲线上总存在相异两点，使得曲线在点，处的切线互相平行，求证：. （20）(本小题共14分) 对于数列，令为，中的最大值，称数列为的“创新数列”.例如数列，的创新数列为，.定义数列：是自然数，的一个排列.（）当时，写出创新数列为， ，的所有数列；（）是否存在数列，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列，若不存在，请说明理由.北京市东城区2011-2012学年度高三综合练习（二）数学参考答案及评分标准 （理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）B （3）D （4）A（5）C （6）B （7）D （8）C二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9） （10） （11） （12） （13） （14）注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（）由图可知，最小正周期. 由，得. 3分 又 ，且， 所以， 即 . 5分 所以. 6分（）因为所以. 7分所以.由余弦定理得. 11分因为，所以. 13分（其它解法酌情给分）（16）（共13分）解：（）甲、乙两人所付费用相同即为，元. 2分都付元的概率为；都付元的概率为；都付元的概率为； 故所付费用相同的概率为. 6分（）依题意，的可能取值为，. 8分； ； ；. 故的分布列为 11分所求数学期望.13分（17）（共13分）（）证明：因为/，平面，平面，所以/平面 2分因为为矩形，所以/又 平面，平面，所以/平面 4分又，且，平面，所以平面/平面 5分又平面，所以平面 6分（）解：由已知平面平面，且平面平面，所以平面，又，故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系. 7分由已知得，易得，则， ， 8分设平面的法向量，则即令，则，所以 10分又是平面的一个法向量， 所以故所求二面角的余弦值为 13分（18）（共14分）（）解：当的坐标为时，设过点的切线方程为，由消得. (1)令，解得.代入方程(1)，解得. 3分设圆心的坐标为，由，得，解得.故过三点的圆的方程为 5分（）证明：设，由已知得，设切点分别为，所以，切线 的方程为即，切线的方程为即 7分又因为切线过点，所以得. 又因为切线也过点，所以得. 所以，是方程的两实根，由韦达定理得 9分因为，所以 将代入，得. 13分 所以以为直径的圆恒过点 14分 （19）（共13分）（）解：由已知，. 2分 由，得，. 4分因为，所以,且所以在区间上，；在区间上，.故在上单调递减，在上单调递增 6分（）证明：由题意可得，当时，（，且）.即 ，所以，. 8分因为，且，所以恒成立，所以，又，所以，整理得. 11分令，因为，所以在上单调递减，所以在上的最大值为， 所以. 13分（20）（共14分）解：（）由题意，创新数列为， ，的所有数列有两个，即数列，； 数列，. 4分（）存在数列，使它的创新数列为等差数列. 数列的创新数列为， 因为是中的最大值， 所以.由题意知，为中最大值，为中的最大值，所以，且. 若为等差数列，设其公差为， 则且， 当时，为常数列，又， 所以数列为，.此时数列是首项为的任意一个符合条件的数列