1991年全国初中数学联赛试题及答案(修正版).doc

1991年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题1.设等式在实数范围内成立，其中a，x，y是两两不同的实数，则的值是（ ） （A）3 ； （B） ； （C）2 ； （D） 2. 如图，ABEFCD，已知AB20，CD80，BC100，那么EF的值是（ ）ABCDEF（A） 10； （B）12； （C） 16； （D）183. 方程x2x10的解是（ ）（A）； （B）；（C）或； （D）4. 已知：（n是自然数）那么的值是（ ）（）；（）； （）； （）5. 若1239910012nM，其中M为自然数，n为使得等式成立的最大的自然数，则M （ ）（）能被整除，但不能被整除； （）能被整除，但不能被整除；（）能被整除，但不能被整除； （）不能被整除，也不能被整除6. 若a，c，d是整数，b是正整数，且满足abc， bcd， cda，那么abcd的最大值是（ ）（）1； （）5； （）0； （）1=17. 如图，正方形OPQR内接于ABC已知AOR、BOP和CRQ的面积分别是S1，S3和S1，那么，正方形OPQR的边长是（ ）（）；（）；（）2 ；（）38. 在锐角ABC中，AC1，ABc，A60，ABC的外接圆半径R1，则（ ）（）c2 ； （）0c ； （C）c2 ； （D）c2 二、填空题GABCDEE是平行四边形ABCD中BC边的中点，AE交对角线BD于G，如果BEG的面积是，则平行四边形ABCD的面积是 已知关于x的一元二次方程ax2bxc0没有实数解甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为1和4，那么， 3设m，n，p，q为非负数，且对一切x0，恒成立，则ABCD135120四边形ABCD中，ABC135，BCD120，AB，BC，CD6，则AD 第二试一、 xy，xy，x y， 四个数中的三个有相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y）二、ABC中，ABACBC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且BDBEAC，BDE的外接圆与ABC的外接圆交于F点（如图）ABCDEF求证：BFAFCF 三、将正方形ABCD分割为n2个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数答案1（B）据算术根性质，由右端知yax，又由左端知a0且a0，故a0由此得xy，代入所求式算得值为（C）由平行截割定理，有 ，得 （D） 设x是方程的解，则x也是方程的解，排除（A）、（B）；（D）的两值必是方程的解，否则方程的解也不是（C） 将代入方程，左边0，排除（C）（D）5（A）在123100的质因数分解中，2的因子有所以，其中2不整除P，3不整除P，因而M2P（B） (ab)(cd)ca，bd代入 bcd得c2d，acd3d，故abcd2d3d5d5b5 (b1)故 a3，b1，c2，d1（C）设正方形OPRQ的边长为x，即OPPQQRORx作ABC的高AD，交OR于F，在AOR中，如图（A）作CDAB，因ABC是锐角三角形，故D在AB内，从而c ABADACcosAcosA 又由正弦定理，得cAB2RsinC2R2，所以c2二、填空题112 由BEG DAG，得DGGBADBE21， DBGB连接DE，则 2. 6 设甲将a看为a，由韦达定理得由于一次项系数b的符号不改变判别式的值，因此，乙只能是看错a或c的符号于是a 由得3 9 若nq，则上式左边为奇数，右边为偶数，矛盾若nq，则上式左边为整数，右边为真分数，矛盾所以，只能是nq1于是 作AEBC，交CD于E，自B，C分别作AE的垂直线BF与CG，F，G分别为垂足（如图）BCGF为矩形，AFB为等腰直角三角形，在RtCEG中，三、解答题一.由于 有意义，所以y0，从而xyxy 因此x y ，即x(y21)0 所以x0或y1（） 若x0，则由x yxy，或x yxy，得y0，这样 无意义；（） 若y1，则由x yxy得xx1，或由x yxy得xx1，都导致矛盾；（） 若y1，则由x yxy得x， 由x yxy得x- ， 所以符合要求的数对只有（，1）和（- ，1） 二、证法1 延长AF到M，使FMCF连CM、DF，在EBD与FCM中，由于BEBD，FMCF ，因此EBD、FCM都是等腰三角形 EBDMFC， BEDCMF， 又 BEDBFD， CMFBFD， 在BFD与 AMC中， 21，BFDCMF，BDAC， BFDAMC BFAMAFFM 又 FMCF， BFAFCF 证法2 如图，连EF、DF 12， 23， 13， 45， 56， 46 AFC EFD 于是，即EFkAF，DEkAC，DFkCF由托勒密定理，知BFDEBDEFBEDF，即BFkACBDkAFBEkCF但是ACBEBD0，所以BFAFCF.三、证法用数代表颜色，将红色记为0，蓝色记为1，再将小方格编号，记为1,2,3,.又记第i个小方格四个顶点数字之和为,若恰有三个顶点同色,则1或3为奇数,否则为偶数.在中,有如下事实:对正方形内部的交点,各加了4次；原正方形边上非端点的交点,各加了2次(含两个0,两个1).因此 4 (内部交点相应的数之和)2(边上非端点的交点相应的数之和)2必为偶数. 于是，在中必有偶数个奇数，这就是说，恰有三个顶点同色的小方格必有偶数个证法2用数代表颜色，红色记为1，蓝色记为1，将小方格编号，记为l，2，记第 i个小方格四顶点数字之乘积为，若恰有三顶点同色，则现在考虑乘积对正方形内部交点，各点相应的数重复出现4次；A，B，C，D边上的不是端点的交点相应的数各出现2次；A，B，C，D四点相应的数的乘积为（1）（1）于是因此，中的个数必为偶数，即恰有三顶点同色的小方格必有偶数个证法3 考虑染了色之后，改变一个交点的染色方式，这时以此点为顶点的小方格，要么由三顶点同色变为非三顶点同色，要么由非三顶点同色变成三顶点同色 注意：除A，B，C，D之外，每一交点必